lect7quant (931150), страница 6
Текст из файла (страница 6)
переходы, удовлетворяющие правилу отбораΔn = ±1 .Следовательно, энергия гармонического осциллятора может изменятьсятолько порциями ω и гармонический осциллятор испускает и поглощаетэнергию квантами.Квантово-механическое решение задачи о квантовом осцилляторепоказывает, что имеется отличная от нулявероятностьобнаружитьчастицузапределами области − xmax ≤ x ≤ + xmax .Нарисункеприведенаквантоваяплотностьвероятностиобнаруженияосциллятора при n = 1 , имеющая конечныезначения для x ≥ xmax .А.Н.Огурцов. Физика для студентовКвантовая физика7–147–19Квантовая физика атомов и молекул.распределение16.
Атом водорода в квантовой механике.На примере водородоподобных атомов – простейших атомов, содержащихединственный внешний электрон, – рассмотрим основы систематики квантовыхсостояний атомов. Поле водородоподобного атома – этопример центрального поля. В таком поле удобноиспользовать сферическую систему координат: r , θ , ϕ .Потенциальная энергия кулоновского взаимодействияэлектрона с атомным ядром, обладающим зарядом Ze (дляатома водорода Z = 1 )U (r ) = −Ze 2,4πε0rгде r – расстояние между электроном и ядром.Стационарное уравнение ШредингераΔψ +2m ⎛Ze 2 ⎞+E⎜⎟ψ=024πε0 r ⎠⎝только при собственных значениях энергииEn = −1 Z 2me 4n 2 8h 2ε02(n = 1, 2, 3, …)(т.е. для дискретного набора отрицательных энергий (квантование энергии))имеет решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности инепрерывности волновой функции ψ ( r , θ, ϕ)Выражение для En совпадает с полученным в теории атома Бора.Нижайший уровень E1 – основной, все остальные – возбужденные.При E < 0 движение электрона – связанное, при E > 0 – свободное(атом ионизуется).Энергия E = E∞ = 0 достигается при n = ∞ .me 4= 13,55 эВ.8h 2ε02Собственные волновые функции ψ = ψ nlm ( r , θ, ϕ) определяются тремяквантовыми числами: главным n , орбитальным l и магнитным m .Энергия ионизации атома водорода17.
Квантовые числа.⎯ Главное квантовое числоэлектрона в атоме⎯Ei = − E1 =n определяет энергетические уровниn = 1, 2, 3, …Орбитальное квантовое число l при заданном n принимает значенияl = 0, 1, 2, …, (n − 1) .иопределяетвеличинумоментаорбитальный момент) электрона в атомеLl =импульсаl (l + 1) .А.Н.Огурцов. Физика для студентов(механический⎛ μA = exp ⎜⎝ kTМаксвелла–Больцмана⎛EN i = A exp ⎜ i⎝ kT⎞⎟,⎠где⎞⎟ . Таким образом, при высоких температурах оба "квантовых" газа⎠ведут себя подобно классическому газу.22. Принцип Паули.Системы электронов (фермионов) встречаются в природе только всостояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями.Отсюда следует, что два одинаковых электрона (фермиона), входящих водну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях (иначе приперестановке волновая функция была бы четной).(Отметим: в одинаковом состоянии может находиться любое число бозонов.)Другая формулировка принципа Паули: в одном и том же атоме неможет быть более одного электрона с одинаковым набором четырехквантовых чисел n, l , m, ms .23.
Распределение электронов в атоме по состояниям.Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и тоже главное квантовое число n , называется электронной оболочкой.Максимальноечислоэлектронов,находящихсявсостоянияхопределяемых данным главным квантовым числом, равноn −1Z (n) = ∑ 2(2l + 1) = 2n 2 .l =0В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам,соответствующим данному l .Поскольку l принимает значение от 0 до n − 1 , то число подоболочекравно порядковому номеру n оболочки.Количество электронов в подоболочке определяется квантовыми числамиm и ms – максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно2(2l + 1) .Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочками подоболочкам представлены в таблице.Главное12345квантовое числоСимвол оболочки KLMNOМаксимальноечисло электронов 28183250в оболочкеОрбитальное0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4квантовое число lСимвол1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 5gподоболочкиМаксимальноечисло электронов 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 14 18в подоболочкеКвантовая физика7–187–1521.
