Романов А.С., Семиколенов А.В. - Перенос энергии излучением (953814), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Учитывая, что в этом случае направляющие косинусы вектора Ω опреде- ляются выражениями cosθ x = ex , Ω , cosθ y = ey ,Ω , cosθ z = ez ,Ω , то определение вектора(()спектрального потока излучения примет видSν =)∫()I ν Ωd Ω .(6.2)( 4 π)Интегральные величины - интенсивность, плотность и поток излучения получаютсяинтегрированием соответствующих величин по всему спектру частот:∞∞ ∞I = ∫ I ν d ν , U = ∫ U ν d ν , S = ∫ Sν d ν .00Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».0(6.3)8Если перенос излучения происходит в веществе, то вещество (в рассматриваемомслучае - газ) влияет на процесс переноса излучения и излучение также влияет на свойствавещества.Iν+dIνIνdllРис.

6.3. К выводу зависимости изменения интенсивности потока излучения.Если через вещество проходит поток излучения частотой ν, то его интенсивность ослабевает за счет поглощения и рассеяния квантов (рис.6.3). Изменение интенсивности припрохождении слоя толщиной dx пропорционально самой интенсивности и толщине этогослояdI ν ∼ I ν dl .В отсутствии вынужденного излучения интенсивность всегда уменьшается:dI ν = −æν ⋅ I ν ⋅ dl ,где æ ν =d ( ln I ν )> 0 - коэффициент спектрального ослабления для данной частоты ν. Слеdlдовательно, интенсивность излучения в веществе при прохождении некоторого слоя вещества от l1 до l2 определяется по формуле (закон Бугера)Iν2 l2= I ν1 exp  − ∫ æ ν dl  , l 1где Iν1 и Iν2 - интенсивности излучения в сечениях l1 и l2 соответственно.Коэффициент спектрального ослабления æν складывается из коэффициента спектральной адсорбции (поглощения) излучения æ νa и из коэффициента спектрального рассеяния æ νS .

Обратные им величины есть спектральные средние длины пробега излучения:lνa =1111, lνS =, lν ==.11æν aæν Sæν a + æν S+lνa lνSИногда определяют оптическую толщину слоя по отношению к излучению частоты ν:Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».9l2τ ν (l1 , l2 ) = ∫ æ ν dl .l1В обычных (земных) условиях можно пренебречь рассеянием по сравнению с поглощением. Только в полностью ионизованном и очень сильно разреженном газе вклад рассеяния становится определяющим.Любое вещество является источником теплового излучения.

Количество лучистойэнергии частоты ν, самопроизвольно испускаемой в единице объема вещества в единицувремени и в единичном интервале частот по всем направлениям, называют спектральной лучеиспускательной способностью или спектральным коэффициентом излучения Jν.Обычно газы излучают изотропно, т.е. одинаково во все стороны, поэтому количествоэнергии, излучаемой в телесный угол dΩ в каком-либо направлении, определяется какjν ⋅ d Ω = J ν ⋅IdΩили jν = ν .4π4πВеличину jν называют объемной плотностью спектральной светимости.По закону Кирхгофа излучение и поглощение теплового излучения связаны междусобой.

Для объемного испускания и поглощения закон Кирхгофа имеет вид:hν−jν= I νp 1 − e kTæν,где Iνp - равновесная спектральная интенсивность излучения определяется формулой Планка:I νp =U νp =cU νp ,4πω3⋅π2 c 31eωkT.−1hν−kT′Если ввести модифицированный коэффициент поглощения æν = æ ν ⋅ 1 − e  , то коэффициенты излучения и поглощения оказываются связанными между собой соотношением:jν = I νp æ′ν .Наличие поправки « −e−hνkT» связано с присутствием вынужденного излучения в тепло-вом излучении.Введение модифицированного коэффициента поглощения позволяет учесть влияниевынужденного излучения просто как уменьшение коэффициента поглощения. Это возможнов случае, если имеется, по крайней мере, локально, равновесие между излучением и веществом.

В противном случае, надо рассматривать «лазерный» эффект.Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».106.2. Уравнение переноса излучения, уравнение непрерывности излучения.Будем рассматривать излучение с частотой ν в некотором интервале частот, распространяющееся внутри телесного угла в направлении заданном единичным вектором Ω .Ωl+dldσlРис. 6.4. Расчёт баланса излучения.Рассмотрим баланс излучения в элементарном прямом цилиндре с площадью основания dσ и высотой dl, расположенном в точке пространства таким образом, что направлениевектора Ω совпадает с осью цилиндра и перпендикулярно его основанию (см. рис. 6.4).

