Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 3 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (948284), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Результаты эксперимента нужно представлять в виде зависимости(3.28) или (3.29) между безразмерными величинами.Если в результате эксперимента вид функции F2 найден, то перепад давлений16 µ ∆ l(3.30)∆p = Φ , ρV 2 .Vdρd dТак как на основании (3.23) перепад ∆p = ρghп.т , то в соответствии с (3.30): Vd ρ ∆ l V 2hп.т = 2 F3 , . µ d d 2g Vd ρ ∆ Обозначим 2 F3 , = λ и перепишем (3.31) как µ dhп.т = λl V2.d 2g(3.31)(3.32)В гидравлике это выражение известно как формула Дарси для потерь втрубах. Следовательно, задача о движении жидкости в трубе свелась к изучению зависимостиλ = λ ( Re, ∆ ) ,где(3.33)Vd ρ– число Рейнольдса,µ∆∆ = – относительная шероховатость стенок трубы.dRe =Эта зависимость изучена Никурадзе и представлена на рис.
3.13. На этомрисунке указана относительная гладкость трубы – отношение радиуса трубыR к абсолютной шероховатости стенки k , а не ∆, что непринципиально.При больших вязкостях жидкости µ и малых скоростях её движения Vвлияние инерционных сил становиться малым. Инерционная сила пропорциональна массе, которая в свою очередь зависит от плотности ρ. В этомслучае из числа определяющих параметров в (3.25) можно исключить плотность. Кроме того, будем рассматривать движение в гладкой трубе. Тогдаисключается и шероховатость. Поэтому∆p= f ( µ, V , d ) .l(3.34)После приведения к безразмерному виду получим:∆p= f (1, 1, 1) = const = C .µVld2(3.35)Так что перепад давлений в этом случае∆p = CµVl,d2(3.36)17Рис. 3.13.
Коэффициенты сопротивления гидравлически гладких и шероховатыхтруб с равномерной шероховатостью [8]:1—λ = 64 Re ; 2 — λ = 0,31644Re ; 3 — техническая шероховатостьпричем в соответствии с расчетами Пуазейля C = 32.3.6.3. Движение тела в вязкой жидкостиТело заданной формы движется в вязкой жидкости с плотностью ρ и вязкостью µ с постоянной скоростью V∞ как показано на рис.3.14. Так какформа тела задана, то для полного задания поверхности этого тела достаточно задать какой-нибудь линейный размер этого тела, например хорду a.
Направление движения определяется углом α. Действующая на тело силаP = f ( ρ, µ, V∞ , a, α ) ,(3.37)Рис. 3.14. Движение тела в жидкости18Рис. 3.15. Крыло конечного размахазависит от четырех размерных величин ρ, µ, V∞ , a и одной безразмерной –угла α. Составим таблицу, аналогичную табл. 3.1 и найдем соответствующие безразмерные переменные:Pµ= ϕ 1,,1,1, a 2 2ρV∞ a ρV∞ a(3.38) µP= f, a .2 2ρV∞ a ρV∞ a (3.39)илиВместо зависимости (3.37) между размерными величинами имеемзависимость (3.38) между безразмерными величинами. В соответствиис π-теоремой число переменных уменьшилось на число величин снезависимыми размерностями, т.е. на три.
Если теоретически или экспериментально найти функцию f ( µ ρV∞a, α) , то можно определить исилу µP= f, α ρV∞2 a 2 . ρV∞ a В частном случае крыла размахом b и хордой l , показанном на рис. 3.15: ρV l P= Φ ∞ , α .ρV∞ lb µ(3.40)Для плоского движения вводиться сила, приходящаяся на единицу размахакрыла P b . Разложим эту силу на две составляющие: вдоль вектора V∞ — силасопротивления Px , а перпендикулярная составляющая — подъемная сила Py :19PxρV∞2 V lρ = Fx ∞ , α , µ V lρ = Fy ∞ , α .2ρV∞ µPyВ этих выражениях(3.41)V∞ lρ= Re — число Рейнольдса. Так чтоµPx = Fx ( Re, α ) ⋅ ρV∞2 ,Py = Fy ( Re, α ) ⋅ ρV∞2 .(3.42)Обычно эти формулы записывают в виде формул подобия для силы сопротивления и подъемной силыρV∞2l,2(3.43)ρV∞2lPy = C y.2где C x = 2 Fx ( Re, α ) и C y = 2 Fy ( Re, α ) называются коэффициентами сиPx = C xлы сопротивления и подъемной силы.Функции C x и C y можно найти либо теоретически, либо экспериментально.
На рис. 3.16 представлены зависимости C x и C y для профиля Жуковского от угла атаки α при числе Re = 105.Еще в одном случае движения шара в вязкой жидкости с малой скоростьюстановятся несущественными инерционные силы. Так как сила инерции пропорциональна массе тела, а масса тела пропорциональна плотности ρ, то вуравнении (3.33) плотность ρ становиться несущественным параметром.Кроме того, для шара несущественным становится и угол α.