Понятия о квантовой статистике Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака.Аналогично классическим статистическим методам, применяемым вмолекулярной физике для исследования большого числа подобных объектов(атомов, молекул), для квантовых систем, состоящих из огромного числанеразличимых тождественных квантовых частиц, подчиняющихся законамквантовой механики, применяются методы квантовой статистики.Напомним, что в молекулярной физике классических систем распределение частиц идеального газа по энергиям во внешнем потенциальном поле Wпри заданной температуре T описывается распределением Больцмана⎛ Wn = n0 exp ⎜ −⎝ kT⎞⎟,⎠где k – постоянная Больцмана.В квантовой статистике также используется модель идеального газаквазичастиц, причем основной характеристикой данного квантового состоянияс данным набором i квантовых чисел, является число заполнения N i ,указывающее степень заполнения данного квантового состояния частицамисистемы, состоящей из множества тождественных частиц.
Для систем частиц,образованных бозонами, числа заполнения могут принимать любые целыезначения: 0, 1, 2, … . Для систем частиц, образованных фермионами, числазаполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частицсистемы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц вданном квантовом состоянии, т.е. определить средние числа заполнения N i .Идеальный газ из бозонов – бозе-газ – описывается квантовойстатистикой Бозе–Эйнштейна.Распределение Бозе–Эйнштейна – закон,выражающий распределение частиц по энергети1.Ni =ческим состояниям в бозе-газе: при статистическомE⎛ −μ⎞равновесии и отсутствии взаимодействия среднееexp ⎜ i1−⎟⎝ kT ⎠число частиц в i -м состоянии с энергией Ei равно:где k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая (абсолютная)температура, μ – химический потенциал – термодинамическая функциясостояния, определяющая изменение внутренней энергии (и, вообще говоря,других термодинамических потенциалов) системы при изменении числа частицв системе, при условии, что все остальные величины, от которых зависитвнутренняя энергия (энтропия, объем, и т.д.), фиксированы.
Химическийпотенциал необходим для описания свойств открытых систем (систем спеременным числом частиц).Идеальный газ из фермионов – ферми-газ – описывается квантовойстатистикой Ферми–Дирака.Распределение Ферми–Дирака – закон,1выражающий распределение частиц по энергетиче.Ni =ским состояниям в ферми-газе: при статистическом⎛ Ei − μ ⎞exp ⎜равновесии и отсутствии взаимодействия среднее⎟ +1⎝ kT ⎠число частиц в i -м состоянии с энергией Ei равно:Привысокихтемпературах,когдаexp ( ( Ei − μ) kT )1,⎯Магнитное квантовое число m при данном l принимает значенияm = 0, ± 1, ± 2, …, ± l .и определяет величину момента импульса электрона в заданномнаправлении. Так орбитальный момент импульса электрона Ll можетиметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция Llzвектора Ll на направление внешнего магнитного поля принимает толькоквантованные значения, кратные (пространственное квантование)Llz = m .Таким образом, вектор Ll может принимать 2l + 1ориентаций в пространстве.
На рисунке приведенывозможные ориентации векторов Ll для электронов сl = 1 (а) и l = 2 (б).Соответственно, в магнитном поле уровень сглавным квантовым числом n расщепляется на 2l + 1подуровней – эффект Зеемана.Расщепление уровней энергии во внешнемэлектрическом поле называется эффектом Штарка.В квантовой механике квадрат модуля волновой функции определяетвероятность обнаружения электрона в единице объема. Вероятностьобнаружения электрона в разных частях атома различна. Электрон при своемдвижении как бы "размазан" по всему объему, образуя электронное облако,плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электронав различных точках объема атома.Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронногооблака, а квантовое число m характеризует ориентацию электронногообараспределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака переходят в классическоеА.Н.Огурцов.
Физика для студентовКвантовая физика7–167–17облака в пространстве. В атомной физике, по аналогии со спектроскопией,состояние электрона, характеризующееся квантовым числом l = 0 , называетсяs − состоянием (электрон в этом состоянии называется s -электроном), l = 1 –p -состоянием, l = 2 – d -состоянием, l = 3 – f -состоянием и т.д.На рисунке показаны графические изображения (полярные диаграммы)плотностей вероятности для s -, p -, d - и f -электронов и соответствующеекаждому случаю пространственное квантование – такая ориентацияборовских орбит, при которой проекция момента импульса имеетсоответствующее значение (например, ± 2 для l = 2 , m = 2 ).18. Правила отбора.Переходы между электронными состояниями возможны только в томслучае, если:1) изменение Δl орбитального квантового числа l удовлетворяетусловиюΔl = ±1 ,2) изменение Δm магнитного квантового числа m удовлетворяетусловиюΔm = 0, ± 1.Так, например, в атоме водорода переходы np → 1s ( n = 2,3,…) образуютсерию Лаймана, а переходы np → 2 s , ns → 2 p , nd → 2 p ( n = 3,4,…) – сериюБальмера.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
