Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 3 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (948284), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(Знак минус, т.к. dp dx < 0 ).Vmax = −(3.16)Расход жидкости+hq=∫ Vdz =−hhh1 dp  22 dp 32h ∫ z dz − h ∫ dz  = −µdx2µ dx  − h3−hСредняя скоростьVср =q1 dp 2=−h2h3µ dx(3.17)в полтора раза меньше максимальной. Проинтегрируем (3.16) и найдем потерю напора ∆p :p1∫ dp = −p23µVсрh2x1∫ dx.x2Поэтомуp1 − p2 = ∆p =3µVср lh2(3.18)Потеря энергии пропорциональна первым степеням вязкости µ, среднейскорости Vср и длине l рассматриваемого участка канала.Аналогичным способом решается задача о ламинарном движении жидкости в круглой трубе. Для потери напора получаем формулу Пуазейля∆p =32µVср ld2.(3.19)3.4.

Пример приближенного решения уравненийНавье-Стокса (движение шара в вязкой жидкости)Задача о медленном движении шара с постоянной скоростью в вязкой несжимаемой жидкости решена Стоксом. Так как рассматривается медленноедвижение, то в уравнениях (3.11) можно пренебречь инерционными членами:dVx dt = dVy dt = dVz dt = 0. Кроме того, пренебрегая внешними массовыми силами.

Уравнения (3.11) упрощаются и удается их проинтегрировать.По формуле Стокса действующая на шар сила равна:Px = 3πµV∞ d ,(3.20)где V∞ — скорость движения,10µ — динамическая вязкость жидкости,d — диаметр шара.Рис. 3.7. Движение шараСила прямо пропорциональна первой степени вязкости и скорости. Действующую на шар силу можно выразить по общей формуле подобия для сил:Px = C x ρV∞2S,2(3.21)где C x — безразмерный коэффициент силы,ρ — плотность жидкости,S — площадь миделевого (диаметрального) сечения шара.Так как на основании (3.21) C x = 2 Px ρV∞2 S , то после подстановки в этоуравнение силы Px согласно (3.20) получим24Cx =,(3.22)Reгде Re = V∞ d ρ µ — число Рейнольдса.Сравним расчеты Стокса с экспериментом (рис.

3.7). Видно, что формулаСтокса верна лишь для очень малых чисел Re ≤ 1. Эта формула находитприменение в расчетах процессов отстаивания. В смеси воды с твердымичастицами последние под действием силы тяжести медленно оседают на днососуда. Смесь осветляется. Время осаждения составляет часы и может бытьрассчитано с использование формулы Стокса.11CxReРис. 3.8. Зависимость коэффициента сопротивления шара от числа Рейнольдса по [12]3.5.

Приближенные решенияуравнений Навье-СтоксаВ связи с развитием вычислительной техники в последние десятилетиясозданы программные комплексы, которые позволяют решать эти уравнениядля пространственных движений жидкости в неподвижных и вращающихсяканалах. Примерами могут служить FlowVision, Ansys CFX, Fluent, Star-CD,Cosmos Floworks и многие другие. На рис. приведены примеры расчетов потока.3.6. Методы подобия и размерностиЭти методы весьма полезны при теоретическом и экспериментальномизучении движения жидкости.3.6.1.

Размерности физических величинРазмерные и безразмерные величины. Величины, числовое значениекоторых зависит от принятых масштабов, т.е. от системы единиц измерения,называются размерными или именованными величинами. Величины, числовоезначение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения,называются безразмерными или отвлеченными величинами. Длина, сила,время — размерные величины.

Углы, отношение двух длин, отношение длины окружности к ее радиусу и др. — безразмерные величины.Подразделение величин на размерные и безразмерные до некоторой степени условно. Например, угол можно измерять в радианах, в градусах, в до12лях прямого угла. Число, определяющее угол, зависит от выбора единицыизмерения.Основные (первичные) и вторичные величины и единицы их измерения. Различные физические величины связаны между собой определеннымисоотношениями. Если некоторые из этих величин принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения всехостальных величин будут определенным образом выражаться через единицыизмерения основных величин.

Принятые для основных величин единицы измерения называются основными, все остальные — производными.System International – SIТехническая система МКСДлинаМассаВремяДлинаСилаВремя1м1 кг1с1м1 кгс1сСимволы единиц измеренияСимволы единиц измеренияLMTLSTМетр равен 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2 p10 и 5d5 атома криптона-86 [ХI ГКМВ(1960г.), Резолюция G]Килограмм равен массе международного прототипа килограмма [IГКМВ (1889г.) и III ГКМВ (1901 г.)]Секунда равна 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями состояния атома цезия-133 [XIIIГКМВ (1967 г.), Резолюция 1].Размерность какой-либо величины a обозначают как [ a ] .

