Методичка (864359), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Если все главные миноры матрицы A = aij отличны от нуля, т. е.a11 ≠ 0,20a11 a12a21 a22≠ 0, ..., det( A) ≠ 0,то матрицу A можно представить в виде A = LU , где L — нижняятреугольная матрица с единичной диагональю; U — верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами.Приведем рекуррентные формулы для определения треугольных матриц L и U:u11 = a11 ;u1 j = a1 j , l j1 =a j1u11, j = 2,3,..., n;i −1uii = aii − ∑ lik uki , i = 2,3,..., n;k =1i −1uij = aij − ∑ lik ukj , l ji =k =1i −11⎛⎞−a⎜ ji ∑ l jk uki ⎟ ,uii ⎝k =1⎠i = 2,3, ..., n, j = i + 1, i + 2, ..., n.Далее решаем две системы уравнений с треугольными матрицами:Ly = f ; Ux = y.Задание к лабораторной работе«Решение систем линейных алгебраических уравненийс помощью LU-разложения»1. Решить СЛАУ аналитически LU-разложением (табл.

1.3.1).2. Написать программу решения СЛАУ LU-разложением. Решить с ее помощью СЛАУ.3. Оформить отчет о лабораторной работе:а) теоретическая часть;б) аналитическое решение системы;в) текст программы;г) результаты.21Таблица 1.3.1Варианты (1–30) задания для решения СЛАУ Ax = bс четырьмя неизвестными в виде ( A | b ) LU-разложениемили методом квадратного корня12–9 –5 8 –3 | 93–5 5 –4 3 | 18 –4 6 4 | –70–3 3 4 –4 | 29–10 –10 7 –6 | 1–10 –5 3 –4 | 447 3 –7 –3 | –21–6 –4 –3 –2 | 73459 –6–6 –93 5–5 –14 | –708 | 1501 | 127 | –23810118 –5 4 4 | –161–5 –1 3 –7 | 824 3 –6 8 | –534 –7 8 –3 | –10013–8 77 –81 33 –10161 3 | 143 –10 | 52–4 8 | –748 0 | 727 –3 –3 | 672 5 –1 | 115 –6 3 | 82–1 3 6 | –14–3 –1–1 5–9 –77 8–5 –5 4 –1 | –19–5 9 –7 –10 | –34 –7 –6 7 | –96–1 –10 7 –4 | 26–9 7 | –35–7 8 | –62–1 –8 | 46–8 7 | –103154 –8 –6 7 | –19–8 4 –2 9 | 47–6 –2 –7 –10 | 1177 9 –10 –7 | –461717–3–31 7 3 –8 | 417 –1 –2 –8 | –1073 –2 –9 0 | –97–8 –8 0 3 | 171214–8 2 8 0 | –102 –4 –2 –6 | 468 –2 –7 3 | –170 –6 3 9 | –99–5 7 –7 –5 | 587 0 9 –7 | 11–7 9 –7 –5 | 54–5 –7 –5 –7 | 769–4 –4 3 3 | –26–4 8 –4 –1 | 363 –4 –5 5 | –33 –1 5 4 | –112 4 4 –9 | 214 –9 –9 –8 | –24 –9 5 6 | 40–9 –8 6 –3 | 256 –5 –1 –8 | 158–5 7 –5 5 | –100–1 –5 9 –1 | –20–8 5 –1 7 | –14664 9 59 –7 –85 –8 54 8 13 –5 | 1015 –1 | –917 0 | 140 1 | –587223–9 –1 0 –1 | –68–1 3 6 1 | –280 6 –5 –3 | 28–1 1 –3 1 | 1318–3 6 –10 –6 | 246 –9 0 –2 | 13–10 0 –10 –7 | 75–6 –2 –7 4 | 10Окончание табл.

1.3.11920–7 –5 –9 4 | –67–5 –4 5 3 | –18–9 5 1 7 | 134 3 7 –10 | 1222221–7 –7 –2 –2 | 34–7 –8 –10 0 | 33–2 –10 5 1 | 62–2 0 1 –6 | 3923–8 –6 5–6 –1 –105 –10 69 1 8247 9 4 5 | 1169 –10 –3 –4 | –154 –3 –9 5 | 1295 –4 5 –5 | –829 | –171 | –738 | –130 | 7625262 –3 0 2 | 15–3 6 2 9 | –10 2 –1 –1 | –152 9 –1 9 | –46288 –1 3 –3 | 137–1 –2 4 3 | 133 4 –4 2 | –61–3 3 2 0 | –33275 –10 2–10 –1 –72 –7 –96 2 96 | –12 | –109 | 645 | –8229–10 6 1 –1 | –856 –2 –8 5 | 401 –8 7 –9 | 64–1 5 –9 1 | –28–3 3 –6 6 | 213 0 –2 –10 | –129–6 –2 9 –7 | 616 –10 –7 –10 | –10617–9–17 –9 –1 | –338 7 7 | –327 4 9 | 457 9 –6 | 12430–4 –1 8 4 | –71–1 –2 –9 6 | –338 –9 –5 –10 | 534 6 –10 –4 | 110–2 –3 3 –2 | 12–3 2 5 6 | 143 5 –1 0 | –40–2 6 0 2 | –201.4.

