lect5wav (931146), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Упругая гармоническая волна.Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ейколебания частиц среды являются гармоническими.Пусть гармоническая волна распространяется со скоростью υ вдольоси OX . Обозначим смещения частиц среды через ξ = ξ( x, t ) .Для данного момента времени t зависимость между смещением частицсреды и расстоянием x этих частиц от источника колебаний O можнопредставить в виде графика волны.Отличие графика волны от графика гармонического колебания:А.Н.Огурцов. Физика для студентов2В случае малых затуханий (δ << ω0 )решение этого уравнения:хающих колебаний,A0 – начальная амплитуда,ω = ω02 − δ 2–циклическаячастота затухающих колебаний.Промежуток времени τ =1, в течение которого амплитуда затухающихδколебаний уменьшается в e раз называется временем релаксации.Затухание нарушает периодичность колебаний.Затухающие колебания не являются периодическими.Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятиемпериода затухающих колебаний как промежутка времени между двумяпоследующими максимумами колеблющейся физической величиныT=2π2π.=ωω02 − δ224.
Декремент затухания.Если A(t ) и A(t + T ) – амплитуды двух последовательных колебаний,соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношениеA(t )= eδTA(t + T )называется декрементом затухания, а его логарифмθ = lnA(t )T 1= δT = =A(t + T )τ Nназывается логарифмическим декрементом затухания.Здесь N – число колебаний, совершаемых за время уменьшенияамплитуды в e раз.25. Добротность колебательной системы.Добротностью колебательной системы называется безразмернаявеличина Q , равная произведению 2π на отношение энергии W (t ) колебанийсистемы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии запромежуток времени от t до t + T (за один условный период затухающихколебаний)Q = 2πW (t ).W (t ) − W (t + T )Энергия W (t ) пропорциональна квадрату амплитуды A(t ) , поэтомуКолебания и волны5–145–19Q = 2πA2 (t )2π2π==.A (t ) − A2 (t + T ) 1 − e −2δT 1 − e −2θ2При малых значениях логарифмического декремента затухания (θ << 1)1− e−2 θ≈ 2θ , поэтому (принимая T ≈ T0 )Q=ππω= πN == 0.θδ ⋅ T 2δ31.
Резонанс токов.К цепи переменного тока, содержащей параллельно включенныеконденсатор емкостью C и катушку индуктивностью L , приложено напряжениеU = U m cos ω t .Токи в ветвях 1С2 ( R = 0, L = 0) и 1L2 ( R = 0, C = ∞) равныI m1 =26. Примеры свободных затухающих колебанийРассмотрим затухающие колебания различной физической природы:1) механические колебания – пружинный маятник с массой m , которыйсовершает малые колебания под действием упругой силы F = − kx исилы трения Fтр = − rx ( r – коэффициент сопротивления)2) электромагнитные колебания – колебания в колебательномконтуре состоящем из сопротивления R , индуктивности L и емкости CБудем сравнивать оба случая с дифференциальным уравнениемсвободных затухающих колебаний линейной системыs + 2δ s + ω20 s = 0 ,решение которого имеет видs = A0 e −δt cos(ω t + ϕ) .колеблющаясячина1) пружинный маятник2) колебательный контурвели- смещение относительнозаряд qположения равновесия xrkx+ x=0mmчастота незатухающихkω0 =колебаний ω0mrкоэффициентδ=затухания δ2mдифференциальноеуравнение колебанийx+частотазатухающихколебанийω = ω02 − δ2добротность Qзакон колебанийω=kr2−m 4m 2kmrx = A0 e −δt cos(ω t + ϕ)Q=R1q+q=0LLC1ω0 =LCRδ=2Lq+ω=1R2− 2LC 4 L1 LR Cq = q0 e −δt cos(ω t + ϕ)Q=27.