Поэтому зависимость (3.37) заменяется зависимостьюPx = f ( µ, V∞ , d )(3.44)Выбирая в качестве новых единиц измерения µ, V∞ и d , получим:Px= f (1,1,1) = const = C.µV∞ d(3.45)В соответствии с формулой Стокса (3.20) постоянная C = 3π.Сама по себе теория подобия не дает возможности найти вид функциональной зависимости.20Рис. 3.16. Коэффициенты подъемной силыЖуковского приС y и силы сопротивления С x профиляRe = 105 по данным [14]3.6.4.
Метод подобияИзучение интересующего нас натурного явления заменяется изучениемподобного физического явления на модели большего или меньшего размера.Явления подобны, если все безразмерные характеристики имеют одинаковое численное значение (справедливо также и обратное утверждение).Поясним это определение на примерах. В задаче о движении вязкой жидкости в круглой трубе в соответствии с уравнением (3.28) безразмерная потеря напора∆p= F ( Re, ∆ ) .µVld2(3.46)Все безразмерные величины входящие в (3.46) будут иметь одинаковыечисленные значения в том случае, если выполняются следующие условия подобия:1. Геометрическое подобие (по условию рассматриваются круглые трубы).2.
Схожие условия подвода и отвода жидкости.3. Равенство чисел Рейнольдса и относительных шероховатостей для модели (м) и натуры (н) Reм = Reн , ∆ м = ∆ н .21Следствием этих условий является равенство безразмерных перепадовдавлений: ∆p µVl d2 ∆p (3.47) = . µVl м d 2 нВ частном случае больших чисел Re безразмерная потеря напора не зависит от числа Re, как видно по рис.3.13. В этом случае для моделированиянеобходимо, чтобы для модели и натуры равнялись относительные шероховатости, т.е.
∆ м = ∆ н . И, наоборот, при малых числа Re относительная шероховатость ∆ становиться несущественным параметром (рис.3.13).В задаче о движении тела заданной формы в вязкой жидкости в соответствии с (3.39) безразмерная сила:P= f ( Re, α ) .ρV∞ a 2(3.48)Условия подобия:1. Геометрическое подобие (одинаковая форма).2.
Равенство чисел Рейнольдса и углов Reм = Reн , α м = α н .Следствием этих условий является равенство безразмерных сил: P P = . ρV∞ lb м ρV∞ lb н(3.49)Как видно из рис. 3.13. при больших числах Рейнольдса коэффициенттрения не зависит от этого параметра. Поэтому равенство чисел Рейнольдсадля модели и натуры необязательно. Имеется область автомодельности поэтому параметру.
При ламинарных течениях с числами Re < 2300 имеетсяобласть автомодельности по параметру относительной шероховатости ∆(прямая 1 на рис.).Как указано в работе [5], условия подобия составлены из величин, заданных при постановке задачи. Одинаковость этих чисел подобия обуславливаетподобие двух сравниваемых течений. Поэтому эти числа можно назвать критериями подобия.Приведем примеры. Пусть цилиндр диаметром d обтекается однороднымпотоком вязкой несжимаемой жидкости плотностью ρ , вязкостью µ и скоростью на бесконечности V∞ . Необходимо найти коэффициент сопротивления C x = Px( ρV 2 ) d , где2∞Px – сила сопротивления на единицу длиныцилиндра, Н м .
Сила сопротивления22Px = f ( ρ, µ, V∞ , d )(3.50)Безразмерная сила сопротивления, т.е. коэффициент сопротивления:PxρV∞22d V dρ = F ∞ µ (3.51)илиC x = F ( Re ) ,(3.52)где V∞ d ρ µ = Re – число Рейнольдса.Зависимость (3.52) представлена на рис.
3.17. Так как из условия Re = idem( idem – одинаковый) следует C x = idem, то в этой задаче критерием подобия является число Рейнольдса.Обтекание цилиндра нестационарное. В кормовой части цилиндра то содной, то с другой стороны срываются вихри. Ниже по течению образуетсядорожка вихрей, как показано на рис. 3.18. По контуру, охватывающему цилиндр, появляется переменная циркуляция вектора скорости и на цилиндрдействует знакопеременная поперечная сила.CxReРис. 3.17.
Зависимость коэффициента сопротивления цилиндра от числаРейнольдса по [11]Эта сила вызывается колебания цилиндра с периодом T . Период колебания:T = f ( ρ, µ, V∞ , d )(3.53)Из этого соотношения следует:TV∞ V dρ = F ∞ d µ (3.54)23Рис. 3.18. Вихревая дорожка Кармана за круговым цилиндром приданным[1]Re = 105 поРис. 3.19. Зависимость C x = F ( Re ) и Sh = ϕ ( Re ) для цилиндра [5]илиSh = F ( Re ) .(3.55)Величина, обратная безразмерному периоду TV∞ d по имени чешского ученого, называется числом Струхаля:Sh =dV∞T(3.56)Зависимость (3.55) представлена на рис. 3.19. Здесь же приведена и криваяC x = F ( Re ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
