Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Переменнсе высказывание есть формула. з, Преднкатные пеоеменные, в которых пустые места заполнены предметными переменными, суть форму>ям 3. Если какая-нибудь комбияация знаков о( есзь формула, то и и! — формула. 4. Если Ф н ю — какие-нпбудь формулы, причем одна и та же предметная переменная не встречается связанной внутри одной формулы и свободной внутри другой, то и З( б ю, ой'„'6, ой — -9, б( — и) суть формулы. з. Если % (х) означает какую-нибудь формулу, в которой переменная х выступает в качестве свободной переменной, >о и (х) 6(х) и (Ех) Зй(х) суть формулы.
То же самое справедливо соо>ветственно для других свободных переменных. Мы подчеркиваем, что согласно приведенному определению одна н та же переменная ве встречается в формуле одновременно в свободной н в связанной форме. Для зкономии скобок введем следующие соглашения: знакп —.-, >з', б, разделяют выражения сильнее, чем знаки общности и существования. Например, (х) Р (х) бз А является более простым способом записи для Кх) Е (х)) бз А.
Прежнее соглщпение, что Е) связывает теснее, чем —. и, а зоз еще теснее, чем Е), ос>ается в си лс. Л >ее, ко всякому встречающемуся в формуле знак об наст щ и или существования принадлежит опрсделснку ная часть формулы. к которой он о>>>осн>ся. Э>у часть мы будем называть областью бебсшеия соответствующего знака.
Так, в формуле; (х) (Р (х) —.-. (Еу) б (у)) область действия знака (х) простираещя до конца формулы, в формуле же> (х) Е (х) — (Еу) 0 (у) лип>ь до знака . Дальнейшего уменьшения количества скобок мы дос>игаем с помощью следующ его р вила: если несколько знаков общности >зли су>гсствования следуют непосредственно друг за ...ругом, не будучи разделены скобками, то это всегда нужно понимать так, что их ооласти действия простираются до одного и того >ке места.
1.!апример: (х) (Еу) (с)(Н(х, у, ) б К(у, )) б 1. (и) есть более простой способ записи для (х) ЦЕу) [(с)(Н (х, у, с) й К (у, с))) >з б 1. (ий Во избежание ошибок, мы поясним еще употребление больших ненедкпх букв, на котором мы вкратце останавлнвалнсь у>ко раньше в прнмепенич к исчислению высказываний (гл.
1о З 5). Эти буквы не являются знаками нашего языка формул, н принципиально без них вообще можно обод>ись. Они слумпзт лишь для того, чтобы облечь в краткую форму содержатель. ные сообщения об исчислении. При таких сообщениях мы обозначаем через о(;З, 6, ... щооые формулы, точный формзльный вид которых остается неопреде- от Аксиомы исчислении иредикотов оз Улкее иыиелек ее иредккомвв ленным. Так, вй-к6 заменяет любую импликацию, например, (А-+В) — е( — еС) или (х) Р(х) — в(х)О(х), Через 9((х) мы обозначаем любую формулу, содержащую своботную переиенную х; точно так же через вд(х, у) — формулу, в которой вот(ючаются свободные переменные х и у, и т. д.
б Б. Аксиомы исчисления ирскккотоо Уаы перейдем теперки подобно тому как прежде мы это сделали для исчисления высказываний, к устано. влепию системы аксиом для исчисления предикатов,из которой остальные истинные высказывания этого исчисления могут быть получены по определенным правилам. Установление аксиом и правил вывода, естественно, происходит в соответствии с содержательной интерпретацией формул. Однако вывод вистинныхэ формул, получаемых из аксиом, согласно аксиолщтической точке зрения, должен происходить чисто формально, так, что мы совсем не заботимся о смысле выражаемых формулами высказываний, а учитываем только содержащиеся в правилах предписания.Только при интерпретации полученных с помощью формальных операций результатов мы догокны принять во внимание значение знаков нашего исчисления. Эзо содержательное истолкование происходит следующим образом.
