Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова 'Сборник задач по курсу физики c решениями' (935848), страница 36
Текст из файла (страница 36)
4 4! Гг )=)г — е 4пг Г 2 -2г/а 2 (2) Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид 1 Г/г1«) = — е "",где А — нормировочный множитель, равный ; г. г э~па 2ж расстояние частицы от силового центра„' а — некоторая постоянная. Определите среднее значение квадрата расстояния (г ) частицы до силового центра. 8лА~ге ~"~' 1- — =О, 1 — — '=0 а Ответ Ответ (508) ~~ф,, Волновая функция. описываюшая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид (л = А е и", где г — Расстояние электрона от ядра, а — первый боровский радиус. Определите наиболее вероятное расстояние г, электрона до ядра.
))и' ~ ~ ы — = 8)гА г е " ' + 4лА г е а/ Волновая фу и фу кция, описываюшая некоторую частицу, имеет вид -г~/(за ) р = е, где г — расстояние частицы от силового ценг- ра; а — некоторая постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние )„ частицы до силового центра. ~ф~ . Запишите уРавнение Шредингера для стационарны~ со ояиий электрона, находящегося в атоме водорода. 3 пишите одномерное уравнение Шрелингера (лля стационарны~ состояний) для частицы, движущейся под лействием квазиупру- гой силы Запишите обшее уравнение Шредингера для свободной частицы, яз „.
ъ ° движущейся вдоль оси х, и решите это уравнение. ' ф.)яф —, исходя из принципа классического летерминизма и причинности Ф в квантовой механике, объясните толкование причинности в классической и квантовой теориях Известно, что свободная квантовая частица описывается плоской :.'М ' монохроматической волной де Бройля. Плотность вероятности (вероятность, отнесенная к единице объема) обнаружения свободной частицы ° з )Ч'~ = 'РЧ'* =)А! = сопя) Объясните, что означает постоянство этой величины Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний для свободной частицы, движущейся вдоль оси х, а также определите посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы? Ответ ь-',~' Е = —, спектр непрерывный 2ш фаям Волновая функш)я, описывающая частицу в момент времени г = О, имеет вил Ч'(х,0)= Ае '~" '~, где а и к — некоторые поло- жительные постоянные Определите 1) нормировочный коэффициент А 2) область, в которой частица локализована.
Ответ юг, 1) А= —; 2) 0<к<а. ~ Б' Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной 1 с бесконечно высокими "стенками". Запишите уравнение Шредингера в пределах "ямы" (О 1 х 1 !) и решите его. Волновая функция, описываюШая состояние частицы в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", имеет вид 1р(х) = А зш4х . Определите: 1) вид собственной волно- вой функции у„(х); 2) коэффициент А, исходя из условия нормировки веро- ятностей. и!ение з +1г ~р— Ь дх ф(х) = А з1п !гх+ Воок!се, р(О) = О, В=О, ф(х)= Аз1пАх, лл Г2 1) м„(х) = А з1п — х ', 2) А = ~- .
Я1 ) = А я|п lг1 = О, о, по нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", имеет вид 9„(х) = ! — гйп — х, где 1 — ширина "ямы". Определите среднее значение Г2, лл Часпща находится в одномерной "потенциальной яме" шириной 1 с бесконечно высокими "стенками". Выведите выражение для собственнык значений энергии Е„.
координаты (х) электрона. ил 2тЕ з г л=1,2,3,. г ~,г Ответ 1 2'г ~ Еп — — и — з 2т! г г Ответ 2м! лп уэ(х) = А айп — х 1 Ответ 2 ! рр (х'( бх=!, ~А ап — хбх=-А 1=1. л 1 2 числа. !/3 з!з ОтВЕШ )у= 1 3 ОтВЕИ1 И = 0,195. ОРИВГ!И И' = 0,091. Докажите, что собственные волновые функции, описывающие состояние частицы в одномерной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", являются ортогональными, т. е. удовлетворяют условшо ! тр„(х)з)з (х) бх =О, если ля лз. Здесь ! — ширина "ямы"; и н лз — целыс Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной ! с бесконечно высокими "стенками" находится в основном состоянии.
Определите вероятность обнаружения часпщы в левой трети "ямы". рз рз рз 1 1 ~ 2л 1 1 1 . 2л ! 1 . 2л = — / сх- — ~ соз — хох= — — — а)п — х = — — — з!и — =0,195. 12л ! а 3 2л Частица в одномерной прямоугольной " потенциальной яме" шириной ! с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии ! л = 2).