Решение систем линейных алгебраических уравненийметодом квадратного корняМетод квадратного корня по содержанию близок к LUразложению. Основное отличие состоит в том, что метод квадратного корня дает упрощение для симметричных матриц.Рассмотрим систему уравнений Ax = f . Пусть все главные миноры матрицы A = aij отличны от нуля, т.

е.a11 ≠ 0,a11 a12a21 a22≠ 0, ..., det( A) ≠ 0.23Метод квадратного корня основан на разложении матрицы А впроизведениеA = S т DS ,где S — верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной диагонали, S т — транспонированная к ней матрица; D — диагональная матрица с элементами dii = ±1,i = 1, 2, ..., n.Пусть А(n × n). Тогдаn( S т DS )ij = ∑ sikт d kk skj .k =1Отсюдаn∑sk =1тikd kk skj = aij , i, j = 1, 2, ..., n.(1.4.1)Так как матрица А симметричная, не ограничивая общности,будем считать, что выполняется неравенство i ≤ j.

Тогда (1.4.1)можно переписать в видеi −1∑sk =1тikd kk skj + sii dii sij +n∑sk =i +1тikd kk skj = aij ,При этомsikт = ski = 0, i < k .Получаем систему уравненийi −1sii dii sij + ∑ sikт d kk skj = aij , i ≤ j.k =1В частности, при i = ji −1sii dii = aii − ∑ ski d kk ,22k =1i−1⎛⎞2dii = sign ⎜ aii − ∑ ski d kk ⎟ ,k =1⎝⎠241/ 2i −1⎛⎞2sii = ⎜ aii − ∑ ski d kk ⎟ .k =1⎝⎠(1.4.2)При i < j получимi −1sij =aij − ∑ ski skj d kkk =1sii dii.(1.4.3)По формулам (1.4.2) и (1.4.3) находим рекуррентно все ненулевые элементы матрицы S . Запишем порядок вычисления матричных элементов матриц S и D:d11 , s11 , s12 , s13 , ..., s1n ,d 22 , s22 , s23 , s24 , ..., s2 n ,...d nn , snn .Обратный ход метода квадратного корня состоит в последовательном решении двух систем уравнений с треугольными матрицами:S т y = f , DSx = y.Решения этих систем находим по рекуррентным формулам⎧ y1 = f1 s11 ,⎪i −1⎪fi − ∑ ski yk⎨k =1⎪y =, i = 2, 3, ..., n;⎪⎩ isii⎧ xn = d nn yn snn ,⎪n⎪dii yi − ∑ sik xk⎨k = i +1⎪x =, i = n − 1, n − 2, ...,1.⎪⎩ isii25Всего метод квадратного корня при факторизации A = S т DSтребует примерно n3 / 6 операций умножения и деления и n операций извлечения квадратного корня.Задание к лабораторной работе «Решение систем линейныхалгебраических уравнений методом квадратного корня»1.

Решить СЛАУ аналитически методом квадратного корня(см. табл. 1.3.1 на с. 22–23).2. Написать программу решения СЛАУ методом квадратногокорня. Решить с ее помощью СЛАУ.3. Найти меру обусловленности симметричной матрицы коэффициентов А, используя степенной метод для нахождения наибольших по модулю собственных значений матриц А и A–1.4. Оформить отчет о лабораторной работе:а) теоретическая часть;б) аналитическое решение системы методом квадратного корня;в) текст программы;г) результаты.1.5. Решение систем линейных алгебраических уравненийс трехдиагональной матрицей методом прогонкиРассмотрим СЛАУ видаai yi −1 + bi yi + ci yi +1 = fi , i = 1, 2, …, n – 1;(1.5.1a)y0 = κ1 y1 + μ1 ; yn = κ 2 yn −1 + μ 2 ,(1.5.1б)⎡ y0 ⎤⎢ ⎥yгде Y = ⎢ 1 ⎥ — вектор решений.⎢...

⎥⎢ ⎥⎣ yn ⎦В матричном виде СЛАУ можно записать так:26⎛ 1 −κ1 0⎜⎜ a1 b1 c1⎜ 0 a2 b2⎜⎜ ...⎜000⎜⎜00⎝00000......c20......... an−1bn−10−κ 2...0 ⎞ ⎛ y0 ⎞ ⎛⎟ ⎜⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ y1 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎜⎟=⎜⎟ ⋅⎜... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜cn−1 ⎟ ⎜ yn−1 ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜1 ⎟⎠ ⎜⎝ yn ⎟⎠ ⎜⎝μ1 ⎞⎟f1 ⎟f2 ⎟⎟.... ⎟f n−1 ⎟⎟μ 2 ⎟⎠Решение системы (1.5.1) ищем в видеyi = α i+1 yi+1 + βi +1.(1.5.2)yi −1 = αi yi + βi .(1.5.3)Из (1.5.2) следуетПодставим (1.5.3) в (1.5.1а):ai (αi yi + βi ) + bi yi + ci yi +1 = fi ,i = 1, 2, ..., n – 1.Отсюдаyi = −cif − aiβi.y i+1 + iai αi + biai α i + bi(1.5.4)Сравнив (1.5.2) и (1.5.4), получимci⎡⎢ α i+1 = − a α + b ,i ii⎢⎢fi − ai βi, i = 1, ..., n − 1.⎢βi +1 =ai αi + bi⎣Из (1.5.1б) следует α1 = κ1 ; β1 = μ1.

