Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Величина Ь будет в числителе и знаменателе выражения (11) и не повлияет на результат. Лля учета непрерывного признака в диагностической матрице должны содержаться плотности вероятности. В практических задачах часто используют нормальное распределение, для которого плотность вероятности задается двумя параметра:ен — средним значением и средним квадратическим отклонением.
В диагностической ыатрице для при. знака К/ указаны параметры соответ. стаующего нормального распределения. Тогда при использовании формулы Байеса слелует принять Р (К//0л) = !(л;/0л) = (/- /(г,) е /гы . (16) Зл )г'йн Такилг образом, метод Байсса можно применять н в том случае, когда часть лз параметров задана с помощью непрерывного распределения.
В некоторых случаях оказывается удобным провести замену непрерывного распределения многоразрядным признаком, что не изменяет общего метода расчета. Решающее правило. Предъявленный для распознавания объект, обладающий кочпленсом признаков К', счятают принж1лежащим диагнозу 0с, если Р (0с/Ке) = шах. (17) т. е. вероятность диагноза 0л оказалась наибольшей. Сумма вероятностей всех диагнозов о ~ Р(0н/К ) =1.
5=! Однако если вероятность Р 10;/К'1 не слишком велика (напрнмер, меньше 0,4 — 0,5), то следует отказаться от постановки диагноза. Поэтому решающее правило можно сформулировать следующим образом: К" Е 0п если Р (0г/Ке] = шах, Р (О,/Ке) ~ Ры где Р; — пороговое значение для диагноза 0с(обычно принимают Рс > 0,9). Вероятностные мешоды распознавания Пример. Пусть при наблюдении за газотурбинным двигателем проверяют два признака: К, — повышение температуры газа за турбиной более чем на 50 'С и К, — увеличение времени выхода на максимальную частоту враще. ния более чем на 5 с.
Предположим, что для данного типа двигателей понвление этих признаков связано либо с неисправностью топливного регулятора (состокнне О,), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние О,). При нормальном состоннии двигателя (состояние Оа) признак К, не наблюдается, а признак Ка наблюдается в 504 случаев. На основайии статистических данных известно, что 80% двигателей вырабатывают ресурс в нормальном состоянии, 5%4 двигателей имеют состояние От и 15% — состояние Оа. Известно также, что признан К, встречается прн состоя. нии О, в 20%, а при состоинни О,— в 40% случаев; признак Кэ при состоянии О, встречается в 300~4, а при состоя. нин Оз — в 50% случаев Сведем все зти данные в таблицу.
Р !л,/о,! » (к,/о!) р (о,) О, Ор Оа о,з 0,4 о о.з 0.5 0.05 0.05 0%5 о,зо Найдем сначала вероятность состоя. ннй двигателк, когда обнаружены оба признака: К, и К,. Лля этого, считая признаки Кт и Кэ независимыми, примем формулы (11), (13): р (От/К Кэ) = 0,05 0,2 0,3 0 09 0,05 0,2 0,3+ + 0,15 0,4 0,5-1-0,8.0.0,05 аналогично получим Р (Оэ/К,Ка) = 0,91: (Оэ/КаКэ) = 0 Определим вероятность состояний двигателя, если обследование показало, что прн отсутствии признана К, признак К, наблюдаетск.
Отсутствие признака К, есть признак наличия 20 Заааа Ю 400 К, (противоположное событие) причем К /О!) = ! — Р (К,/О!). Ы' '= ля расчета применяют также формулу (1!), но значения Р ( К!"/О,.) заменяют иа Р (/7,/О!). Получим Р(Ог/К Ка) = 0,05 0,8.0,3 0,05 0,8 0,3 + + 0,15 0,6 0,5 + 0,8 ! 0,05 и аналогично Р (О,/К4Ка) = 0,47; Р (Оз/К,К,) = 0,4!.
Вычислим вероятности состояний в том случае, когда оба признака отсутствуют: Р (От/КгКа) аа 0,05 0,8 0,7 = 0,03; 0,05 0,8 0,7 + + 0,15 0,6 0,5 + 0,8 1 0,95 Р (Оэ/К4Кэ) = 0,05, Р (Оэ/К4Ка) = 0 92. Вероятности состояний О, и О, отличны от нуля, тан кан рассматриваемые признаки не являются детерминирующими. Из приведенных расчетов можно установить, что при наличии К, и К, в двигателе с вероятностью 0,91 имеется состояииеО,, т. е. увеличение радиального зазора, Прк отсутствии обоих признаков напболее вероктно нормальное состояние (вероятность 0,92).
При отсутствии признака К, и наличии признака К вероятности состояний Оа н О„ примерно одинаковы (0.47 и 0,41) и длн уточнения состояния двигателя требуется проведение дополнительных обследований. Преимущества и недостатки метода Байеса. Некоторые преимущества метода Байеса указывались ранее. Главное иэ них — возможность оценни вероятности всех состояний системы на основании использования широкого набора признаков различной природы. Основной недостаток метода оайеса — необходимость получения боль- 610 Осно«м теории технической диагностики шой предварительной информации (составление диагностической матрицы). Применению метода Байеса должна предшествовать статистическая обработка данных эксплуатации и в некоторых случаях специальные нсследонання, имитирующие неисправности (на. пример, изменение вибраций двигателя, собранного с дефектной лопатной и т.
