Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 1 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (948278), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1.8. Движение элементарной жидкой плоскости15Далее рассмотрим движение жидкой плоскости, показаннойна рис.1.8. За бесконечно малый промежуток времени ∆t точка∂VzM 1 переместится относительно точки М на расстояниеdxdt.∂x∂VzСкорость этого перемещенияdx, а угловая скорость враще∂xния отрезка MM 1 относительно оси, проходящей через точку M∂Vzи перпендикулярную плоскости чертежа:.∂x∂VzУгловая скорость вращения ребра MM 3 будет. Следова∂xтельно, разноименные производные (1.13) — это угловые скорости вращения соответствующих ребер.Дадим следующее определение: компоненты ωx , ω y , ωz угловой скорости щ вращения частицы — среднее арифметическое из компонентов угловой скорости ребер:1  ∂V ∂Vy  ωx =  z − ,2  ∂y∂z  1  ∂V ∂V  ω y =  x − z  ,(1.15)2  ∂z∂x  1  ∂Vy ∂Vx  ωz = − .2  ∂x∂y  Можно доказать, что щx , щy , щz представляют собой угловыескорости вращения биссектрис углов, как показано на рис.

1.8.Для компонентов угловой скорости справедливо правило круговой перестановки: x, y, z, x, y, z, …При движении жидкой частицы прямые углы скашиваются.∂V  ∂VСкорости скошения прямых углов:  x + z  и т.д. Для сим∂x  ∂zметрии с формулами (1.15) вводятся половинные скорости:161  ∂V ∂V  ε zx =  x + z  , 2  ∂z∂x  1  ∂Vy ∂Vx  ε xy = + ,2  ∂x∂y  1  ∂V ∂Vy  ε yz =  z +.2  ∂y∂z  (1.16)В общем случае движение элементарной жидкой частицыможет разложено на три движения: поступательное вместе спроизвольно выбранным полюсом, вращательное относительнооси, проходящей через выбранный полюс, и деформационноедвижение.

Это утверждение составляет содержание теоремыГельмгольца о движении жидкой частицы.1.5. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ БЕЗ ВРАЩЕНИЯЧАСТИЦ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИТак как частицы жидкости не вращаются, т.е.ωx = ω y = ω z = 0 ,то на основании (1.15)∂Vz ∂V y ∂Vx ∂Vz ∂V y ∂Vx=,=,=.(1.17)∂y∂z∂z∂x∂x∂yЭти равенства — условия Коши—Римана для функцийVx ( x, y, z , t ), V y ( x, y, z , t ), Vz ( x, y , z, t ) в некоторый момент времени t = const . Они являются необходимыми и достаточнымиусловиями для того, чтобы дифференциальное выражениеVx dx + V y dy + Vz dz в данный момент времени было полным дифференциалом некоторой функции ϕ( x, y , z, t ) :Vx dx + V y dy + Vz dz = d ϕ .(1.18)Функция ϕ( x, y, z , t ) называется потенциальной функцией, илипотенциалом скорости.17Так как полный дифференциал потенциала скорости∂ϕ∂ϕ∂ϕdϕ =dx +dy +dz ,(1.19)∂x∂y∂zто из (1.18) и (1.19) следует:∂ϕ∂ϕ∂ϕ= Vx ,= Vy ,= Vz .(1.20)∂x∂y∂zВсякому движению жидкости без вращения частиц соответствует свой потенциал скорости ϕ и наоборот, если существует ϕ , то это движение без вращения частиц.

Движение в этомслучае называется потенциальным. Оно полностью характеризуется функцией ϕ . Производная от ϕ по любому направлению S равна проекции скорости V на это направление.Выберем декартову систему координат (рис.1.9).Рис. 1.9. Производная по направлению (а)и скорость изменения функции (б)Пусть M 0 — фиксированная точка, а M — переменная точка.Потенциал является функцией точки: ϕ = ϕ( M ) .Производной по направлению называется∂ϕϕ( M ) − ϕ( M 0 )= lim.∂S MM 0 → 0MM 0Положение точки M можно задать длиной S отрезка:x = x ( S ), y = y ( S ), z = z ( S ) ,где S — выступает как параметр. Следовательно,18ϕ = ϕ( x, y , z ) — сложная функция, зависящая от S через x, y , z :∂ϕ ∂ϕ dx ∂ϕ dy ∂ϕ dz=++,∂S ∂x dS ∂y dS ∂z dS∂ϕ ∂ϕ∂ϕ∂ϕ=cos(S, x ) +cos(S, y ) +cos(S, z ) .∂S ∂x∂y∂zТак как∂ϕ∂ϕ∂ϕ= Vx = V cos( V, x ),= V y = V cos( V, y ),= Vz = cos( V, z ),∂x∂y∂zто∂ϕ= V [cos(S, x ) cos(V , x ) + cos(S, y ) cos(V , y ) + cos(S, z ) cos(V , z )] =∂S= V cos( V, S)=VS , то есть имеет место равенство:∂ϕ= V cos( V, S) = VS .(1.21)∂S∂ϕПроизводнаяхарактеризует быстроту изменения ϕ .

