Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В тесной связи с понятием 1-численности находятся понятия одно- вначности и взаимной однозначности. Их тоже можно формали- зовать с помощью знака равенства. Так, формула чх ЗУЛ(х, У) А «хогг(Л(х, у) АЛ(х, г) — у==в) выражает свойство отношения Л (а, Ь) (предиката с двумя субъек- тами), заключающееся в том, что для всякого элемента а сущест- вует один и только один элемент Ь, для которого имеет место Л (а, Ь).
А формула выражает то обстоятельство, что посредством отношения Л (а, Ь) индивидная область взаимно однозначно отображается на себя, ") сврегэ н Рассел не могли эоокользоватьсн эгкмк более простыня формулами дкя опрелелоннн числа ко той крнчнне, что э основу своей теории онн положили лопущенке об универсальной инбиоибной области, длн которой количество принадлежащих ей элементов как варьирующее рассыагрнэатьсн не может. 1«ь 'Ух(ЗУЛ(х, у) АБУЛ(у, х)) А МхЧУ1«г ((Л (х, у) А Л (х, г) -» у = г) А (Л (х, г) А Л (у, г) -» х = у)) РАСШИРЕННЫЙ ФОРМАЛИЗМ 212 212 исчисление пРидикАТОВ с РАвенством игл ч Приведенные примеры иллюстрируют разнообразие изобразительных воэможностей, открывающихся перед нами в результате введения знака равенства.
Рассмотрим теперь аксиомы равенства и способы их ибпользования в процессе дедукции. Относительно этих аксиом в первую очередь необходимо заметить, что от формул (э'«) и (э») можно легко перейти к соответствующим им формулам со связанными переменными. В самом деле, формулы (1,) и (л э) дедуктивно равны формулам чх(х = х) и )(хрр (х = у -~ (А (х) -ь А (у))), что является непосредственным следствием одной иэ первых наших 'теорем о дедуктивном равенстве. С точки зрения содержания формула (1,) может рассматриваться как формализация «закона тождества», а формула (1») соответст- вует принципу замены равного равным. Теперь мы перейдем к выводу из аксиом равенства рядаспе- циалькых формул.
При атом мы начнем с тех из них, которые выра- жают общеизвестные формальные свойства равенства. Эти фор- мулы мы получим следующим образом. Прежде всего, мы подста- вим в формулу (1») равенство с« = с вместо А (д). Тогда у нас получится формула 1)) а = Ь -«- (а = с -+ Ь = с). В полученную формулу подставим а вместо с, а аатем поменяем местами посылки. Тогда получится а=а-+ (а = Ь-1-Ь =а), а ота формула вместе с (1,) по схеме заключения дает 2)) а = Ь -«- Ъ = а. Формулу зту можно получить и без применения (1,). Дейст- вительно, подставим в (лэ) вместо А (д) формулу а = «1 †» д = а. Тогда получится а = Ь -«- ((а = а — ь а = а) -+ (а = Ь -«- Ь = а)). Здесь опять можно поменять местами посв»лки, и так как а = а -+.
а = а получается подстановкой из тождественной фор- мулы С вЂ” ~- С, то по схеме заключения мы получаем а = Ь -+ (а = Ь -+ Ь = а), в отсюда — средствами исчисления высказываний — формулу 2)). Из этой формулы с помощью контрапозицни и подстановки можно, кроме того, получить 2а)) а Ф Ь -+ Ь Ф а. Далее, из 1)) при помощи подстановок мы получаем Ь = а -+ (Ь = с-«- а = с), а эта формула совместно с 2)) по правилу силлогизма дает 3)) а = Ь-~ (Ь = с — ь а = с). Формула 2)) выражает свойство симметрии равенства, а формула 3)) — свойство транзитивностн; (У,) выражает свойство рефлексивности.
Вообще, о предикате Я(а, Ь) мы говорим, что он рефлексивен, если имеет место И(а, а), что он симметричен, если имеет место И(а, Ь) — ьй(Ь, а), и что он,транзитивен, если имеет место Я(а, Ь)-~-(Я(Ь, с)-э.й(а, с)). Эти три свойства — рефлексивность, симметрия и транзитивность — часто вместе называются характеристическими свойствами отношения равенства. Но при этом речь обычно идет не о равенстве в смысле тождественности, а скорее только о некотором роде соепадепил '). В самом деле, любое отношение между двумя объекта»«и, имеющее характер какого-либо совпадения,— такое, как подобие фигур, параллельность прямых, равенство длин отрезков или топологическое равенство многообразий,— обладает указанными тремя свойствами. Среди всех такого рода отношений равенство выделяется тем, что оно означает не какое-нибудь одностороннее совпадение, а совпадение вообще — по меньшей мере постольку, поскольку в расчет принимаются признаки, могущие быть выраженными посредством основных предикатов рассматриваемой теории.
Эта полнота совпадения и находит свое выражение во второй аксиоме равенства. Приведенные выше выводы формул 2)) и 3)) из формул 1)) и (э,) показывают, что для установления указанных трех свойств у какого-либо отношения Я (а, Ь) всегда будет достаточно вывести две формулы: И(а, а) И(а, Ь)-+.(Я(а, с)-ьй(Ь, с)). ') В настоящее время употребительным является термин «отношснне эквивалентности». РАСШИРЕННЫЙ ФОРМАЛИЗМ «гл. у 245 «н исчисление НРедикАтов с РАвенством 244 Обратно, вторая из этих формул может быть получена нз формул для симметрии и транзитивности с помощью правила силлогизма, так что система из трех формул для рефлексивности, симметрии и транзитивноцти равнозначна системе, состоящей из двух последних формул.
