Гильберт, Бернайс - Основания математики. Теория доказательств (947376), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Затем в качестве замены для е,б (г) берется некоторая цифра с и вместо появившегося на месте терма Б,(1 (г)+3 терма <+3 пишется его значение, т. е. цифра с"'. Затем в качестве замены для терма Бс!В(у, с ) берется некоторая цифра В и вместо терма 6 5 пишется его значение в виде некоторой цифры и. И наконец, берется некоторая цифра, являющаяся заменой для терма В„Я(х, и, О"). ') Запись й (с, аьш (с, и)) следует понимась таким образом, что переменнап с, возможно (но не обваательно), встречается также и вне выражсаии ава (с, ь). В» 1ЗЗ 132 исследов«нне Аииеметихи пги помощи в.снмволА 1гл и' ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬВЕРТОВСХР!Й ПОДХОД «41 Идея такого способа заключается в том, что сначала назна-., чается замена для некоторого е-терма, а после этого каждый . терм, фигурирующий в качестве составной части и не являю- щийся цифрой с самого начала, превращается в некоторую цифру:, предшествующими заменами и вычислениями значений постоян- ных термов.
Тем самым непосредственные замены производятся только для таких з-термов, которые не содержат никаких других ' термов, кроме цифр. Этот метод приносит, с одной стороны, некоторые упрощения, а с другой стороны, известные осложнения: упрощения — постольку, поскольку при этом непосредственные замены нужно производить только для е-термов степени 1; осложнения — постольку, поскольку совокупность е-термов степени 1, для которой нужно брать непо- средственные замены, не вполне определяется е-термами, имею- щимися в заданном списке формул, а зависит еще н от выбран- ных замен.
Этим разложением замен в последовательные редукции «изнутри» мы, прежде всего, добиваемся того, что гильбертовский метод нахождения экземплярных замен по критическим формулам ока- зывается применимым и в случае критических формул ранга выше 1. Но, кроме сказанного, этим способом мы добиваемся еще и того, что в результате этих замен все формулы з-равенства тоже переходят в истинные формулы.
Действительно, если мы имеем формулу а = Ь -4 е й (», а) = е„й((», Ь), где термы а и Ь при некоторой общей замене получают одно и то же значение, то в процессе нашей последовательной замены изнутри термы е„й (», а) н е,й (», Ь) должны будут получить замены, представляющие собой одну и ту же цифру. Несмотря на все преимущества, которыми обладает метод замен путем последовательных редукций, он все-таки не вполне пригоден для рассмотрения критических формул ранга выше 1. Как мы уже отмечали, всякая критическая формула ранга выше 1 имеет вид й(1, В„6(1, »))-+ 6(е 4Л(й), а,6(а 6(Л), »)).
Здесь з Е (х) представляет собой тот з-терм еей (Е, е„6 (Ь', »)), о кото. рым связана указанная формула. Нахождение какой-либо экземплярной замены ! для этого терма о помощью данной критической формулы происходит тогда, когда при некоторой общей замене эта формула оказывается истинной, а 1 получает значение 1 либо непосредственно, либо в силу этой замены. !Наша процедура последовательной редукции обеспечивает совпадение при рассматриваемой общей замене истинностного значения посылки й(1, е„6(1, »)) стинностным значением, получаемым при этой общей замене формулой Я(1).
т. е. й (й е„6 (1, »)). ~ П этом ситуацию несколько осложняет то обстоятельство, ри эт что истинностное значение формулы й (1, е„6 (й »)) зависит от замены, которой в рамках рассматриваемой общей замены подвергается терм е„6(4, »). Таким образом, экземпляр- ная замена для терма е„.'Л (Л), содержащего подчиненное ему е-выра- жение е„6 (г, »), как таковая (т. е, в качестве экземплярной замены) зависит от замены для терма е„6(1, »), получающегося из упомянутого подчиненного е-выражения е,6(х, ») в резуль- тате замены переменной г цифрой Ь Этот терм е„6(1, ») — в кото- ом цифра 1, быть может, определяется только общей заменой— имеет тот же самый ранг, что и В-выражение В,6(е, »).
Следова- тельно, этот ранг меньше ранга терма а Л(г). Т б тоятельство, что экземплярные замены для термов ранга к неко- 1+1 зависят от замен для термов ранга 1 и ниже, ведет к н торому спуску, , которым можно воспользоваться для того, чтобы показать, что процедура нахождения экземплярных замен в конце концов обрывается, Ч б придать этому спуску по рангу обозримый характер, мы б дем стремиться составлять замены е-термов ранга в то ы ыше 1 из замен для термов ранга 1 способом, аналогичным тому, с помощью которого, используя процедуру последовательных редукций, мы ст строили замены для термов более высоких степе- ней из замен для термов первой степени. Чтобы объяснить, как следует пользоваться этой аналогией, мы сопоставим друг с другом ряд простых примеров.
Возьмем, с одной стороны, терм е„й(х, е«2(у)), имеющий степень 2, и, с другой стороны, терм з„й(е„е(х, у)), имеющий ранг 2. Будем считать, что в обоих термах не встречается никаких других а-символов, кроме явно указанных. Замена для первого 1З4 исследовлние хгифметики п»и помощи -символл шл и из этих термов производится, согласно процедуре последователь' ной редукции, таким образом, что сначала е„й (у) заменяется некоторой цифрой й а после этого е,й (х, «) тоже заменяется. некоторой цифрой. При этом роль цифры 1 является двойствен-~ ной: с одной стороны, она помещается в наш е-терм степени 2 на место герма е,й (у), вследствие чего этот е-терм переходит' в е-терм степени 1; с другой стороны, всюду, где терм е»й(у).