Быст∂Sрее всего ϕ меняется в направлении V . Когда S совпадает с V , то∂ϕcos( V, S) = 1 и= max .∂SРавным значениям потенциала скорости в различных точкахпространства соответствуют поверхности уровня потенциала ϕили поверхности равного потенциала. Уравнение семейства поверхностей равного потенциала будет: ϕ( x, y , z ) = const .Линии тока перпендикулярны поверхностям равного потенциала (рис.

1.10). Возьмем S по касательной к поверхности∂ϕϕ = const . Так как ϕ = const , то= 0 . Следовательно,∂SV cos( V, S) = 0 , т.е. V перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.19Рис. 1.10. Эквипотенциальные поверхности и лини токавзаимно перпендикулярны1.6. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ(СПЛОШНОСТИ) ПОТОКАПредполагаем, что движущаяся жидкость сплошным образомзаполняет пространство или определенную его часть и что вовремя движения не происходит ни потери вещества, ни его возникновения.

Такие предположения налагают некоторые условияна изменения плотности и объема жидкости во время движения.Это условие называется уравнением неразрывности.В потоке жидкости возьмем произвольную точку M с координатами x, y , z (рис. 1.11) и выделим в окрестности этой точки элементарный объем жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка M была бы одной из его вершин.

Пустьплощадь поверхности параллелепипеда S, ребра параллелепипедапараллельны координатным осям, а их длины соответственно равны dx, dy, dz . За бесконечно малый промежуток времени dtвнутрь рассматриваемого объема через левую грань площадьюdydz в направлении оси x втекает масса жидкости ρVx dydzdt .20Рис. 1.11. Неподвижная бесконечно малая поверхностьЗа то же время dt через правую грань вытекает масса жидкости∂ρ  ∂Vdx  Vx + x dx  dydzdt =ρ +∂x  ∂x∂V∂ρ∂ρ ∂Vx= ρVx + ρ x dx + Vxdx +( dx )2  dydzdt =∂x∂x∂x ∂x∂ ( ρV x )= ρVx dydzdt +dxdydzdt.∂xПриращение массы жидкости, вытекающей за время dt иззамкнутой поверхности S в направлении оси x :∂ ( ρV x )dxdydzdt .∂xАналогичным образом, выразим приращение массы жидкости,вытекающей за время dt из замкнутой поверхности S в направлении осей y, z .

Тогда, приращение массы жидкости dm, вытекающей за промежуток время dt из замкнутой поверхности S :21() ∂ ( ρV ) ∂ ρV y∂ (ρVz ) x++dm =  dxdydzdt .∂y∂z  ∂xИзменение массы внутри S вызвано соответствующим изменением плотности жидкости. Подсчитаем это изменение массы.Внутри S была масса ρdxdydz , а через промежуток времени dtвнутри S она стала равной:∂ρ  ρ + dt  dxdydz .∂t Следовательно, изменение массы за время dt :∂ρ ∂ρdt  dxdydz − ρdxdydz =dtdxdydz .ρ +∂t ∂t∂ρТак как dm = − dtdxdydz , то∂t∂ ( ρV x ) ∂ ρV y∂ ( ρV z )∂ρ++=−∂x∂y∂z∂tили∂ ( ρV x ) ∂ ρV y∂ (ρVz ) ∂ρ+++=0.(1.22)∂x∂y∂z∂tЭто выражение называется уравнением неразрывности.Найдем другой вид уравнения неразрывности.

