Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 1 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (948278), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

(1.65)с2  ∂t 1с2  ∂t 2В этом выражении точки 1 и 2 — любые две точки в областинеустановившегося потенциального потока.441.11.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИТеорема Томсона. Циркуляция скорости по замкнутомужидкому контуру в (1) идеальной, (2) баротропной жидкостипри наличии массовых сил, (3) обладающих однозначным потенциалом во всё время движения жидкости остаётся неизменной.Проведём в движущейся жидкости в момент времени t контур AB (рис. 1.26). Этот контур считается жидким.

Каждая частица M этого контура движется со скоростью V и за промежуток времени ∆t пройдёт расстояние dS = V∆t , переместившисьв положение M ′ . В момент времени t ′ = t + ∆t контур займётновое положение A′B′ . Пусть циркуляция вектора скорости вмомент времени t равна Γ , а в момент времени t′ она равна Γ′ .Тогда производная по времени от циркуляции по жидкому контуруdΓΓ′ − Γ= lim.(1.66)dt ∆t →0 ∆tdΓНеобходимо доказать, что= 0.dtРис. 1.26. К доказательству теоремы Томсонао постоянстве циркуляции по замкнутому жидкому контуруПоложение произвольной частицы жидкости M на дуге ABв момент времени t можно задать её расстоянием S до точки A(рис. 1.26).

В таком случае декартовы координаты частицы45x = x ( S , t ), y = y ( S , t ), z = z ( S , t ) .Пусть в данный момент времени t проекции элемента дуги дSна оси координат равны дx, дy , дz , а проекции перемещения dSчастицы M за промежуток времени ∆t на оси координат естьdx, dy , dz . Циркуляция в момент времени tB()Γ = ∫ Vx дx + V y дy + Vz дz ,Aа её производная по времениBBdΓ dd= ∫ Vx дx + V y дy + Vz дz = ∫Vx дx + V y дy + Vz дz ,dt dt AdtA()()вследствие независимости операций интегрирования по длинедуги и дифференцирования по времени.Выполняя дифференцирование по времени под знаком интеграла, получим:Bd ( дy )d ( дz )  d ( дx )dΓ= ∫  Vx+ Vy+ Vz+dt A dtdtdt (1.67)dV y dVxdVz +∫ дx +дy +дz .dtdtdtAd ( дx )Так как скоростьудлинения отрезка дS вдоль оси Оxdtравна разнице скоростей на его концах дVx , тоBd ( дx )d ( дy )d ( дz )= дVx ,= дV y ,= дVz , поэтомуdtdtdtV 2 d ( дx )d ( дy )d ( дz )Vx+ Vy+ Vz= Vx дVx + V y дV y + Vz дVz = д .dtdtdt 2 Рассмотрим второе подынтегральное выражение.

В соответствии с уравнениями Эйлера (1.38) — (1.40)dVydVx1 ∂p1 ∂pdVz1 ∂pдx = Xдx −дx,дy = Yдy −дx,дz = Zдz −дz.dtс ∂xdtс ∂ydtс ∂z46Так как в соответствии с условиями теоремы внешние массовыесилы обладают потенциалом U , а жидкость баротропна, то1  ∂p∂p∂p  дpXдx + Yдy + Zдz = дU и  дx + дy + дz  = .с  ∂x∂y∂z  сСледовательно,BV 2 dΓдp=  дU −− д  .dt ∫A с 2 Если контур замкнут, то точки A и B совпадают и при однозначном потенциале UdΓ= 0 или Γ = ∫ Vx dx + V y dy + Vz dz = const , (1.68)dtчто и доказывает теорему Томсона.Следствием этой теоремы являются ещё две теоремы.Вторая теорема Гельмгольца о сохранении вихревых трубок.

При тех же предположениях, что и в теореме Томсона,вихревая трубка во всё время движения состоит из одних и техже частиц жидкости.Возьмём на поверхности S вихревой трубки бесконечно малый контур L (рис. 1.27а). По формуле (1.33)()Рис. 1.27. Во все время движения вихревая трубка состоитиз одних и тех же частиц жидкости, а ее интенсивность постоянная47d Γ L = 2ωn dS .Так как вектор щ касается поверхности S , то во всякой точкеэтой поверхности нормальная составляющая вектора угловойскорости вращения частицы ωn = 0 и циркуляция d Γ L = 0 .