Вынужденные колебания.Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающиеколебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможнас помощью какого-либо периодически действующего фактора X (t ) ,изменяющегося по гармоническому законуX (t ) = X 0 cos ω t .А.Н.Огурцов. Физика для студентовUm,1ωCIm2 =UmωLи противоположны по фазам. Амплитуда силы токаво внешней (неразветвленной) цепиI m = I m1 − I m 2 = U m ωC −ω = ω рез =Если1, тоLCI m1 = I m 2и1.ωLI m = 0 . Явление резкогоуменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельновключенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частотыω приложенного напряжения к резонансной частоте ω рез называетсярезонансом токов (параллельным резонансом).В реальных цепях R ≠ 0 , поэтому сила тока I m > 0 , но принимаетнаименьшее возможное значение.32.
Действующее значение переменного тока.Действующим или эффективным значением переменного токаI = I 0 cos ωt называется среднее квадратичное значение силы тока за периодT его измененияTI эф =1 2II (t )d t = 0 ,T ∫022поскольку cos ωt =Аналогично, действующее значение напряжения: U эф =1.2U0.233. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока.Мгновенная мощность тока в цепиP(t ) = U (t ) I (t ) = U m cos ωt ⋅ I m cos(ωt − ϕ) .Среднее за период значение мгновенной мощности называется активноймощностью P токаT11U m cos ωt ⋅ I m cos(ωt − ϕ)d t = I mU m cos ϕ = I эфU эф cos ϕ .∫2T0Множитель cos ϕ называется коэффициентом мощности.P=Так как I эф =U эфZ, и cos ϕ =R=ZR1 ⎞⎛R 2 + ⎜ ωL −⎟ωC⎠⎝Колебания и волны2, тоP=2RU эфZ22= RI эф.5–185–15Величина1RC =ωCназываетсяреактивнымемкостнымсопротивлением.Дляпостоянного тока (ω = 0) RC = ∞ , т.е.
постоянный ток через конденсатортечь не может.(4)В общем случае R ≠ 0, C ≠ 0, L ≠ 0 . Если напряжение в цепиизменяется по закону U = U m cos ω t , то в цепи течет токq+I = I m cos(ω t − ϕ) ,где I m и ϕ определяются формуламиIm =ВеличинаВ случае механических колебаний таким фактором являетсявынуждающая сила F = F0 cos ωt . Закон движения для пружинного маятникабудет иметь видmx = −kx − rx + F0 cos ω t .В случае электрического колебательного контура роль X (t ) играетподводимая к контуру внешняя ЭДС или переменное напряжениеU = U m cos ωt . Уравнение колебаний в контуре будет иметь видВ общем видеколебаний имеет видUm1 ⎞⎛R 2 + ⎜ ωL −⎟ωC ⎠⎝1ωL −ωC .tg ϕ =R2Это уравнение – линейное неоднородное дифференциальное уравнение.−δtA== R 2 + ( RL − RC ) 2сопротивле-1ωCIm =UmX, tg ϕ =,ZRпричемcos ϕ =qm =RX, sin ϕ =.ZZI=1, то ϕ = 0 – изменения тока и напряжения происходятωCсинфазно.
В этом случае Z = R и ток определяется только активнымсопротивлением и достигает максимально возможного значения. Падениенапряжения на конденсаторе U C и на катушке индуктивности U L одинаковы поамплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансомнапряжений (последовательным резонансом).Частотаω рез =1LCназывается резонансной.А.Н.Огурцов. Физика для студентовx02 222− ω ) + 4δ ω, ϕ = arctg2δω.− ω2ω02Um1 ⎞⎛ω R 2 + ⎜ ωL −⎟ωC ⎠⎝2, tg α =R.1− ωLωCСила тока при установившихся колебаниях30. Резонанс напряжений.Если ωL =(ω02Так для электромагнитных колебаний, если обозначить α – сдвиг пофазе между зарядом и приложенным напряжением, то можно показать, чторешение дифференциального уравнения будет иметь вид q = qm cos(ω t − α) ,гденазывается реактивным сопротивлением.