Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 41
Текст из файла (страница 41)
2. Формула А (а) дедуктивно равна формуле 'зх А(х). Вторую нз этих формул можно получить из первой по правилу (у') '), а пе вую из второй, пользуясь формулой (а). Тем не менее эти формулы друг в друга не переводимы. Действительно, если бы формула А (а) — тх А(х) 1 е1 двдтнтивнов влвкнство и двдгкционнля тиогкмл 198 была выводима, то выводима была бы и А (а) -~ Чх А (х). Однако это не так, потому что формула зта не является даже 2- тождественной. Каждый нз зтих двух рассмотренных нами примеров представляет собой некий класс случаев, когда между формулами имеется дедуктивное равенство, но переводимость, вообще говоря, места не имеет.
Именно, первый пример является частным случаем следующей теоремы: любые две формулы исчисления высказываний, не являющиеся тождественно истинными, дедуктивно равны. Эта теорема может быть получена на основании установленного ранее фанта '), состоящего в том, что если к исходным формулам исчисления высказываний присоединить формулу, не являющуюся тождественно истинной, то с помощью подстановон и схемы заключения можно будет вывести любую формулу. Второй пример может быть обобщен до следующей теоремы: елобая формула Я, содержащая одну или несколько свободных индивидных переменных, дедуктивно равна той формуле, которая получится из Я, если все зти переменные или же некоторые из них связать кванторами всеобщности, поставленными перед формулой.
Эта теорема извлекается из правил (з) и (е'). Из нее, в частности, следует, что при формальном изображении каких-либо утверждений мы всегда можем обойтись без свободных индивндных переменных. Различие между переводимостью и дедуктивным равенством коротко может быть охарактеризовано следующим образом: из дедуктивного равенства Я и З следует, что формула Я в любом выводе всегда может быть заменена формулой З; но из переводимости следует помимо того, что Я может быть заменена посредством З не только как целая формула, ион в том случае, когда она является составной частью какой-нибудь другой формулы. Причина этого различия заключается в той роли, которую свободные переменные играют в правиле подстановки и в использовании схем (а) и ())).
Эти правила обращения со свободными переменными на самом деле таковы, что в случае выводимости формулы В из формулы Я выводимость формулы Я е- В мы все же гарантировать не можем. Именно, заключить о выводимости формулы Я -е- З иа того, что формула З выводима из формулы Я, вообще говоря, невозможно уже в том случае, если при выводе В из Я только что упомянутые правила оперирования со свободными переменными применялись хотя бы к одной свободной переменной, входящей з формулу Я.
и) Си. с. 148. ) Ск. гл. 111, с. 98. 18 д. гииьсегь и. Бероеве игл. п» ИСЧИСЛКНИЕ ПРЕДИКАТОВ 2. Дедукционная теорема. Тем не менее имеет место следующая Т е о р е м а. Если формула )В выводима из формулы Я таким образом, что фигурирующие в формуле Я свободные переменные остаются в выводе (в качестве параметров) незатронуты.ни, то формула оказывается выводимой без использования формулы Я. Утверждение этой теоремы справедливо не только для формул чистой логики предикатов, но и для таких формул, в которых встречаются предикатные (а возмоп<ко, также и индивидные) символы; кроме того, утверждение теоремы можно понимать в финитном смысле. Это аначит, что нами будет указан способ, позволяющий по заданному выводу формулы 3, использующему формулу Я в качестве исходной, получить при соблюдении упомянутого условия вывод формулы Относительно заданного вывода мы сначала сделаем некоторое более сильное предположение; именно, мы будем считать, что в формулу Я не входят ни (выделенная в схемах (а) и (р)) переменная а, нн какая-либо другая переменная, в применении к которой в выводе й» производится какая-нибудь подстановка.
Наше рассуждение будет ааключаться в том, что ко всякой формуле, входящей в вывод формулы»л, мы нмпликативно добавим посылку Я. В результате вместо заключительной формулы Е мы получим интересующую нас формулу Я -«3, а место исходной формулы Я займет формула Я -»- Я, которая получается при помощи подстановки из тождественно истинной формулы А — »- А. В итоге мы оказались бы у цели, если бы полученная последовательность формул носила характер вывода. Разумеется, вообще говоря, это будет не так, потому что в результате повсеместного добавления посылки Я характеристические свойства вывода могут яарушиться.
Тем не менее вставкой соответствующих формул эти свойства могут быть полностью восстановлены. Именно это мы сеичас и покажем, рассмотрев различные составные части вывода: исходные формулы (формулы, вводимые непосредственно, вне связи с предшествующими формулами), подстановки, переименования связанных переменных и применения соответствующих схем. Разберем случай, когда рассматриваемая формула является исходной. Итак, пусть % — некоторая исходная формула нашего первоначального вывода; вместо нее у нас теперь должна оказаться 5 61 ДЕДУКТИВНОК РАВЕНСТВО И ДЕДУКЦИОННАЯ ТЕОРЕМА 195 формула Я вЂ” «Я.