выступает в роли самого себя (т. е. не в качестве составной части ', какого-либо объемлющего его е-терма), эта цифра играет роль значения терма е,й(у). Таким образом, цифра 1 в одном случае. играет роль терма, а в другом — значения терма. Если мы теперь будем искать аналогичный способ выполне- ' ния замены для терма е„к(е»2(х„у)), то цифровой замене 1 для терма е„й(у) при этом может не соответствовать никакая цифровая замена для зэк(х, у), что видно хотя бы уже из того, что, когда 1 является цифрой, выражение е„й (1) термом вообще ие ' является. Более того, в качестве замены для терма е„й (х, у) нужно обязательно брать такое выражение, которое содержит связывае- ' мую извне переменную к.
Следующую отправную точку для правильного выбора замены дает наше стремление сохранить двойную роль замены: терму е„с (у) «самому по себе» (из первого, примера), т. е. рассматриваемому независимо от его вложенности ' в какой-либо другой терм, в данном случае соответствует терм вида е„е(а, у), где а — терм. Если заменадля выражения е»е(х, у) должна определять значение любого из термов е«е(а, у), то это, значит, что она должна давать значение этого терма всякий раз, когда известно значение терма а; это значит, что каждой конкретной цифре 6 она должна соотносить (в виде цифры) определенное значение терма е»й(д, у).
С учетом этого требования мы приходим к следующей процедуре функциональной замены: сначала, исходя из выражения е„й(х, у), мы строим некоторую именную форму е»2(с, у), заменяя в упомянутом выражении связанную переменную х какой-либо свободной индивидной переменной, например с. Затем для этой именной формы мы указываем замену в виде функционального знака 1 с аргументом с вместе с инструкцией, однозначно соотносящей каждой конкретной цифре д значение (в виде цифры) ((в). Каждый вводимый таким образом функциональный знак мы будем мыслить себе добавленным к лежащему в основе нашего рассмотрения арифметическому формализму.
Так как для этих функциональных знаков не формулируется никаких специальных аксиом и так как, с другой стороны, задается инструкция по '.: вычислению построенных с участием этих знаков термов без переменных, то их добавление может быть произведено безо всяких других изменений в сгруктуре нашего доказательства. пеРВОНАчлльный Гильвегтовский подход 135 «и Что же касается задания значений вводимых функций, то мы всюду у будем обходиться такими функциями, которые имеют отлич- от- ные от нуля нуля значения только при конечном числе значений (со ветственно систем значений) аргументов и для которых поэтому б чений может быть задан путем прямого перечисления этих значений (соответственно систем значений) аргументов и отвечающих им значений функций. Внесение функциональной замены 1(с), заданной для некотофо мы е "(с, у), заключается в том, что вместо каждого вхождения е-терма или е-выражения е»2(а, в), у кото- рого связанная перем еременная в не входит в терм а, подставляется е 'ей(х )) соответствующ с вующее выражение((а).
В частности, изтерма е й(е„.'(х, у)) таким образом получается терм е к(((х)), ранг котор р ого авен единице; а замена терма е„й (е„".(х, у)) после этого заключается в том, что сначала для е„й (с, у) задается функциональная замена ( (с), а затем для терма е й'(((х)) берется замена в виде некоторой Любая критическая формула К (е„е (1, о)) -+- % (е„2 (е, и)), связанная с термом е й (е»й(х, у)), который мы для краткости обозначим буквой е, после замены герма е„й(с, у) через((с) пере- ходит в критическую формулу й(1 (1))-»й(((е Ж(1 (х)))), ранг которой равен единице. ы можно без Описанную процедуру функциональной замены можно ез особого труда применять в ситуациях с произвольными подчинениями е-термов. Разве что в качестве функций, используемых для замен, придется брать и функции с несколькими аргументами.
Пусть, например, нам задан терм е„6 (х, е»Э (х, у, е,6 (г), еЯ (у, г), е,9 (х, у, г))) ранга 3, и пусть в этот терм не входят никакие другие е-термы, кроме явно указанных, Тогда применение процедуры функциональной замены произойдет следующим образом, Сначала мы составляем список е-выражений ранга 1: е,б(г), еЯ(у, г), е,Я(х, у, г). Берем для е,б(г) замену в виде некоторой цифры г; для двух других е-выражений мы образуем какие-нибудь соответствующие им именные формы, например еЯ (а, г) и е,Я (и, Ь, г) и берем для них функциональные замены ((а) и й(а, Ь). В 137 136 исследовхние АРифметик»! пгн помощи «-символА 1гл.1 пеРВОнАчАл! нып г!лльГГРТОВский пОдхОд результате внесения этих замен заданный е-терм перейдет в е-те Р е„!)((х, е„3 (х, у, «, ( (у), й (х, у))), имеющий ранг 2. Теперь для входящего в этот терм е-выражеии ранга 1 в„ч!(х, у, «, ((у), й(х, у)), содержащего связанную извне переменную х, мы образуем имен.' ную форму е„6 (а, у, с, ((у), й(а, у)) и берем для нее замену Ь(а); внесение этой замены в предыдущий в-терм ранга 2 теперь дает нам терм ранга 1 Е,И (х, Ь (х)), для которого мы затем берем замену в виде некоторой цифры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
