Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

б 3. пред»яр»тельные»ам«чапия об употреблении исчисления преднкат»» Прежде чем приступить к систематическому изложению правил, необходимых для применения исчисления, рассмотрим несколько примерон. которые послужат нам для гого, чтобы освоиться с символикой. Прежде всего мы покажем, как можно символически выразить в исчислении предикатов аксиомы, при помощи которых формулируются основные свойства натурального ряда чисел. Эти аксиомы гласят: 1..Для каждого числа существует одно и только рдно непосредгавенно следующее. 2.

Нв сущесавуст числа, за которым непосредственно следуса 1, 3. Для каждого числа, отличного от 1, существуеа одно и только одно непосредстее>«>во предшествующее. Б этих предложениях встречаются в качестве индивидуальных предикатов отношения непосредственного следования и различия чисел. О ношение различия выступает не только в выражении «отличное от 1», но и неявно в выражении «только адно число»; ибо утверждение. что сущестпует «только адно» число известного свойства означает, что не существует двух таких различных чисел. Различие есть отрииание арифметического равенства. Поэтому мы вводим преднкаты: -(х,у) («х равно у») и р(х, у) («у непосредственно следует за х») н можем при помо>ци этих обозначений представи>ь приведенные выше аксиоиы следующим образом: 1.

(х) (Еу) [р(х. У) С1(л) (р(х, л) — ь=-(у, е))), т. е. «для всякого х существует некоторое у, которое непосредственно следует за х и которое равно всякому л, непосредственно следующему за х». 2. (Ех) Р(х, 1), т. е. «не существует х, за которым 1 непосредсзвенно следует». 3, (х) ( =- (х, 1) —. (Еу) ( р (у, х) б> (л) (р (л, х)— = (у, л))) ), т.

е. «для всякого х, которое огличается от!, существуе~ у, аа которым х непосредс>венно следуе~ и которое равно всякому л, за ко>орым не>зосредствейно следует х». Поясним далее на нескольких простых примерах метод доказательства в исчислении преднкатов. Начнем с предложения, недоказ) емосгь которого в исчислении второй главы явилась одним гз фактов, показавших нам недостаточность прежнег»>счисле>шя.

Предложе- Увгыг агтияв н г нпгттнн>н Зннг нння »В Гп т>на.н'ннн нг>н>вен>я ня>дне»ни> а> нис эта гласило: »Еслп существует сын, то существует отец». Первоначальное символическое выражение этого утверждения и исчислении предикатов имеет вид (Ех) Я (х) —. (Ех) у(х), причем 5(х) означает >х есть сын», а у(х) — «х есп, отец». Доказательство атоса предложения воззожно лишь, сели мы разло>кьм далее встречающиеся в нем предикаты. В понятии сына содержится, с одной сто- роны, прсдикэт ему>кчнна», с другой — отношение ребенка к родителям; в понятии отца — отношение к жене п ребенку.

Если мы введем, а соответствии с этим, вместо >х есть мужчина» знак М(х) и выразим предикат ят н у — роди>ели я» (или, точнее: ях и у. как мук> и жена, имеют ребенка я») при помощи символа К(х, у, я), то мы можем определить Я(х) так: М(х)й(Еи)(Еа) К(и, и, х) («х есть гын» означает ях есть мужчина, и существу>от и н и такис, что и в качес>ве мужа н с в качестве жены явчяюгся родителями х»). Точно так же у(х) определяется; (Еу) (Ея) К (х, у. з) (ях ссть отец» означает: «супгестпу>от у н з такие, чта х и у, как муж н жена, являются ради>елями я»).

Если мы вставим полученные выражения для Я(х) и )г (х), то рассмотренное утверягдепне будет иметь внд: (Ех) [М(х) й(Еи)(Еп)К(и, т, х)) —" (Ех) <Еу> (Ея) К (х, У, а). Эта Формула выражает отношение следования между двумя высказываниями, и для доказатетьства, которое мы ищем, вопрос своди>ся к гому, чтобы прийти о> первого из этих высказываний ко второму через ряд заключений, нн которых каждое обосновано а исчислении. Прп этом чы применяем привычный для нэс в исчислении высказываний п, конечно, законный в исчислении предикагов принцип, согласно кат рому из двух атно>г>ениГ> между высказываниями а( й) и 5 — > 6 всегда можно заключать й( —: 6, Прежде всего, в исчислении преднкатов для любых Г и 6 имеет л>ес>о соотношение: (Ех) (Е (х) йб(х)) -. >Ех) 6(х), соо>ветстаующее формуле Хйу — ну нсчасленич выска- зываний.

Если выражение (Еи) (Ео) К (и, я, х), являющеесл некоторым предикатом от х, для сокращения мы обозначим через И(х), то получив: 8 (х) ай М (х) й »Г(х). Вышеупомянутый способ заключения дает тогда: (Ех) 3 (х) — - (Ех) И (х) или, при подстановке выражения длл (»'(х): (Ех) Я (х) —. (Ех) (Еи) (Гнм ) К (>>, н, х). Но существует общее предложение этога исчисления. согласно которому. можно изменишь порядок следующих друг за другам без перерыва знаков существен»ннл.