Из (1.5.2) при i = n – 1yn−1 = α n yn + βn .(1.5.5)Подставим (1.5.5) в (1.5.1б) и получимyn =κ2 βn + μ 2.1 − κ2 α n(1.5.6)27Запишем формулы в порядке их применения:a) прямой ход метода прогонки:α1 = κ1 ; β1 = μ1 ;αi +1 = −βi +1 =ciai α i + bi;fi − ai βi, i = 1, ..., n − 1.ai α i + biб) обратный ход метода прогонки:yn =κ 2βn + μ 2;1 − κ2 α nyi = αi +1 yi +1 + βi +1 , i = n – 1, n – 2, …, 0.Достаточные условия применимости метода прогонки:bi ≥ ai+ ci ,( κ1≤ 1 и κ 2 < 1 ) или( κ1< 1 и κ 2 ≤ 1) .Пример.

Пусть коэффициенты СЛАУ образуют матрицу:⎛ 1 −1 0⎜⎜ 1 15 −2⎜ 0 −1 3⎜⎝0 0 10⎞⎟0⎟.1⎟⎟1⎠Свободные члены:⎛ −2 ⎞⎜ ⎟⎜ 38 ⎟ .⎜ 11 ⎟⎜ ⎟⎝ 6⎠Тогдаα1 = 1; β1 = −2;α2 = −2821c1== ;a1α1 + b1 1 + 15 8β2 =β3 =α3 = −y3 =f1 − a1β1 38 + 2 5== ;a1α1 + b1 1 + 15 211 + 2,5108f 2 − a2β 2==;a2 α 2 + b2 −0,125 + 3 2318c2=−=− ;a2α 2 + b2−0,125 + 323κ 2 β3 + μ 2 −1 ⋅ (108 / 23) + 6== 2;1 − κ2 α31 − 8 / 23y2 = α 3 y3 + β3 = −8108⋅2+= 4;23231y1 = ⋅ 4 + 2,5 = 3;8y0 = 3 − 2 = 1.Задание к лабораторной работе«Решение СЛАУ с трехдиагональной матрицейметодом прогонки»1. Решить СЛАУ с трехдиагональной матрицей аналитическиметодом прогонки (табл. 1.5.1).2. Написать программу решения СЛАУ методом прогонки.

Решить с ее помощью СЛАУ из своего варианта.3. Оформить отчет о лабораторной работе:а) теоретическая часть;б) аналитическое решение системы методом прогонки;в) текст программы;г) результаты.29Таблица 1.5.1Варианты (1–30) СЛАУ с трехдиагональной матрицей121 4 0–10 –10 70 –6 –50 0 70 | –110 | –133 | 541 | –641 –9 05 4 10 –6 30 0 –20 | 630 | 241 | 401 | –114570 0 | 372 0 | 174 –9 | 719 1 | 51100 | 860 | –181 | –611 | –31 –6 02 –2 40 –1 –40 0 80 | 450 | –366| 31 | –7913141 –5 08 –4 –30 –1 –90 0 71617190 0 | –334 0 | 139 –7 | 326 1 | 47201 –3 00 2 –40 –6 –20 0 70 | 390 | –44 | 961 | –210 | 150 | –16 | –631 | 281 10 0–8 7 10 3 –80 0 40| 80 | –683 | 261 | –181 –73 60 –50 00 | –260| 41 | –111| 501–3–2181 10–5 –50 –10 01 –3 0 0 | –19–3 –3 2 0 | –530 5 –1 –6 | 170 0 –6 1 | 471 4 03 –6 10 –5 –30 0 4151 3 0 0 | –129 –7 –10 0 | –740 –7 –10 –3 | 100 0 3 1 | –10 | 130 | 927 | 1221 | –490| 80 | 585 | –221 | 65121 –8 0 0 | –804 4 –1 0 | 80 3 –7 –6 | 1090 0 3 1 | –210 | 330 | –763 | –421 | –691 –1 05 4 –70 –8 80 0 –79111 9 0–1 –2 –80 –9 00 0 –81 1 0 0| 2–7 –4 –1 0 | –340 –6 6 –5 | 150 0 8 1 | 4961 –9 0–9 5 –10 7 00 0 –381 9–5 –70 40 03031 –5 0 0 | –27–9 6 –9 0 | –270 –5 8 –3 | 140 0 4 1 | 121 9 0 0 | 41–4 –3 0 0 | 10 –5 –7 –5 | –510 0 –4 1 | –11211–1008 00 73 –20 –90 | –570 | –271 | –111 | 381 –3 0 0 | 286 –1 –8 0 | 1050 –1 –8 –4 | 470 0 –6 1 | 46Окончание табл.

Характеристики

Список файлов книги