Из формул 2)) и 3)) мы можем также вывести формулу 4)) а=с — ~(Ь=с- а=Ь), соответствующую утверждению о том, что два объекта, порознь равные третьему, равны между собой. Иа формулы 4)) по правилу контрапозиции мы получаем а = с -+- (а чь Ь «- д ~ с), а отсюда, переставляя посылки и применяя правило замены для импликации, получаем формулу 5)) а ~ Ь -+. а Ф с )/ Ь Ф с.
Из формулы (1,) подстановкой вместо формульной переменной А (с) получаем а = Ь -»- ( 1 А (а) -+- 1А (Ь)), а отсюда, применяя контрапозицию, а = Ь вЂ” »- (А (Ь) — А (а)). 2. Применение аксиом равенства к различным преобразованиям, в частности к преобразованиям для оценок числа элементов в иидивндной области; количественные формулы. Еще одно примене- ние формул (1,) и (1,) заключается в том, что с их помощью могут быть проиаведены преобразования, которым с содержательной точки арения соответствует трактовка единичного суждения как частного случая всеобщего суждения, с одной стороны, и экзи- стенциального суждения — с другой.
Эквивалентности, на которых основываются эти преобразо- вания, записываются в виде формул ба)) А (а) 'Фх(х = а- А (х)), 6Ь)) А (а) лх (х = а & А (х)). Вывод формулы ба)), согласно схеме эквивалентности, сводит- ся к выводу двух импликаций: А (а) -+ ~х (х = а -+. А (х)), эх (х = а -+- А (х)) -+. А (а). Первую из них можно получить, отправляясь от (ранее выве- денной из (1»)) формулы а = Ь -» (А (Ь) — »- А (а)), из которой перестановкой посылок можно получить А (Ь) -»- (а = Ь-~ А (а)); затем надо применить правило (а) и подставить а вместо Ь.
Обратная импликация »/х (х = а -»- А (х)) »- А (а) получается следующим образом. Сначала из формулы (а) подстановкой получаем 'э»х (х = а -». А (х)) -«- (а = а — » А (а)). Затем, в результате перестановки посылок и примене: . хемы заключения зта формула с учетом (1») дает нам желаемую формулу.
Перейти от ба)) к 6Ь)) проще всего следующим образом: взять от обеих частей эквивалентности отрицание, аатвм подставить ~ А (с) вместо А (с) и снять двойные отрицания. Если' в правых частях формул ба)) и 6Ь)) равенство х = а заменить его отрицанием х ~ а, то получающиеся выражения Ч х (х ~ а -+. А (х)), 3 х (х ~ а & А (х)) не будут больше допускать такого простого преобрааования, исключающего из них равенство и связанные переменные; но все же они могут быть переведены в выражения, построенные с помощью связок исчисления выскааываний из элементарной формулы А (а) и иа таких формул, в которых переменная а не встречается и которые соответствуют некоторым утверждениям о нижней оценке для числа индивидов со свойством А или о верхней оценке для числа индивидов со свойством ~А.
Действительно, имеют место эквивалентности 7а))»ух (х~ а-+.А (х)) (Ъх А (х) ~/ ( 1А (а) & М хну (х Ф у-+ А (х) ~/ А (у)))) И 7Ь)) Вх (х -ь а & А (х)) (Вх А (х) & (А (а) — ». Лх Зу (х чь у & А (х) & А (у)))), и их правые части на самом деле обладают укааанным свойством. Формулы »УхА(х), 'Фх7у(х~у-»-А(х) ~/ А(у)), ЭхА(х), Эха(хну&А(х)&А(у)) соответствуют высказываниям: «Не существует ни одного индивида, обладающего свойством 1 А». ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ С РАВЕНСТВОМ )гл. у 276 РАСП!ИРЕННЫИ ФОРМАЛИЗЫ 217 «Существует не более одного индивида, обладающего свой- ством )АМ «Существует не менее одного индивида, обладающего свой- ством А».
«Существует не менее двух индивидов, обладаюпп«х свой- ством А». Что касается вывода этих формул, то 7Ь)) получается из 7а)) способом, аналогичным тому, каким 6Ь)) была получена иэ ба)),— путем взятия отрицания у обеих частей и последующей подста- новкой 7А (с) вместо А (с). Таким образом, нам будет достаточно вывести одну только формулу 7а)). Вывод ее оказывается довольно длинным, и мы наметим его только в основных чертах. Формула 7а)) имеет вид Я ()8 ')/ («1 6 & З)). Если ыы расщепим эту эквивалентность на две имплнкацни, а затем применим схемы конъюнкции и дизъюнкции и закон дистрибутнвности, то убедимся, что нам достаточно вывести следующие четыре формулы: Я-«Е ~/ '«)6, Я-+ Е)/ л, В-«Я, 76& Я)-«Я Первая из них может быть преобразована в 6&Я «ф, вторая выводится из а четвертая может быть преобразована в П7- Я 1/6. Таким образом, наша задача сводится к выводу следующих четырел формул: 6& Я-».)8, Я-» Ж, )8- Я, Й-«Я 1/6, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