Мы представляем себе положенной в основу область индивидуумов, к которой относятся предиетные переменные и знаки общности и существования. Эта область остается неопределенной; мы только предполагаем, что она содержит по крайней иере один индивидуум. Формула исчисления преди. катон лишь в том случае называется всегда-истинной, нлн, как мы говорим также, общедкОЧимаи (айДЕглЕ!ийцП1д), если, независимо от еого, какой была выбрана область индивидуумов, при всякой произвольной подстановке каких-нибудь определенных высказываний, определенных предметов области индивидуумов и определенных для этой области индиан,уумов предикатов на место переменных высказываний, свободных пред.
метных переменных н предикатных переменных фор- мула каждый раз переходит в истинное высказывание. Общезначимые формулы исчисления предикатов мы называем также толсдегшгеннымее формулами. Прнведеел теперь соответственную систему аксиом. В качестве основных логических формул мы имеем, прежде всего, аксиомы исчисления высказываний, ,которые ради простоты мы даем в той же самой форме, как и раньше: а) Х~/Х-ьХ, Ь) Х вЂ” кХвуу, с) Х З/ Уву !,е Х, б) (х у)- (гзух- йзуу) (й-вВ попрежнему следует поникать как сокращен. ную запись для сдз/ 5)е К этим аксиомам мы присоединяем теперь в каче- стве второй группы две акспомы для согде и ссуще- ствуешю е) (х) Р (х) -+ Р'(у), 1) Р (у) -~ (Ях) Р (х).' Первая из этих аксиом означает: еЕсли предикат Р выполняется для всех х, то он выполняется также для любого уо.
Вторая форлвулз читается такс лЕсли нредикат Р выполняется для каксго-нибудь у, то существует х, для которого выполняется Ро. Для получения новых фбрмул из основных логиче- .скихформул, равно как из уже выведенных формул, мы имеем следующие правила. и) Правила подстановки а1) В формуле переменную, обозначающую высказывание, можно заменить любой формулой при условии, что эта замена происходит одновременно во всех местах, в которых встречается данная перел:енная, т с 1 рвеичвиык . узлы яечие1еиие лредак тач Аиеаемч и чпиемия предпкапме обозначающач высказывание, и что прн этом вообще снова получается формула в смысле определения, приведенного в предыдущем параграфе.
Кроме того, замена допустима лишь в том случае, если подставляемая формула не содержит предметной переменной, встречающейся в исходной формуле в связанном виде. о2) Свободная предметная переменная может быть заменена другой предмеп1ой переменной при условии, что зэ»чена происходит одновременно на всех дгестах, в которых встречается эта свободная предметная пере. менная. Подставленная переменная не должна, кроме того, встречаться где-либо связанной в первоначальной формуле.
мб) Предикатнан переменная с л пустыми местами при определенных условиях может быть заменена формулой, содержащей по меньшей мере л свободных предметных переменных. Пусть Е есть эта предикатная переменная с л пустыни местами, а й формула, в которой Р должно быть заменено. Мы выбираем из пред.
метных переменных, встречающихся в формуле, которая должна быть подставлена на место Р, какие-нибудь и, упорядоченные произвольным образом; пусть это будут, например, хм хм ..,, х„. В соответствии с этим обозначим подставляемую формулу через В (хм хе, ..., х„).
Подстановка допустима теперь лишь в том случае, если остальные свободные предметные переменные, которые еще могут присутствовать в 5 (х„хч,..., х„), не встречаючся в формуле й в качестве связанных переменных и если в результате подстановки мы вообще снова получаем формулу. Подстановка происходит следующим образо»И в кан(дом отдельном случае встречи предикатной переменной Р в й пустые места этой переменной заполнены какими-нибудь предметнььон переменными, которые мы (толы<о на данный момент) обозна. чим через ам о„..., о„. Эти оп о„., ., о„ие должны быть обязательно все различными, некоторые из этих переменных мзгут быть и одинаковыми.
Мы заменяем теперь в соответствующем месте Р(ам а„,, ап) на 5 (ом ам, .., а„), т.е. на формулу, получающуккя из 5(х„х„..., хп) путем замены переменных х„х„...х, всюду, где они встречаются, соответственное на о„о„..., о„. Аналогичная замена происходит вкаждом отдельном случае встречи Р. р) Схема заключения Из двух формул вида й и й — «5 получаем новую формулу В. 7) Схема для »все» и «существует» 71) Пусть мы вывели формулу й-- 5, у которой часть, стоящая после знака -, содержит свободную переменную х, в то время как в й переменная х не встречается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