Для двух знаков существования мы уже упоминали зто предложение; общее предложение получается по- средством его повторного применения. Если чы про- изведем эту перес>аповлу, то получим вместо последней формулы: (Ех) 3(х) — > (Еи) (Ео) (Ех> К >и, я, х). На ато и есть наше утверн<дение, с >ем лишь раз. лнчием, что переменные, сто>пцие после знака следа. вання , иначе названы.

Другии примером может служить предложение: ° Если суи(вгтвугт»ействие, гнн П шествует и при- чина>. Прежде всего иы представляем зто утверждение в форме: (Ех) Иг(х) — (Ех> ('! т): Од» значении в ивков»ез.ии з»кеаиаатав аз 92 у»к»в и."ч»звав,»ив крвоиаатаа Из(х) означает вх сеть действие», а ()(х) «х есть причина». Теперь мы снова разлагаем предикаты () и И', вводя двуместный предикат ах вызывает у», который мы обоаначим черезК(х, у). При агом для(/(х) и И'(х] получаются определяющие выражения: (з'(х) йй (Ех) К (х, у), Из(х) йй (Еу) К(у, х).

Подставляя эти ныраження, мы приводим наше утвер. м»денне к форме: (Ех) (Еу] К (у, х) — »(Ех) (Еи] К (х У). нлн, частично переименовывая переменные: (Еу) (Ех) К(х, у) — » (Ех] (ЕУ) К(х У). Эта формула есть непосредственное следствие предложения о перестановке знаков существования.

Упомянутое выше различие между (Ех) (у) А(х, у) и (у) (ЕХ] А (х, у) может быть проилшостриревано таюне на примере ривкимврквй ц обыкновенной гхвднмостн. Пусть л»ы имеел» какую-нибудь определенную последовательность однозначных арифметических функций ), (х), ),(х),..., определенных (как мы зто примем для простоты) для всех действительных значений х. Высказывание, что эта последовательность функций для каждого значения х сходится к О, в нашей символике может быть сформулировано так: (х) (в) ( < (О, с] †. (Еу) (и] [< (у, л) †» < ( ) [, (х] ), з))) (»для произвольного х существует, при всяком в, большем, чем О, такое у, что для всех я, больших у, выполняется неравенствс [Г'„(х) ! < в»].

Г(ри этом переменные у н и отнесены к целым числам, как роду предмегов, менгду тем как х и в относятся к роду действительных чисел. Утверждение, что послсдовательность функций равномерно сходишя к О для всех значений х, сич»вглнчески выражается так (х) (<(О, в) — »(Еу) (х) (л) [< (у, и) — » <(!),(х)!, ))) («для всякого з, большего, чем О, существу т что для всех х и твует такое у, неравенство и для всех л, больших у, выполняечся ) Г, (х) [ < в»).

Различие обоих УтвеРждении нахо,ит свое выра жение в различном позоженни зн ка общности (х) й . Точное установи«пне або»печении е печк«пеппе 4. прелпкатап В качестве подготовки к систематическому Р днкатив мы приведем сначала полный обзоР использованных обозначений. Встречаю иес являются п е е в р щ я в исчислении предикатов зна р жд сепз знаками для лврвмекиых ра.- ки р .. ' ами для переменных все~да служат личных одов. днак азпльшие или малые латинские буквы. )йы различаем: !.

Иерем«заныв выскезывоиияз Х, у. Х, 2. Пврвкенкые предметы (индивидуальные перемсн- 3. Лвремекяыв преднкотыз Е(.), 6(, ), Н(...,,), ... При этом переменные предикаты с различным чиме» слом пустых мест всегда считаются различными пе » ными, даже если у нкх одна и тз е б релатинская буква. же ольшея Поясним теперь, чтб мы будем понимать под зуомулвй исчисления предикатов. ». ать под орПрежде всего, предварительно мы можем сказви»и что под ло м л р. уло»! мы понимаем выражение, построен.

ное осмысленйым образом из упомянутых знаков для переменных с помон!ею знаков й, !у,, — »,, с щ юказывания, и знаков общности и суще. ствовання. Но соблюдение аксиоватической точки зрения, которую мы изложим в следующем параграфе и при которой доказательства проводятся по чисто оз Гзюиооеио» о з«оио. еиии оутиоитм \ ч и Узкое шииз.акко илодилиюы формальным правилам, не прибегая к истолкошзнию логических зпако:в, делает несбхо;иным характеризовать выражения, называемые формулами, только путем описания вх ~)юрмальнаго построещзя и избегать определений через неуточненныс понятия вроде оосмысленныйэ. сото касается вида формул, то мы прежде всего предпаяагаем, что> в ннх при известных услсвиях встречаются предметные персмснные — малые латин.

скис буквы †принадлежащие нм знаки сбщнос>и н существ вопия. Если в какой.нибудь формуле, наряду с предметной переменной, которой служит, например, х, одновременно встречается принадлежащий ей знак общности или существования, — в данном случае, следовательно, (х) или (Ех), — то соогветствузощая переменн;зя внутри формулы называется сеязашюб, в противном случае — гаибодззой. Ецы будем теперь понимать под формулами те и только >е комбинации >>иаков нашего >>счисления, которые оказываются таковыми в силу конечного числа применений следу>ощнх правил; 1.

Характеристики

Список файлов книги