lect5wav (931146), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В момент времени t = 1 4 Tсмещение маятника равно нулю, скорость – максимальна, и потенциальнаяэнергия полностью переходит в кинетическую энергию маятника E = K max .Начиная с момента времени t = 1 4 T , ток в контуре будет убывать,следовательно, магнитное поле катушки начнет ослабевать. Изменениемагнитного поля вызовет индукционный ток, который, по правилу Ленца, будетиметь то же направление, что и ток разрядки конденсатора. Конденсаторначинает перезаряжаться и к моменту времени t = 1 2 T заряд на обкладкахконденсатора достигнет максимума, ток в цепи прекратится, и энергия контураснова будет равна энергии электрического поля в конденсаторе.Для маятника это будет соответствовать максимальному смещению внаправлении, противоположном первоначальному, остановке маятника вкрайнем положении ( υ = 0 ) и обратному превращению кинетической энергии впотенциальную.Далее, все процессы в колебательном контуре будут протекать вобратном направлении и система к моменту времени t = T придет впервоначальное состояние.Таким образом, в колебательном контуре происходят периодическиеизменения заряда q на обкладках конденсатора и силы тока I .
Этиэлектрическиеколебаниясопровождаютсяпревращениемэнергийэлектрического и магнитного полей.Из сравнения электрических колебаний с механическими колебаниями,следует, что:⎯ энергия электрического поля конденсатора аналогична потенциальнойэнергии маятника,⎯ энергия магнитного поля катушки аналогична кинетической энергиимаятника,⎯ сила тока в контуре аналогична скорости движения маятника,⎯ индуктивность L выполняет функцию массы,⎯ сопротивление R играет роль силы трения, действующей на маятник.14. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре.Свободные электрические колебания в колебательном контуре являютсягармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0 .Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебанийзаряда в контуреd2 q1+q = 0.2LCdtА.Н.Огурцов.
Физика для студентовСложив эти уравнения, с учетом cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β иk = 2π λ , получим уравнение стоячей волныξ = ξ1 + ξ2 = 2 A cos kx cos ω t = 2 A cos2πxcos ω t .λВ точках среды, где2πx= ± mπλ(m = 0,1, 2,…)амплитуда стоячей волныдостигаетмаксимальногозначения AСТ = 2 A .Такие точки называютсяпучностямистоячейволны.Координаты пучностейxП = ± mλ(m = 0,1,…) .2В точках среды, где2πx1⎞⎛= ± ⎜ m + ⎟ π (m = 0,1, 2,…) , амплитуда стоячей обращается в нуль2⎠λ⎝AСТ = 0 . Такие точки называются узлами стоячей волны.1⎞λ⎛(m = 0,1, 2,…) .Координаты узлов:xУ = ± ⎜ m + ⎟2⎠2⎝Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседнимипучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн.
Этувеличину называют длиной стоячей волныВ бегущей волнеλСТ =λ.2В стоячей волнеАмплитуда колебанийвсе точки волны совершают колебания все точки между двумя узламис одинаковой амплитудойколеблются с разными амплитудамиФаза колебанийфаза колебаний зависит от коор- все точки между двумя узламиколеблются с одинаковыми фазамидинаты x рассматриваемой точкипри переходе через узел фазаколебаний изменяется на π ;точки лежащие по разные стороны отузла колеблются в противофазеПеренос энергииэнергия колебательного движения переноса энергии нет, лишь в препереносится в направлении распро- делах λ 2 происходят взаимные престранения бегущей волнывращения кинетической энергии впотенциальную и обратноКолебания и волны5–245–944.
Интерференция волн.Когерентностью называется согласованное протекание во времени ипространстве нескольких колебательных или волновых процессов.Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависитот времени.Гармонические волны, имеющие одинаковую частоту, когерентны всегда.Интерференцией волн называется явление наложения волн, прикотором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в однихточках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношениямежду фазами этих волн.Рассмотримналожениедвухкогерентныхсферическихволн,возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковымиамплитудой A0 , частотой ω и постоянной разностью фазξ1 =A0cos(ω t − kr1 + ϕ1 ),r1ξ2 =A0cos(ω t − kr2 + ϕ2 ) ,r2r1 и r2 – расстояния от источников до рассматриваемой точки,k – волновое число, ϕ1 и ϕ2 – начальные фазы волн.гдеАмплитуда результирующей волны⎧1⎫12A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(Δϕ) = A02 ⎨ 2 + 2 +cos [ k (r1 − r2 ) − (ϕ1 − ϕ2 )]⎬ .⎩ r1 r2 r1r2⎭Поскольку для когерентных источников ϕ1 − ϕ2 = const , то результатинтерференции двух волн зависит от величины ( r1 − r2 ) , называемойразностью хода.⎛A0 A0 ⎞+ ⎟ наблюдается в точках,r1 r2 ⎠⎝(m = 0,1, 2,…) .Интерференционный максимум ⎜ A =где k ( r1 − r2 ) − (ϕ1 − ϕ2 ) = ±2mπЧисла ( m = 0, 1, 2,…) называются порядком интерференционногомаксимума.⎛A A ⎞Интерференционный минимум ⎜ A = 0 − 0 ⎟ наблюдается в точках,r1 r2 ⎠⎝где k ( r1 − r2 ) − (ϕ1 − ϕ2 ) = ± (2m + 1) π(m = 0,1, 2,…) .Числа ( m = 0, 1, 2,…) называются порядком интерференционногоминимума.45.