п.), Другой недостаток метода Байеса— «угнетенне» редких диагнозов. Так как решение зависит от Р (О1)— априорной вероятности диагноза, то прн малых значениях Р (Р,) должна быть очень большая вероятность данной реализации комплекса признаков. Зто объясняется тем, что в основной расчетной формуле (11) в качестве множвтеля стоит Р (01), н потому данная реализация комплекса признаков для редкого диагноза должна иметь очень высокую вероятность Р (К«1Р1) н малую — при других днагнтвах, чтобы величина Р (Р«(КО) оказалась нзиболь.
щей. Для компенсации этого недостатка проводят расчет, предполагая все анри. орные вероятности диагнозов одина. ковымн: 1 Р (О») = = Р (РО) = —. я Это позволяет выяснить, для какого состояния наиболее хараитерна рассматриваемая реалнэапдя комплекса признаков. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Метод минимального риска. Зтот метод был развит в связи с задачами рцдиолокзцнн, но может вполне успешно использоваться в задачах технвче.
ской диагностики, Пусть проводится измерение параметра х (например, уровня нибраций иэделия) и на основании данных измерений требуется сделать вывод о воз. можностн продолжения эксплуатации (диагноз Р, — исправное состояние) или о направлении изделия в ремонт (диагноз Р, — неисправное состояние). На рнс. 1 даны значения плотности вероятности диагностического пара. метра .к для двух состояний. Пусть установлена контрольная нор. ма для уровня вибраций х,. В соответствии с этой нормой принимают: х ~ х« .кЕ О, — исправное состояние; ( х)х» хр Р,— неисправное состояние.
) (18) Знак Р означает, что объект с уровнем вибраций х относят к данному с осто я н ню. Из рис. 1 следует, что любой выбор величины х« связан с определенным Риском, тан как кРивые 1» и 1« пеРесекаются, Существуют два вида риска: риск «ложной тревоги», когда исправное иэделие признают неисправным, и риси «пропуска цели», когда неисправное изделие считают годным. В ~сории статистического контроля их называют риском постанщина и риском приемщика или ошибками первого и второго рода.
Прн данном х, вероятность ложной тревоги сс = ~У»(х]дх (19) хв н вероитность пропуска цели Кв Задача теории статистических реше. ний состоит в выборе оптимального значенкя х« По способу минимального риска рассматривается общая стоимость риска ОО Р = фР(О,) ~ )г (х) в(х -1- хв -~- С»ОР (Рэ) ~ 1«(х) в(х, (2!) где ф— «цена» ложной тревоги; С, »в «цена» пропуска цели; Р (О,) и Р (Р,)— априорные вероятности диагнозов (состояний), определяемые по предвари- д(«глады стагнистических решений б)1 Рпс, !. Поотпост» к«розг»осто акзгпостпческого признака г'! (х) дх ~ (а, (25) ~ )з(х)да =5, (23) тельным статистическим данным. Величина )т! представляет собой «среднее значение» потери прн ошибочном решении.
Из необходимого условия минимума дР— = — СиР (()~) )~ (х,) + дхо + С!«Р (Оз) )з (х,) = 0 (22) получаем )! (хо) С!»Р (Оз) !з (х.) Можно показать, что для одно. модальных распределений условие (23) всегда обеспечивает минимум вели. чины И. Если стоимость ошибочных решений одинакова, то — — (24) )! (хз) Р (0«) (з (хо) — Р (Е)1) Последнее соотношение минимизирует общее числа ошибочных решений. Оно вытекает также нэ метода Байеса, Метод Неймана — Пирсона.
В этом метеле исходят из условия минимума вероятности пропуска дефекта при допустимом уровне вероятности ложной тревоги. Таким образом, вероятность ложной тревоги где а — допустимый уровень ложной тревоги. 20« В рассматриваемых однопараметрических задачах минимум вероятности пропуска цели достигается при )т(х) дх = а. Последнее условие и определяет граничное значение параметра (значение "о) При назначении величикы а учиты.
вают следующее: !) число снимаемых с эксплуатации изделий должно превышать ожидаемое число дефектных изделий в силу неизбежных погрешностей метода оценки состояния; 2) прикимаемое значение лажной тревоги не должно, без крайней необ. хадимостн, нарушать нормальную эксплуатацию или приводить к большим экономическим потерям. В практических задачах можно принимать а = йР (сгз), (27) где й — коэффициент избыточности. При дефектах с ограняченными последствинми принимают й =! —:3. При опасных дефектах Й= 3 —:10, Можно использовать другой подход — определять хо исходя нз выбранного уровня пропуска дефекта. Тогда Основы теории технической диагностики б!2 «ь е с (л ~ое ) ~ ~ ~с е «» причем можно принимать ! Ь~ <Ан., х(х» «ЕОг', (29) х)хь «ЕОа, ~ ),( ь) С,~ (О,) )а (хь) (Сее — Се) Р (Г)~) хп — и ео, ха по )2 = — фР(()с) ~ )е (х) е(х -)- «ь «» + С„Р(О,) ~ )л(х)дх+ х, хо « л, Еа рпе. т.
При»пепе реме»»А прп . л«епп л нм неппреаелеппестп где А — коэффициент избыточности (А = 1 —:(0); Ф -- общее числа изде. ляй, находящихся и эксплуатации Во всех случаях ь ( 0,05, чтобы вероятность пропуска дефекта была пренебрежимо малой. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ЗОНЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Правило решения. В тех случаях, когда стоимость ошибок пропуска цели и ложной тревоги очень высока, можно уменьшить риск с помощью введения зоны неопределенности. Правило решения будет теперь таким (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