Завремя dt в левое основание «втекает» энергия излучения, равная I ν Ω ,l,t ⋅ d σdt , из правого()основания «вытекает» ( I ν + dI ν ) ⋅ d σdt . ОткудаdI ν =dt =∂I ν dl ∂I ν+dl ,∂t c∂ldl- время, необходимое излучению для прохождения расстояния dl.cИзменение интенсивности происходит вследствие испускания и поглощения излучения в указанном цилиндре. Величина интенсивности излучения, испущенного в цилиндре вданном направлении равнаjν ⋅ d σ ⋅ dldt .Величина интенсивности, поглощенного в цилиндре (с учетом вынужденного излучения) равнаæν′ ⋅ Iν ⋅ dσ ⋅ dldt .Составим баланс энергий: ∂I ν dl ∂I ν +dl  d σdt = jν ⋅ d σdldt − æ′ν I ν d σdldt ,∂l  ∂t cилиОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».11∂I ν 1 ∂I ν+= jν − æ′ν I ν .∂t c ∂lТак как ∂I ν= Ω ,∇ I ν , и по закону Кирхгофа jν = æ′ν I νp , то∂l() 1 ∂I ν+ Ω ,∇ I ν = æ′ν ( I νp − I ν ) .c ∂t()(6.4)Уравнение (6.4) называется уравнением переноса излучения.Уравнение переноса излучения (6.4), определение вектора плотности спектральногопотока излучения (6.2) и определения (6.3) содержат всю информацию об излучении, необходимую для описания процесса переноса излучения в веществе.Часто, вместо определения (6.2), пользуются уравнением непрерывности излучения,которое следует из уравнения (6.4) и определения (6.2).

Для вывода уравнения непрерывности излучения проинтегрируем уравнение (6.4) по всем направлениям. После интегрирования и применения определения (6.2), получим∂U ν+ div Sν = c ⋅ æ′ν ⋅ (U νp − U ν ) .∂t( )(6.5)Это соотношение является искомым уравнением непрерывности излучения. Особо следуетотметить, что уравнение непрерывности излучения (6.5) не является прямым следствиемуравнения переноса излучения (6.4), так как при его выводе было использовано определение(6.2). «Похожесть» уравнений (6.4) и (6.5) вызвана тем фактом, что в данном случае одна и таже характеристика - энергия излучения - выступает как специфическая величина, определяющая «количество» излучения в уравнении переноса излучения (6.4) и в уравнении непрерывности излучения, выражающем закон сохранения энергии.Оценим величину производной по времени в уравнениях (6.4) и (6.5).

Для этого рассмотрим однородное по пространству состояние излучения: div S = 0 . Тогда уравнение( )(6.5) примет вид1 ∂U ν= U νp − U ν .cæ′ν ∂tПредположим, что U ν ( 0 ) = 0 . В этом случае решением этого уравнения является()U ν ( t ) = U νp ⋅ 1 − e − cæν′ t .Поэтому характерное время установления равновесия в данном случае равноtp =l′lν1= ν =.hν−cæ′ν c kT1 − e  ⋅ cОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».12Например, при частоте νm, соответствующей максимуму спектральной плотностипланковского равновесного излучения (по закону смещения Вина hν m = kT ), при lν = 10−2 мполучаем t p = 3 ⋅10−8 с.Поэтому при описании нерелятивистских гидродинамических процессов, для которыххарактерные времена существенно превосходят tp, всегда можно пренебречь в уравнении переноса излучения величиной производной по времени.

В «нерелятивистском» приближенииуравнение непрерывности излучения (6.5) принимает видdiv S ν = c ⋅ æ′ν ⋅ (U νp − U ν ) ,(6.6)а уравнение переноса излучения (6.5) в «нерелятивистском» приближении имеет вид Ω ,∇ I ν = æ′ν ⋅ ( I νp − I ν ) .(6.7)( )()6.3. Система уравнений движения вещества при лучистом теплопереносе.Рассмотрим систему уравнений, описывающих совместное состояние вещества (газа)при его движении и поля излучения для случая, когда перенос излучения и взаимодействиеизлучения с веществом оказывают существенное влияние на состояние и движение вещества. При этом движение вещества будем считать нерелятивистским (скорость движения частиц вещества много меньше скорости света).Если температура газа не слишком высока, а плотность не слишком мала, то плотность энергии и давление излучения пренебрежимо малы по сравнению с энергией и давлением газа.

Сравним, для оценки, плотность равновесного излучения в единице объема, которая по закону Стефана-Больцмана равна∞4U p = ∫ U νp d ν = σT 4 ,c0с внутренней энергией единицы объема идеального одноатомного газаE=3nkT .2Учитывая, что концентрация молекул в воздухе при нормальных условиях n ≈ 2, 67 ⋅1025 м-3,получаем приближенное равенствоUpE= 1,36 ⋅10−18 ⋅ T 3 .То есть плотность энергии излучения сравнивается с внутренней энергией газа «нормальной плотности» при температурах порядка 106 К.Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

Характеристики

Список файлов книги