Стоячие волны.Особым случаем интерференции являются стоячие волны.Стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух бегущихволн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами иамплитудами.Пусть две плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами ичастотами распространяются навстречу друг другу вдоль оси xξ1 = A cos(ω t − kx),ξ2 = A cos(ω t + kx) .А.Н.Огурцов. Физика для студентовЗаряд q совершает гармонические колебания по законуq = qmax cos(ωt + ϕ) ,с циклической частотойω=1LCи периодомT = 2π LC ,Эта формула называется – формула Томсона.В формуле Томсона qmax – амплитуда колебаний заряда.Сила тока в колебательном контуреdqπ⎞⎛= −ωqmax sin(ω t + ϕ) = I max cos ⎜ ω t + ϕ + ⎟dt2⎠⎝опережает по фазе колебания заряда q на π 2 .qЗдесь I max = ωqmax = max – амплитуда силы тока.LCРазность потенциалов обкладок конденсатора U = ϕ2 − ϕ1 такжеизменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с зарядом qqU = = U max cos(ω t + ϕ) ,Cqmaxгде U max =– амплитуда разности потенциалов.
Амплитуда токаCC.I max = U maxLLВеличинаназывается волновым сопротивлением колебаCI=тельного контура.15. Сложение гармонических колебаний.Если система одновременно участвует в нескольких колебательныхпроцессах, то под сложением колебаний понимают нахождение закона,описывающего результирующий колебательныйпроцесс.Для сложения колебаний x1 и x2x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ),x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 )используем метод вращающегося вектораамплитуды (метод векторных диаграмм).Так как векторы A1 и A2 вращаются содинаковой угловой скоростью ω , то разностьфаз (ϕ2 − ϕ1 ) между ними остается постоянной.Уравнение результирующего колебания будетx = x1 + x2 = A cos(ω t + ϕ) ,Колебания и волны5–105–23где амплитуда A и начальная фазаϕ задаются соотношениямиA2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ),tg ϕ =A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2.A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2Сумма двух гармонических колебаний одного направления и одинаковойчастоты есть гармоническое колебание в том же направлении и с той жечастотой, что и складываемые колебания.Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фазскладываемых колебаний:1) ϕ2 − ϕ1 = ±2mπ , где ( m = 0,1,2,...) , тогда A = A1 + A2 ;2) ϕ2 − ϕ1 = ± (2m + 1) π , где ( m = 0,1,2,...) , тогда A = A1 − A2 .16.
Биения.Биениями называются периодические изменения амплитуды колебания,возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкимичастотами.Пусть амплитуды складываемых колебаний равны A , а частоты равны ωи ω + Δω , причем Δω << ω . Путь для простоты начало отсчета выбрано так,чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулюx1 = A cos ωt , x2 = A cos(ω + Δω)t .Результирующееколебаниебудет иметь видΔω ⎞⎛x = ⎜ 2 A cost ⎟ ⋅ cos ωt2 ⎠⎝– гармоническое колебание с частотой ω , амплитуда которого изменяется поΔωt с частотой ωбиений = Δω (частота биений вдвое2больше частоты изменения косинуса, поскольку Aбиений берется по модулю).закону Aбиений = 2 A cos17.
Разложение Фурье.Любое сложное периодическое колебание s = f (t ) можно представить ввиде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами,кратными основной циклической частоте ω0A0 n+ ∑ Am cos(mω0t + ϕm ) .2 m=1периодической функцииf (t )s = f (t ) =Такое представлениеназываетсяразложением ее в ряд Фурье или гармоническим анализом сложногопериодического колебания.Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям сциклическими частотами ω0 , 2ω0 , 3ω0 и т. д., называются первой (илиосновной), второй, третьей и т.
д., гармониками сложного периодическогоколебания s = f (t ) .Совокупность этих гармоник образует спектр колебания s = f (t ) .А.Н.Огурцов. Физика для студентов41. Волновое уравнение.Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случаеописывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением вчастных производных∂ 2 ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2 ξ++=∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 υ2 ∂t 2илигде υ – фазовая скорость,Δ=Δξ =1 ∂ 2ξ,υ2 ∂t 2∂2∂2∂2++– оператор Лапласа.∂x 2 ∂y 2 ∂z 2Решением волнового уравнения является уравнение любой волны (в томчисле и плоская и сферическая волны).Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдольоси x∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ=.∂x 2 υ2 ∂t 242.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
