Теплопередача. Учебник для вузов. В.П. Исаченко, В.А. Осипова, А.С. Сукомел, 1975 (945106), страница 5
Текст из файла (страница 5)
дОгггт, Ф,огнь. Количество теплоты, подведенное к грани ду Из в направлении аси Ох ва время Ит, составляет г(О„=ды((гол Дт, где проекции плотности теплового потока на напрввлеяле нормали к ука. ванной грани. Количестгю теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох, запишется нак С учетом сказанного в общем виде уравнение (1-27) запишется следуюшим образом: —,+ —,+ — "+ —.—.О. дЧ дм д "С ч дз' (1-ЗО) Наконец, для стационарной теплопроводности н отсутствия ввутренних источников теплоты выражение (1-27) принимает вид уравнения 5!апласа: дп дес дм дх» дз да — + —,+ —,=О.
Нахождение частных решений этих уравнений в частных пронзволных и некоторых других является основным содержанием теории тепло. проводности. (1-31) с-т. хслОвня ОднОвндчнОсти для лэОцяссОВ твплОЛРОВОднОсти Так как лиффереицпальнае уравнение теплопроволвостн вывадено на основе обецил законов физики, тапио описывает явление тенлапроподноетн в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное лнфференциальпое уравнение описывает целый класс явлений теплопровопности. Чтобы мз бессислепного количества выделить конкретно рассматриваемий продесс и дать его полное математическое описание, к лнфференцнальнаму уравнепясо необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматрипасмого пропесса.
21 дс (1-28) Коэффициент пропорциональности а, на/с, в уравнении (1-28) вазывается коэффициентом температур оцроводностн н является физическим параметром вещества. Он сушествен лля нестационарных тепловых пронессов и характеризует скорость иЗменения темпера. туры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводностн является мерой теплоннердионных свойств тела. Из уравнения (1-28) следует, что изменение температуры во времени с)(едт для любой точки пространства пропорционально величине а. Иначе говоря, скорость намеиения температуры в леобой точке тела будет тем больше, чем больше коэффндиент теьспературопроводноств а.
Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех ~очках пространства будет происходить быстрее а том теле, которое обладает большиы коэффициентом температуропроводиости. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вашества. Например, жидкости н газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом темперзтуропроаодности.
Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют больпеой коэффициент температуропроводности. Далее, если система тел не содер>Кит виутренвнх источников тепла (е)=О), тогда выражение (1-28) принимает форму урзвпее!Ня Фурье: де ( д 855 (1-29) Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т. е. с=с(х, х, х), то дифференциалЬное уравнение теплонроводностн нревраецаетса в уравнение Пуассона: Эти частные особенности, которые совместно с дяфференциальным уравнением дают полное математичесиое описание конкретного процесса теплосроводности„называготся условиями однозначности н ли краевыми услозиямн. Условия однозначности включают в себя: геометрические условия, характеризующие форму и разыеры тела, в которых протекает процеес; физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела; временные (начальные) условия, характерязущщие распределение температур в изучаеМом теле в начальный момент времени; граничные угловая, хараитсрвзующне взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей Средой.
Геометр ячес кими головня м в задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс. Физическими условиями задаюша фнзнчесхие параМетры тела Х, с, р и др. и может быть задан запои распределения внутренних источников теплоты. Начальные условия необходимы при рассмотрении нестацнонарных процессов и состоят в задании закона раепрелеления температуры внутря тела в начальный момент времени.
В общем случае начали. пое условие" аналитически может быть записано следующим образом: при т=б 1 — ((х, д, 2), (1-32) В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается! ори т=б 1=1з=сопз1. (1-33) Граничные условия могут быть заданы несколькими спасобамщ а) Гр анни и не условия первого рада. Прн зтом задается распределение температуры на поверхностя тела для каждого момента времени: 1,=((х, у, л, т), (1-34) где )з — температура на поверхности тела; х, и, и — координаты поверхности тела. В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжения всего вреыени протекания процессов тепло- обмена, уравнение (1-34) упрощается и принимает зиш 1, сопя(.
б) Граиячные условна второго рада. Прн атом задзютгл зНачения теплового потоки дла каждой точки поверхности тела и любого момента вреыени. Аналитичесии зте можно представить следуюшям образом: 4 ((х, р, и, т), (1-33) где 4 — плотность теплового потока иа поверхности тела; х, р, и†ках и в случае (1-34) †координа на поверхности тала.
В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности В во времени остается постоянной: (ы=(и=попай (1-36) а(г,— ! ).= — л[ — ), г дс ' [.') ' (1-33) где л — нормаль к поверхности тола; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при л-б). Окончагельно граничное условие третьего рада можно записать в виде (д ) Л( « (1-И) Уравнение (1-38) по существу является чжтным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела. Коэффициент теплоотдачн зависит от большого числа факторов.