Таким образом,вынужденныхЕго решение равно сумме общего решения s = A0 e cos(ω t + ϕ) однородногоуравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Можно показать,частное решение имеет видs = A cos(ω t + ϕ) ,где A и ϕ задаются формулами2X = RL − RC = ωL −уравнениеs + 2δ s + ω02 s = x0 cos ω t .1 ⎞⎛Z = R + ⎜ ωL −⎟ =ωC⎠⎝Величинадифференциальное,2называется полнымнием цепи.R1Uq+q = m cos ω t .LLCLdq= −ωqm sin(ω t − α) = I m cos(ω t − α + π 2 ) ,dtгдеUmI m = ωqm =2.1 ⎞⎛R + ⎜ ωL −⎟C⎠ω⎝Силу тока можно записать в виде I = I m cos(ωt − ϕ) , где ϕ = α − π 2 –2сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. Тогда можнопоказать, чтоπ⎞1⎛=tg ϕ = tg ⎜ α − ⎟ = −α2tg⎝⎠Колебания и волныωL −R1ωC .5–165–1728. Резонанс.РезонансомРассмотрим частные случаи цепи.называетсяявление резкого возрастания амплитудывынужденных колебаний при приближениичастоты вынуждающей силы (или, в случаеэлектрических колебаний, частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте,равной или близкой собственной частотеколебательной системы.АмплитудавынужденныхколебанийA=x0(ω02 − ω2 ) 2 + 4δ2ω2частоте ω рез =резонанснойчастотой.(Перваяимеет максимум приω02 − 2δ2 , которая называетсяпроизводнаязнаменателя(−4(ω02 − ω2 )ω + 8δ2ω = 0) обращается в нуль при ω2 = ω02 − 2δ2 .)x0.Aрез =2δ ω02 − δ2При ω → 0 , амплитуда достигает предельного значения A0 =(1) R ≠ 0, C → 0, L → 0 : переменное напряжение приложено к сопротивлению R .
Закон ОмаU U cos ωtI= = m= I m cos ω t .RRUАмплитуда силы тока I m = m .RКолебания тока происходят в одной фазе снапряжением.Для наглядности воспользуемся методом векторныхдиаграмм и будем изображать векторами, угол междукоторыми равен разности фаз.(2) R → 0, C → 0, L ≠ 0 : переменное напряжение приложено к катушкеиндуктивности.ЭДС самоиндукции в катушкеx0, котороеω02Закон Ома Lназывается статическим отклонением.
В случае механических колебанийF0U. В случае электромагнитных колебаний A0 = m2 .2Lω0mω0При ω → ∞ , амплитуда стремится к нулю.22В случае малого затухания, когда δ << ω0 , резонансная амплитудаxω xAрез = 0 = 0 02 = Q ⋅ A0 ,2δω0 2δ ω0где Q – добротность колебательной системы, A0 – статическое отклонение.A0 =Таким образом, добротность характеризует резонансныеколебательной системы – чем больше Q , тем больше Aрез .свойстваq+R1Uq+q = m cos ω tLLCLилиLdIq+ IR + = U m cos ω t .CdtА.Н.Огурцов. Физика для студентовdI.dtdI= U L = U m cos ω t , откуда после интегрирования получимdtUπ⎞⎛I = m sin ωt = I m cos ⎜ ω t − ⎟ ,2⎠ωL⎝Umгде I m =.ωLТаким образом, падение напряжения U L опережаетπпо фазе ток I , текущий через катушку, на .2ВеличинаRL = ωLназывается реактивным индуктивным сопротивлением.
Для постоянного тока (ω = 0) катушка индуктивности не имеет сопротивления.(3) R → 0, C ≠ 0, L → 0 : переменное напряжение приложено к конденсатору.29. Переменный ток.Переменным током называются вынужденные колебания тока в цепи,совпадающие с частотой вынуждающей ЭДС.Пусть переменная ЭДС (или переменное напряжение) имеет видU = U m cos ω t ,где U m – амплитуда напряжения.Тогда на участке цепи, имеющей сопротивление R , емкость Cиндуктивность L , закон Ома будет иметь видΘs = − Lиq= U C = U m cos ω t .CСила токаdqπ⎞⎛= −ωCU m sin ωt = I m cos ⎜ ω t + ⎟ ,dt2⎠⎝Um.где I m = ωCU m =1ωCТаким образом, падение напряжения U C отстает поπфазе от текущего через конденсатор тока I на .2I=Колебания и волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