Размерностьскорости [V ] = LT −1 , размерность ускорения [ a ] = LT −2 .Размерность динамической вязкости можно получить из закона Ньютонадлякасательныхнапряжений:τ=µ[ τ][ dy ] = кг ⋅ м ⋅ м ⋅ с = кг = ML−1T −1.[ dV ] с2 ⋅ м 2 ⋅ м м ⋅ свид степенного одночлена: [ a ] = Lα M βT γ .[µ ] =dV.dyЕёразмерность:Формула размерности имеетФормулы размерности удобны для пересчета числового значения размерной величины при переходе от одной системы единиц измерения к другой:1 см = 10−5 км, 1 с = (1 3600 ) ч.g = 981см10−5 кмкмкм=981= 98,1 ⋅ 362 2 = 127138 2 .22счч 1  2 ч 3600 Физические закономерности не зависят от выбранной системы единицизмерения.133.6.2. Установившееся движении вязкой несжимаемой жидкостив горизонтальной шероховатой круглой трубеРис.

3.12. Установившиеся движение несжимаемой жидкости в круглой трубеСхема течения показана на рис. 3.12. Заданы: ρ — плотность жидкости, µ — динамическая вязкость жидкости, V — средняя скоростьдвижения, d — диаметр трубы, ∆ — абсолютная шероховатость еёстенок, l — длина участка трубы. Найти перепад давлений∆p = p1 − p2 . Из уравнения энергии для двух сечений потока жидкостиz1 + p1 ρg +V12 2g = z2 + p2 ρg +V22 2g + hп.т следует, что потеря удельнойэнергии на трение:hп.т = ∆p ρg .(3.23)Перепад давлений зависит от шести величин, заданных при постановкезадачи:∆p = ϕ ( ρ, µ, V , d , ∆, l ) .(3.24)Имеется дополнительное соображение.

Перепад ∆p прямо пропорционаленl. Поэтому l можно вынести из-под знака функции и записать:∆p= f ( ρ, µ, V , d , ∆ ) .l(3.25)Как видно из (3.25), интересующая нас величина зависит от 5 переменных. Эту зависимость можно получить теоретически или экспериментально.Предположим, что зависимость (3.25) находим экспериментально. Будемсчитать, что для выяснения зависимости от одной переменной достаточно 5опытов.

В таком случае следует провести:1 серия опытов ρ = var — 5 опытов;2 серия опытов µ = var — 5 ⋅ 5 = 25 опытов;3 серия опытов ν = var — 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 опытов;4 серия опытов d = var — 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 опытов;5 серия опытов ∆ = var — 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3125 опытов.14Необходимо выполнить очень большое число опытов — 3125. Число экспериментов можно существенно сократить, если выбрать новую систему единиц измерения.Занесем в табл.3.1 переменные величины, входящие в уравнение (3.25), иих размерности в системе СИ.

Далее перейдем к новой системе единиц, вкоторой в качестве новых единиц измерения выбраны: µ, V , d . Эти единицы имеют независимые размерности. Т.е. [µ ] = ML−1T −1 невозможно получить из размерности [V ] = LT −1 и [ d ] = L. Единицу измерения ∆p l получим следующим образом: запишем формулу размерности и под ней размерности величин в системе СИ.αβγ ∆p  l  = [ µ ] [V ] [ d ] , α(3.26)βγ кг   м =   (м) .22м ⋅с м⋅с   с кг(3.27)Ясно, что равенство (3.27) выполняется только в том случае, еслиα = 1, β = 1, γ = −2. Поэтому новой единицей измерения ∆p l будет такаяТаблица 3.1РазмерныеПеременнаяAi∆plρµVd∆Размерность всистеме СИAi и безразмерные πi переменные1-й вариантНоваяНоваяединицапеременная πi2-ой вариантНоваяНоваяединицапеременнаяπiµVdµ∆p ⋅ d 2µVlρVdµ1ρV 2dρ∆p ⋅ dρV 2l1VdρV1VµVd ρ1dd1∆dddкг2м ⋅ с2µVd2кгм3кгм⋅смсмм1∆d151−1 кг   м -1величина: µV d .

Так как 3 =    м , то новая единица изм м⋅с   с µмерения плотности:.Vd2кгНовые единицы представлены в табл.3.1. Разделив величины на соответствующие новые единицы измерения получим новые величины, как показанов таблице. В новых единицах зависимость (3.25) будет иметь вид:∆p Vd ρ∆= f, 1, 1, 1, µVld µd2или Vd ρ ∆ ∆p= F, .µVl µ dd2(3.28)В качестве новых единиц измерения можно выбрать три любые величиныс независимыми размерностями, например ρ, V , d . Рассуждая точно также,как и ранее, получим второй вариант новых единиц и величин (табл.3). Повторому варианту получим:∆p µ ∆= Φ, .l Vd ρ d ρV 2d(3.29)Зависимости (3.28) и (3.29) равноценны. Умножим обе части (3.29) наVdρ µ .

Получим (3.28):∆p Vd ρ  Vd ρ ∆  Vd ρ ∆ =F2 ,  = F1 , .µVlµ µ d µ dd2Для дальнейших рассуждений выберем (3.29).Подводя итог вышеизложенному, отмечаем следующее:1. Вместо зависимости (3.25) между размерными величинами теперь имеем зависимость (3.28) или (3.29) между безразмерными величинами.2. Число переменных в правой части (3.28) или (3.29) уменьшилось начисло величин с независимыми размерностями. Этот результат называетсяπ -теоремой в теории размерностей.3.

Характеристики

Список файлов книги