Вследующий момент времени t′ жидкий контур L займёт положение L′ . Бесконечно малый контур L′ будет лежать на поверхности S′ , образованной теми же частицами жидкости, которыераньше составляли поверхность S . По теореме Томсонаd Γ L′ = d Γ L = 0.Но тогда из формулы (1.33) следует, чтоω′n dS ′ = 0Бесконечно малый контур L′ можно взять в любом месте поверхности S′ . В таком случае во всякой точке поверхности S′ω′n = 0 .Это означает, что поверхность S′ есть поверхность вихревойтрубки.

Каждая индивидуальная вихревая трубка перемещаетсяв пространстве вместе с частицами, её составляющими. Такимже свойством сохраняемости обладают и вихревые линии. Вихревые нити с «нанизанными» на них частицами сохраняются вовсё время движения, как показано на рис. 1.27б.Третья теорема Гельмгольца о сохранении интенсивностивихревых трубок. При тех же предположениях, что и в теореме Томсона, интенсивность любой вихревой трубки во всёвремя движения остаётся постоянной.Интенсивность I вихревой трубки в момент времени t равнациркуляции скорости по контуру l , то есть I = Γl , а в моментвремени t′ интенсивность I ′ = Γ′l .

Но так как по теореме Томсона Γl = Γl′ , тоI = I ′ = const.(1.69)На рис. 1.28 показана фотография пары развивающихся крупных атмосферных вихрей — циклонов над Индийским океаном.48Рис. 1.28. Пара атмосферных вихрей [12]Интенсивность обоих вихрей одинакова. Циркуляция скоростипо контуру, охватывающему вихри в начальный момент их развития, равна нулю. Так как по теореме Томсона циркуляциядолжна сохраняться равной нулю и во все последующие моменты времени, то вихри будут вращаться в противоположные стороны, что и подтверждается фотографией.

Теорема Томсона позволяет объяснить возникновение циркуляции вокруг крыла ипары вихрей — при разгоне и остановке крыла (рис. 1.29).Рис. 1.29. Пара вихрей при разгоне и остановке крыла по Прандтлю [7]Однако, если какое-либо из трёх условий теоремы Томсонанарушается, то циркуляция скорости по замкнутому жидкомуконтуру может изменяться и в жидкости образуются или исче49зают вихри. Так, при движении маловязкой жидкости вблизитвёрдых поверхностей её нельзя считать идеальной. В этих местах возможно образование вихрей.

На рис. 1.30 показан вихрь,развивающийся за острым ребром в потоке жидкости.Рис. 1.30. Вихрь за острым ребром по Прандтлю.Течение слева направо [7]На рис. 1.31 схематически показаны два вихря, возникшие вподводящей камере осевого насоса.Рис. 1.31. Вихри в подводящей камере осевого насоса50Вихри начинаются на стенках камеры и проходят сквозь рабочееколесо. Так как при этом на входе в рабочее колесо появляетсяциркуляция Γ′ = Γ1 + Γ 2 , то в соответствии с уравнением Эйлераω Γ′′ − Γ′изменяется теоретический напор H т =и напор насоса.g 2πВследствие неустойчивости вихрей работа насоса сопровождается колебаниями напора, подачи, и потребляемой мощности.1.12.

СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛЬНОГОТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИВ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИДля установившегося движения несжимаемой жидкости∂Vx ∂V y ∂Vzуравнение неразрывности имеет вид:++= 0 . Если∂x∂y∂z∂ϕдвижение жидкости обладает потенциалом, то Vx =,∂x∂ϕ∂ϕVy =, Vz =. Следовательно, потенциал скорости удовлетво∂y∂z∂ 2ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2ϕ++= 0 . Это∂x 2 ∂y 2 ∂z 2линейное дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением Лапласа, а функция ϕ , удовлетворяющаяэтому уравнению, называется гармонической. Уравнение Лапласа имеет единственное решение, т.е. потенциальное движение водносвязной области единственное, если задать граничные условия. Для решения уравнения на границах области задаются∂ϕ∂ϕлибо ϕ , либо, либо ϕ на одних частях границы ина ос∂n∂nтальных её частях.