Однако но многих случаях коэффициент теплоотдачн можно счита.гь неизменным, лозовому мы булем в лальпейшем при решении задач теплопроаодностн принимать величину а постоянной. г) Граничные условия четвертого рода характеризу!Рт условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону тгплопроводности. Предполагается, что между теламн осушест- * Зто оа«аленке «вравеалава н эл«««Г«а» обратно«о напра«юаня т«юювота пото«» Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании Различных металлических изделий в высокотемпературных печах. в) Граничные условия третьего рода. При этом вада- ются температура окружающей среды ! и закон теплообмена между поверхностью тела л окружающей среэлй. Граничное условие третьего рода характеризует закан теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела. Для аписания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона — Рихмана.
Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой относится к очень сложным процессам и зависит от большого количества параметров. Полробно этн вопросы будут рассмотрены во второй и третьей частях учебника. Согласно закону Ньютсна — Рихмана количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в едиаицу времеви, пропорционально разности температур поверхности тела !» и окружающей среды а«,(1«)! ): д= (1,— ! ф (1-37) где и — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(ма К). Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела н окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности н единицу времени при разности температур между поверхностью тела н окружающей средой, равной одному градусу.
Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с едннищя поверхности в единицу времени вследствие тепла. отдачи [ураннение (1-37)), должна равняться теплоте, подеодимой к единице поаерхносги в единицу времени вследствие тегчапроводности нз внутре«гнил об.ъемов тела [уравнение (1-10) *), т. е. Рнс гпв. К гренд ын Головням непюрюю род».
Г лаю нгоро ТЕНЛОПРОЕОДНОСТЬ ПРН СТАЦИОНАРНОМ РЕУКНМЕ ья пшвддчп тншоты чирия плоскшо стинкп (р.=.а( Прн установившемся, или стацнонарнои, тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной, т. е. дгрдт=б. При зтоьг лнфференциальиое уравнение теолопроводности будет иметь виде ОТ2+ — ' —...О ср (2-1) плн р'!+ о" = — 0 Л Если внутренвие источники ттптготы отсутствуют нсвие (2-1) упростится и примет ввдг рт(=6 (2-1') (От=-0), тс НРаз- (2.2) нли л»* Н ое (2 2') ' Гренвчные умов н»створ ого роде дают по слтдест г рввнл со р шнн темпервтгрныв полее обювте всследсе п г в вневюего в, в юмором тшло перелеетсн пу ем теплопюмодностм длн днсепшвов'формулнровк едш в ею слттсь елее е о необгодвмм доп лвнюленме .слепне о йропвюннн родессе «о ввею ем теле вляетгя идеальный контакт (температуры соприкасающихся поаерхностшг ОдияпкОВы).
В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоком, проходящих через поверхность соприкосновения: ' (бп) ''Лггн/' В задачах с граничным условием четвертого рода задается отноюение таигенсов угла маклана касательных к температурным ирнвым в в точке соприкосвовеиия тел илн тела н сре- ды' (рис. 1-12)г Пл 1, л тат. ы — '= — '==- сопьс тир, Л, (1-41) Ф Так как при совершенном контакте оба н тела иа поверхности соприкосновения имеют одшгаковую температуру, то касательные у поверхностн раздела проходят через одну и ту г же точку (рис. 1-12) Дифференциальное уравнение (1-26) совместно с условиями однозначности даютпоппую математическую формулировку коннретнай аадачи теплопронодвостгг.
Поставлеиваи таким образам задача разрешается аналнтпческнег, численным вли зкспериментальным методом, В случае экспериментального решения задач теплопроводности используютсп методы физического молелироввиия нлн тепловых аналогий (гл. 6 и 6). В настоящей главе рассматривается теплопроводность в телак простейшей гсомгэрнчесзай формы. Прн этом случаи, когда внутренние лоточники теплоты отсутсгаутот (э =О) и котла онн имеются (а,чьб), рассматриваются разделько. Первым объектом рассмотрения является переаача теплоты через плоскую пенку при д =О. а) Граничные услаэил первого рода Рассмотрим однородную н наотропную стенку толщиной 6 с пастоянным коэффициентом теплопроаодностн В На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянными температуры 1м и 1съ Прп заданных условиях температура будет изманяться только в направлении, перлевдикулярном плоскостя стенка.
Если ось Сх направить, как показано нн рнс. 2-1, та температура в направленни осей Од н Оа булет оставаться постоянной: дг дг — = — =О. дэ д» В связи с этим температура будет функцией только одной координаты х и днфференцнальное уравнение теплапронодносгн для рассматриваемого случая запишется в виде л*г Рис. Э-!. Однород—,=О. (23) н»н ппк»нн стенд»' ка. Граничные условия в рассматрпваеыай палаче запалим следующим образом: прн х=О 1=66) при х= — В 1=1„.( (2.4) Уравнение (2-3) н условии (2-4) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