Эта формула, вообще говоря, пе является исходной. Тем не менее ее можно вывести из формулы»э с помощью тождественной формулы А — »- (В -»- А). Если мы каждую из модифицированных исходных формул пополним таким выводом, то в части, касающейся исходных формул,— эа исключением формулы Я, которая теперь ух»е не числится среди исходных, — первоначальная структура будет вывода восстановлена. Добавление в формулах посылки Я пе разрушает подстановок, так как по сделанному нами предположению переменные, вместо которых производятся какие-либо подстановки, в Я не входят.
Переименование связанных переменных также не затрагивается добавлением посылок Я. Любая схема заключения переходит в последовательность, состоящую нз формул Я-«Я Я -«(6 — « а,) Я вЂ” ». Й Вместо этой последовательности мы всякий раз можем вставить вывод формулы Я вЂ” «Й иа формул Я-«6 и Я -«(С-«ь), который можно получить, воспользовавшись тождественно истинной формулой (А-« Б) -»-((А -»-(В-»- С)) -«(А -« С)). Столь же просто решается вопрос и в случае схем (и) и (р): вместо перехода от Ц -«В (а) 8 — «'з»з й» (з), ~гл. гу 196 ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКЛТОВ > 61 ДЕДУКТИВНОЕ РЛВЕНСТВО Н ДЕДУКЦИОННЛЯ ТЕОРЕМЛ 797 проиаводнмого по схеме (а)> мы получаем последовательность Я->-(Ц->.В(а)), Я -~- (Ц -> ~х л> (х)) .
Но в данном случае переход от первой формулы ко второй может быть осуществлен по правилу (у) с учетом сделанного вами предположения о том, что Я не содержит переменной а. Что же касается перехода по схеме ('р): В(а) — >-ц, ~хВ>(х)- то вместо ного мы получаем последовательность мы можем дополнить ее такой последовательностью формул, которая окажется согласованной с нашими правиламн.
Именно, сначала по правилам исчисления выскааываний мы переставим В формуле Я ->. (л> (а) — >. и) посылки, аатем к полученной формуле В (о) — (Я вЂ” ))) применим схему (р), что возможно в силу предположения, сделанного нами относительно Я, и наконец, в формуче Эх В (х) (Я и) мы снова переставим посылки. Итак, мы действительно можем построить вывод формулы Я вЂ” >. 5, в котором формула Я в качестве исходной не используется. Таким образом, мы докааалн нашу теорему при более сильном предположении, что формула Я не содержит ни одной из тех переменных, вместо которых пронаводилась какая-либо подстановка, а также не содержит переменной а.
Но теперь мы хотели бы, в полном соответствии с формулировкой нашей теоремы, предполагать только лишь то, что прн выводе З остаются неаатронутыми свободные переменные формулы Я. Мы не исключаем того, что будет производиться подстановка вместо какой-нибудь переменной, совпадающей с одной нз переменных формулы Я, или того, что переменная а, с одной стороны, будет выступать в качестве переменной в схеме (а) или (р), а с другой стороны, будет входить в Я. Однако в таком случае вхождение переменной, испольауемое в подстановке нли в применении соответствующей схемы, прн обратном прослеживании данного вывода не должно соответствовать вхож- дению этой переменной в исходную формулу Я.
Например, если формула А(а) выводится нз формулы >зх (А(х) & В (х)) при помощи ряда формул 'ух А (х) — >- А (а), 'ух (А (х) & В (х)) — А (а) & В (а), ~>х (А (х) & В (х)) А (а) & В(а) А& — >.А, А (а) & В (а) — >- А (а), А(и) & В(а) А (а) то, хотя в самом начале стого вывода производитсн подстановка вместо формульной переменной А с одним аргументом, все же совпадающая с ней формульная переменная в третьей формуле вывода з>х (А (х) & В (х)) оказывается неаатронутой, так как зта формула вводится в качестве исходной уже после того, как была произведена указанная подстановка. Мы теперь можем, не разрушая структуры вывода, поступить следующим образом: каждую переменную формулы Я, с которой цмеет место такая ситуация, заменить какой-нибудь новой, ранее пе встречавшейся переменной (того же типа) и произвести эту замену Вс>оду, где рассматриваемая переменная, в результате подстановки нли повторения, примо илн косвенно происходит нз формулы Я.
В рассмотренном вьппе примере применение этой процедуры свелось бы к тому, что во всех формулах, за исключением первой ~"орьулы у>хА (х) — >- А (а), формульная переменная А с одним аргументом была бы заменена какой-нибудь не встречавшейся ранее в выводе формульной переменной (например, С) с одним аргументом. (Формульная переменная А без аргументов этой заменой не была бы затронута.) Мы видим, что зта подстановка не нарушила бы структуры доказательства. Эффект произведенной замены состоит в том, что мы приходим к ранее рассмотренному случаю (соответствующиепредположения оказываются выполненными). При этом вместо формул Я и Б в реаультате выполненных замен получатся некоторые формулы Я* н 5*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