Потенциальные течения обладают следующими свойствами:ряет вышеупомянутому уравнению (1.25):511. Для любой замкнутой поверхности S, нормаль к которой n,∂ϕ(1.70)∫ ∂n dS = 0 ,Sкак показано на рис. 1.32а. Так как согласно (1.21) производная∂ϕ∂ϕ= Vn , то ∫ dS = ∫ Vn dS . Объемный расход через замкнутую∂n∂nSSповерхность S равен нулю, что и доказывает свойство (1).2. Ни в одной точке внутри жидкости потенциал скоростине может иметь максимума или минимума.Предположим, что в некоторой точке А потенциал скоростиϕ A = max . Окружим эту точку сферической поверхностью площадью S с центром в этой точке (рис.

1.32б). Так как внешняянормаль n и радиус r совпадают, то при условии максимума по∂ϕ ∂ϕтенциала в точке А производная=< 0 . Поэтому в любой∂n ∂r∂ϕточке М этой сферыdS > 0 . Следовательно, и интеграл по∂n∂ϕповерхности сферы ∫dS > 0 , что противоречит свойству (1.70).∂nS3. Ни в одной точке внутри жидкости модуль скорости V неможет иметь максимума.Предположим, что в некоторой точке А модуль скорости имеет максимум VA . Выберем оси в декартовых координатах так,Рис.1.32.

К доказательству свойств потенциального течения52чтобы ось x имела направление скорости в точке А (рис. 1.32в).Тогда в этой точке ∂ϕ   = VA . ∂n  AДифференцируя по x уравнение Лапласа∂ 3ϕ∂ 3ϕ∂ 3ϕ++=0∂x 3 ∂x∂y 2 ∂x∂z 2∂ϕи изменяя порядок дифференцирования, убеждаемся, что∂xтакже удовлетворяет уравнению Лапласа:2  ∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ ∂2   ∂   ∂2   ∂x  +  ∂y  +  ∂z  = 0 .∂x 2∂y 2∂z 2∂ϕТо естьявляется гармонической функцией, которая по пре∂xдыдущему свойству не может иметь максимума или минимума вточке А. Следовательно, по соседству с точкой А найдутся точки, в которых будет∂ϕ  ∂ϕ >   = VA∂x  ∂x  Aи в которых тогда и подавно будет222 ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ 2  +   +   > VA или V > VA . ∂x   ∂y   ∂z Но это противоречит предположению о том, что в точке A скорость максимальна. Максимум или минимум скорости имеетместо на границах области потока.Например, при обтекании крылового профиля в точке A разветвления потока скорость минимальна и равна нулю, а в точке M входной кромки скорость достигает максимума, как показано на рис.

1.33а. По уравнению Бернулли давление в этой точке минимальное. Если оно достигает давления насыщенного пара, то в окрестности точки М развивается кавитация (рис. 1.33б).53абРис.1.33. Распределение давленийи кавитация на крыловом профиле4. При существовании однозначного потенциала линии токане могут быть замкнутыми.В противном случае получилось бы, что циркуляция вдольтакой линии не обращается в нуль, так как все произведения VdS в выражении циркуляции Γ = ∫ VdS имеют один и тотже знак. Но это противоречит теореме Стокса.5. В односвязном объёме жидкости, ограниченном со всехсторон твёрдыми стенками, не может существовать безвихревое движение.На рис.

1.32г Изображён односвязный объём, ограниченныйтвёрдыми стенками. В таком объёме замкнутые линии тока типа a невозможны по предыдущему свойству. Так как на твёрдых стенках нормальная составляющая скорости Vn = 0 , то линии тока не могут вытекать из границ или втекать в них и поэтому невозможны линии тока типа в. Поскольку внутри односвязного объема линии тока не могут начинаться или заканчиваться, то линии тока типа с также невозможны. Следовательно,жидкость либо покоится, либо ее движение вихревое.54Рис. 1.34. Единственные потенциальные течения около крылового профиляпри разных значениях циркуляции вокруг профиля Га<Гб<Гв согласно [4]Для того, чтобы потенциальное течение несжимаемой жидкости было единственным в многосвязной области, помимо граничных условий необходимо задать значение циркуляции, как,например, на рис.

Характеристики

Список файлов книги