Производныепроизведений двух функций будут:∂ ( ρV x )∂V∂ρ∂V∂ρ dx= ρ x + Vx=ρ x +,∂x∂x∂x∂x ∂x dt∂ ρV y∂V∂V∂ρ∂ρ dy= ρ y + Vy=ρ y +,∂y∂y∂y∂y ∂y dt∂ ( ρV z )∂V∂ρ∂V ∂ρ dz= ρ z + Vz=ρ z +.∂z∂z∂z∂z ∂z dtСледовательно:∂ ( ρV x ) ∂ ρV y∂ (ρVz ) ∂ρ+++=∂x∂y∂z∂t((())(22)) ∂V ∂V y ∂Vz  ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz ∂ρ= ρ x +++++ . Так как+∂y∂z  ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t ∂x∂ρ ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz d ρ+++=,∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt dtто уравнение неразрывности принимает вид:∂Vx ∂V y ∂Vz 1 d ρ+++= 0.(1.23)∂x∂y∂z ρ dtЧастные случаи.1. Для несжимаемой жидкости ρ = const уравнении неразрывности (1.23) выглядит так:∂Vx ∂V y ∂Vz++= divV = 0 .(1.24)∂x∂y∂z2.

Если рассматривается потенциальное течение несжимаемой жидкости с потенциалом скорости ϕ = ϕ( x, y , z , t ) , то по∂ϕ∂ϕ∂ϕсвойству (1.20) производные= Vx ,= Vy ,= Vz , и фор∂x∂y∂zмула (1.24) переходит в следующую:∂ 2ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2ϕ++=0.(1.25)∂x 2 ∂y 2 ∂z 2Это уравнение для потенциала скорости называется уравнениемЛапласа, а функция ϕ , удовлетворяющая этому уравнению, называется гармонической функцией.В гидравлике рассматривали уравнение расхода, представляющее собой интегральную форму закона сохранения массы.Для трубки тока на рис. (1.12)Q = ∫ Vn1 dS1 = ∫ Vn2 dS2 = const .S1S2Уравнение (1.23) является дифференциальной формой законасохранения массы.23Рис. 1.12.

К уравнению расходаИнтеграл по замкнутой поверхности общей площадьюΣ = S1 + S2 + S связан с интегралом по объему. По формуле Остроградского — Гаусса:∫ VndS = ∫ divVdW .∑W(При подсчете потока вектора скорости через замкнутую поверхность в левой части этого уравнения примем внешнее направление нормали к поверхности за положительное.) Но в силууравнения неразрывности (1.24) расхождение вектора divV = 0и интеграл по объему в правой части равен нулю. Представляяинтеграл в левой части как сумму интегралов по участкам замкнутой поверхности и принимая во внимание, что в сечении S1внешняя нормаль направлена в сторону, противоположную Vn1 ,получим:∫ VndS = − ∫ Vn dS1 + ∫ Vn dS2 + ∫ VndS = 0 .1∑S12S2SТак как на поверхности трубки тока Vn = 0 , то последнее слагаемое в этом уравнении равно нулю и∫ Vn1dS1 = ∫ Vn2 dS2 = Q .S124S21.7.

ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВЕКТОРАСКОРОСТИ ВДОЛЬ КРИВОЙ.ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА СКОРОСТИЛинейным интегралом вектора скорости вдоль пространственной кривой AB (рис.1.13). называетсяBnlim∑Vi ∆Si cos αi = ∫ V cos α dSn→∞max ∆Si →0 i =1(1.26)AРис. 1.13. Интеграл вектора скорости вдоль кривой.Циркуляция вектора скоростиBBAAТак как V cos α = VS , то ∫ V cos α dS = ∫ VS dS . Косинус угла αмежду векторами V и S равен сумме произведений направляющих косинусов:cos α = cos ( V , x ) cos ( S, x ) + cos ( V , y ) cos ( S, y ) + cos ( V , z ) cos ( S, z ) .Направляющие косинусы cos ( V, x ) = Vx V , cos ( S, x ) = dx dS итак далее. Поэтому и интеграл (1.26) выражается через проекциивектора скорости Vx , Vy , Vz как∫ VS dS = ∫ (Vx dx + Vy dy + Vz dz ) .(1.27)По определению интеграла при изменении направлениядвижения по кривой25жения по кривойBA∫ VS dS = − ∫ VS dS .A(1.28)BЕсли, как показано на рис.

Характеристики

Список файлов книги