Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 1 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (948278), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.14а, кривую AB можно разбитьна два участка AC и CB, то по определениюBCB∫ VS dS = ∫ VS dS + ∫ VS dS .AA(1.29)CРис. 1.14. Свойства интеграла вектора скорости вдоль кривойЛинейный интеграл вектора V по замкнутой кривой(рис. 1.14б) называется циркуляцией вектора по этой кривой иобозначается ∫ VS dS = Γ . Положительным направлением обходасчитается такое направление, при котором кривая остается слева. Это направление указано на рисунке стрелкой. В дальнейшем циркуляцией будем называть линейный интеграл и по незамкнутому контуру и также обозначать его Γ .Если течение жидкости потенциальное, то имеют место двасвойства.1.
Линейный интеграл вектора V равен разности значенийпотенциальной функции ϕ в точках A и B:BBBAAA∫ VS dS = ∫ (Vx dx + Vy dy + Vz dz ) = ∫ d ϕ = ϕB − ϕ A .(1.30)2. Если ϕ — однозначная функция, то значения линейногоинтеграла не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечных точек пути (рис. 1.14в). В частности, циркуляция будет равна нулю по замкнутому контуру.261.8. ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ,ПОВЕРХНОСТИ И ТРУБКИДвижение жидкости с вращением частиц называется вихревым.
Вращение частиц характеризуется вектором угловой скорости ω ωx , ω y , ωz . Проекции этого вектора на оси координат()определяются уравнениями (1.15).Вихревая линия — это линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней. Построим вихревую линию (рис. 1.15а).
В точке М угловая скорость ω,в точке М1 угловая скорость ω1 и т.д. Если расстояния ММ1, М1М2,… устремить к нулю, то полигон ММ1М2, … превратится в гладкую кривую, которая и будет вихревой линией. Вихревая линиявыполняет роль криволинейной оси вращения. Если не принимать во внимание деформацию частиц жидкости, то частицы кактвердые шарики с отверстиями нанизаны на нить, которая ислужит вихревой линией.Рис.
1.15. Вихревая линия (а) и линия тока (б)Так как определение вихревой линии аналогично определению линии тока, то дифференциальное уравнение вихревой линии подобно (1.11):dx dy dz==.(1.31)ω x ω y ωzВ общем случае вихревые линии и линии тока не совпадают, как27показано на рис. 1.15б.Вихревые поверхности и вихревые трубки строятся аналогично поверхностям и трубкам тока. Через точки замкнутогоконтура L1 проведем вихревые линии. Эти вихревые линии образуют поверхность, называемую вихревой трубкой (рис.
1.16).Рис. 1.16. Вихревая трубкаУдвоенный поток вектора щ через поперечное сечение вихревой трубки площадью S называется интенсивностью вихревойтрубки в этом сечении(1.32)2 ∫ ωn dS = I .sКак следует из табл. 1.1, основные понятия для поля скоростей и поля вихрей одинаковы.Таблица 1.1Поле скоростей и вихрейПоле скоростейВектор скорости VЛиния токаВихревая линияdx dy dz==ω x ω y ωzПоверхность токаЭлементарная струйкаТрубка токаВихревая поверхностьЭлементарный вихрьВихревая трубкаQ = ∫ Vn dS – поток VI = 2 ∫ ωn dS – удвоенный поток ωS28dx dy dz==Vx Vy VzПоле вихрейВектор вихря ωSВ случае плоского движения жидкости векторы скорости лежат, например, в плоскостях, параллельных плоскости xOy и неизменяются вдоль оси Oz . Как показано на рис.
(6.1) учебникапо гидромеханике [5], в этом случае вихревые линии — прямые,перпендикулярные плоскости xOy . Они пронизывают всю этуплоскость.1.9. ТЕОРЕМА СТОКСАЦиркуляция скорости по замкнутому контуру в односвязномобъёме равна суммарной интенсивности вихрей, пронизывающих поверхность, которая опирается данный контур.Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный плоский контур в окрестности точки M ( x, y ) , как показано на рис.
1.17а.Вихревые линии перпендикулярны плоскости xOy . Вектор ωугловой скорости вращения частиц имеет только одну проекцию ωz . Элементарную циркуляцию по контуру abcda можнопредставить какdГ abcda = dГ ab + dГbc + dГ cd + dГ da .Рис. 1.17. К доказательству теоремы Стокса29Каждая из циркуляций по сторонам прямоугольника равна:dГ ab = Vx dx ,∂V y dГbc = V y +dx dy ,∂x∂VdГ cd = − Vx + x dy dx ,∂ydГ da = −V y dy .Складывая левые и правые части этих уравнений, после сокращений получим: ∂V y ∂Vx dГ abcda = − dxdy .∂y ∂xТак как по (1.15) угловая скорость вращения частицы в точке М1 ∂Vy ∂Vx ωz = −,∂y 2 ∂xтоdГ abcda = 2ωz dxdy = dJ ,что и доказывает теорему Стокса для бесконечно малого прямоугольного контура.Далее рассмотрим плоский контур L площадью S конечныхразмеров (рис.