Определите вероятность обнаружения частицы в области з(! 4 х 4 ф. Электрон находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной 1 с бесконечно высокими "стенками". Определите вероятность 1г' обнаружения электрона в среднеи трети "ямы", если электрон находится в возбужденном состоянии ( л = 3 ). Поясните физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии. 1~ бл гцз и!з ~гйз 1 ! 6л ~лд !!с ! 1,; !бл ! дз — — — 1 соз — х цз го 1 1 бл2! .
6."г !) — — з!и — — з)п — — ~ = — — — (з)п4л-з!п2л)= —. 3 бл 1 3 ! 3 3 бл и- Частица в одномерной прямоугольной "потенциальнои яме ' ши- Р иной ! с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии ! л = 3 ). Определите, в каких точках "ямы" (О ~ х ~ ! ) плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна. Поясните полученный результат графически. ! ! 5! ! 2! ОщВЕ)И 1) в=шах при я= — —, —, 2) зг=шзл при х= 6'2' 6 3' Вычисления: Ответ Г2п+ 1 ! = йл.! У Зт1гТ 4э " О!8 Еэ 9 оЕв в 16 = 0,26. Е, 64 ~ээ'= 81 ОтВЕт Уменьшается в 3 раза. 2т!г 2т = — Е, г Ь л й л я = 12л э-1) — - л 2т!г т1г 2т э! = —,(Е-Б) й 2) —,+в) эРг — -О, д Рг дх Ответ ле„=оз5 1о-" зв, д эдэ ,ь;~э=О, дх 2т !г- = — Е.
э — г Ь О Определите, при какой ширине одномерной прямоугольной "потенциальной ямы" с бесконечно высокими 'стенками" дискрет ность энергетического спектра электрона сравнима с его средней кинетической энергией при температуре Т. г г (2и+1) —,= — 8Т, 1=Ьд; (— Ь л 3 2пэ1 2т! 2 ' ЗтlгТ Докажите, что энергия свободных электронов в металле не кван гуется. Примите, что ширина ! прямоугольной "потенциальной ямы' с бесконечно высокими " стенками" для электрона в металле составляет 1О см. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциазыюй яме" с бесконечно высокими "стенками". Определите, во сколько 'раз изменяется еняется отношение разности соседних энергетических уровней ~!зЕ„„ь,~Е„частицы при переходе от л = 3 к л' = 8.
Объясните физическую шность полученного результата. Частица с энергией Е движется в патожнтельном направлении оси х и встречает на своем пути прямоугольный потенпиальныи барьер высотой 11 и конечной шириной 1, причем Е < 11 . Запишите уравнение Шредингера для областей 1, 2 и 3, 2и 1'! = )гз =1 — зЕ '!'ь,з ' 2 ~У-я~ й А,=1 Ответ 2) = 0,1.
Ответ ~' =10. 02 Ответ 11! — е) = о 454 зВ. . фц1~! ° Для условия з апач и 6 106 запишите решения уравнений Шрелин. гера для областей ! 2 и 3 тз -Функция обычно нормируется тал, что А, =1 Прелставьте графически качественный вид 9'-функций. 1) тч = е' и + д е вп 2) фз=Азе-Д +В еД' 3) фз =Аз е'"и Электрон с энергиеи Е = 5 зВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой У =1О эВ и шириной ! = 0,1 нм.
Определите коэффициент В прозрачности потенциального барьера. Прямоугольный потенцишчьный барьер имеет ширину ! = 0,1 нм. Определите в электрон-вольтах разность энергий !! — Е, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5. . нергией Е = 5 эВ движется в положительном направПротон с энерги " ленин оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотои =- э и " У =-10 В шириной ! = 0,1 нм. Определите вероятность прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона цри вышеприведенных условиях. Отевт 1Р =1,67 10;, = 42е.
! !' Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину ! = 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергиеи движу егося в положительном направлении оси х зл тр ек она 1) — Е=5 эВ.Опрешего делите, во сколько раз изменится коэффициент прозрачности О потенциального барьера для электрона, если разность !) — Е возрастает в 4 раза. Ответ 1) ~1 М =О, д М1 дхг г 2т х = — Е. г ) г гтг=о, д-р, г 2т яг = —,(Š— У) л (я — У)~Е Ответ 1) р, (х) = е' " е В, е а'" /2тЕ 1 Л 2) гр~(х)= А еа" Е,=о, (,518;г (519) р движется в положительном направлении Частица с эне гней Е оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий п ямо нциальныи барьер высотой У, причем Е > У. Запиши ем .
апишите уравнение Для условия залачи б.112 запишите решение уравнений Шредингера для областей ! и 2 чг -Функция обычно нормируется так, что А =1. П , — 1. редставьте графически качественнь тг -ф ги вид 1г -функций, ,"1'~К вЂ” У~ л Частица с энергией Е = 10 эВ лвижется в положительном направлении оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