1.17б). Вертикальными и горизонтальными линиями разделим этот контур на бесконечно малые прямоугольники. Элементарные циркуляцииdГ abcda = 2ω1z dS1, dГbefcb = 2ω2 z dS2 , ............................ , (1.33)dГi = 2ωiz dSi ,............................ , dГ n = 2ωnz dSn . Так как смежные стороны прямоугольников обходятся дважды впротивоположных направлениях, то после суммирования левыхи правых частей этих уравнений и перехода к пределу получим:30nГ L = lim Σ 2ωiz dSi = 2 ∫ ωz dS = J ,n →∞ i =1Sчто также доказывает высказанное в начале параграфа предположение.Рассмотрим общий случай (рис.
1.17в). Рассуждая точно также, как в предыдущем случае, получим тот же результатnГ L = lim Σ 2ωni dSi = 2 ∫ ωn dS = I .n →∞ i =1SТеперь докажем теорему Стокса для многосвязной областипотока, показанной на рис. 1.17г. Эта область потока имеетвнутри два выреза L1 и L2 .
Так что область трёхсвязная. С помощью разрезов превратим эту область в односвязную. По доказанному выше для неё справедливо соотношение:Г L + Г L1 + Г L2 = 2 ∫ ωn dS .SПлощадь S берётся за вычетом площади вырезов. При таком женаправлении обхода внутренних контуров L1 и L2 , что и внешнего контура LГ L = 2 ∫ ωn dS + Г L1 + Г L2 .SЕсли число внутренних контуров n, тоnГ L = 2 ∫ ωn dS + Σ Г Li .Si =1(1.34)То есть в многосвязной области циркуляция по внешнему контуру равна интенсивности вихрей, проходящих через поверхность, которая опирается на контур, плюс сумма циркуляций повнутренним контурам.
При этом направление обхода всех котнтуров одинаковое.311.10. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦАО ПОСТОЯНСТВЕ ИНТЕНСИВНОСТИВИХРЕВОЙ ТРУБКИ ПО ЕЕ ДЛИНЕИнтенсивность вихревой трубки в данный момент времениесть величина постоянная для всех её сечений.Рис. 1.18. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длинеПроведём на поверхности вихревой трубки замкнутый контурabcdefa , как показано на рис.
1.18. Линии cd и fa образуютразрез. По теореме СтоксаГ abcdefa = 2 ∫ ωn dS .SТак как контур abcdefa лежит на поверхности вихревой трубки,где ωn = 0 , то Г abcdefa = 0 . Представим эту циркуляцию в видесуммы:Г abcdefa = Г abc + Г cd +Г def + Г fa = Г abc + Г def = 0 .Поэтому Г abc = − Г def . Если изменить направление обхода контура def на противоположное, то Г abc = Г fed . Но по теореме Стокса32Г abc = 2 ∫ ωn dS = I1 , Г fed = 2 ∫ ωn dS = I 2 .S1S2Следовательно,I1 = I 2 = const ,что и доказывает теорему Гельмгольца.(1.35)Рис.
1.19. Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкостиНа основании этой теоремы можно сделать заключение оформе вихревых трубок. По доказанному вдоль вихревой трубки∫ ωndS = const . По теореме о среднем значении интегралаω1S1 = ω2 S2 = const ,где ω1 и ω2 – средние угловые скорости вращения частиц.
Еслипредположить, что вихревая трубка заканчивается в жидкостиостриём, т.е. S2 → 0 , то ω2 → ∞ (рис. 1.19а). Но бесконечнобольшие скорости физически невозможны. Следовательно, вихревая трубка не может заканчиваться остриём в жидкости. Вихревая трубка заканчивается на границах области потока или замыкается сама на себя, как показано на рис. 1.19б. Границамиобласти потока служат боковые стенки сосуда, его дно и свободная поверхность жидкости, где и располагаются концы вихревых трубок. На рис. 1.2 представлена пелена вихревых трубок.Их концы прикреплены к задней кромке крыла.331.11.
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ1.11.1. Массовые и поверхностные силы, свойства давленияв идеальной жидкостиМассовая сила, отнесенная к единице массы, называется единичной массовой силой (рис. 1.20).Рис. 1.20. Массовая и поверхностная силыПо определению единичная массовая сила в данной точке∆Flim.∆m→0 ∆mОна численно равна ускорению и имеет размерность Н/кг = м/c2.Если проекции силы на оси координат Fx , Fy , Fz , то проекцииединичных массовых сил:∆Fx ,X = lim∆m → 0 ∆m ∆Fy Y = lim,(1.36)∆m → 0 ∆m∆Fz Z = lim.∆m → 0 ∆ m В идеальной движущейся жидкости касательные напряженияравны нулю, и имеются только нормальные напряжения. Нор34мальное напряжение в данной точке жидкости называется давлением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
