lazernaya_tekhnika_uchebnik (863459), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если пренебречь дифракцией и аберрациями, то расчет можно вести по известным законам геометрическойоптики. Однако, особая структура гауссова пучка (см. § 1.2) приводит ктому, что расчет имеет некоторые специфические особенности.2.2. Габаритные расчеты лазерных оптических системДля того, чтобы вывести основные соотношения, с помощью которых можно произвести габаритный расчет оптической системы в случае формирования гауссова пучка, рассмотрим преобразование пучкатонкой безаберрационной линзой.

Пусть на линзу, которая задаетсясвоим фокусным расстоянием f ʹ (для определенности будем рассматривать положительную линзу), падает слева гауссов пучок. Известно,что гауссов пучок задается конфокальным параметром Rэ и положениемплоскости перетяжки. Эти величины определяются конфигурацией резонатора лазера:Rý = 2 Lg1 g 2 (1− g1 g 2 )( g1 + g 2 − 2 g1 g 2 ),(2.1)где g1 и g2 – обобщенные параметры резонатора, которые рассчитываются по формулам:32LLg1 = 1− ; g 2 = 1− ,r1r2где L – длина резонатора; r1 и r2 – радиусы кривизны зеркал резонатора,причем r1(r2) берется положительным, когда зеркало обращено вогнутостью внутрь резонатора.Положение плоскости перетяжки (плоскости наименьшего сечения) рассчитывается по формулам:Z1 = L[ g 2 (1− g1 ]( g1 + g 2 − 2 g1 g 2 ); Z2 = L[ g1 (1− g 2 ]( g1 + g 2 − 2 g1 g 2 ),(2.2)где Z1 и Z2 – расстояние от соответствующего зеркала до плоскости перетяжки.Необходимо иметь в виду, что формулы (2.1) и (2.2) справедливыдля резонаторов произвольной конфигурации, свойства которых описываются с помощью теории эквивалентного конфокального резонатора (ЭКР).

Если параметры резонатора неизвестны, но пучок являетсягауссовым, то величины RЭ и Zi можно найти по известным диаметруи расходимости пучка. Если диаметр пучка и расходимость излученияизмерены по спаду интенсивности в е2 раз, то они связаны с RЭ какD0 = 2λRý;2π(2.3)2θ=22λ.πRý(2.4)По формуле (2,3) определяется диаметр пучка в плоскости перетяжки. На расстоянии Z от плоскости перетяжки диаметр пучка равен:=DZ D0 1+ζ 2 ,(2.5)2Z– относительная продольная координата.RÝС помощью формулы (2.4) по известному значению расходимостиθ можно найти RЭ, а затем, пользуясь формулами (2.3) и (2.5), определить положение плоскости перетяжки относительно того сечения пучка, в котором известна величина диаметра пучка. Если величины D0, Dzи θ неизвестны, их можно определить экспериментально.

Что касаетсягде ζ =33положения плоскости перетяжки, то иногда нахождение Z облегчаетсявследствие того, что перетяжка всегда располагается на плоском зеркале резонатора (форм. 2.2). Наконец, если θ и D известны или измереныне по уровню 1/е2 или они определены по доле энергии в сечении пучкаили телесном угле, необходимо сначала сделать пересчет по формулам(1.2)–(1.4), а затем воспользоваться формулами (2.3)–(2.5).Итак, будем считать, что пучок, падающий на линзу, задан. Не останавливаясь здесь на доказательстве, примем, что пучок за линзой остается гауссовым. Следовательно, его тоже можно характеризовать конфокальным параметром и положением плоскости перетяжки.

Как этопринято в оптике, будем обозначать их теми же буквами, но со штрихами. Кроме того, обозначим расстояние от линзы до перетяжки пучкачерез d, причем d будем отсчитывать от линзы, поэтому, если перетяжкарасположена слева от линзы, d будет иметь отрицательное значение. Условия задачи даны на рис.

2.2.Задача заключается в том, чтобы определить RÝ′ и dʹ за линзой. Понятно, что определив RÝ′ и dʹ, мы сможем найти все параметры пучка,т.е. полностью характеризовать пучок. Воспользуемся фундаментальным свойством гауссова пучка, которое заключается в том, что, еслив каком-либо сечении пучка известны радиус кривизны волновогофронта и диаметр пучка, то им соответствует только одно значение RЭи положение плоскости перетяжки этого пучка. Действительно, еслиисключить Z из выражения для радиуса кривизны волнового фронтаR=1+ζ 2Rý ,2ζи выражения (2.5), получимHHʹ4kW 2 R 2(2.7),(k 2W 4 + 4 R 2 ) где W – радиус пучка: W=D/2;2πk=– волновое число.λПодставляя в (2.5) значениеRЭ, полученное из (2.6), и решаяполученное уравнение относительно Z, найдем:2W0ʹ2W0‒dRý =Rʹ‒R(2.6)dʹРис.

2.2. Преобразование гауссовапучка тонкой положительнойлинзой34Z=k 2W 4 R.(k W 4 + 4 R 2 ) 2(2.8)Знак Z в (2.8) определяется знаком R, т.е. перетяжка расположенаотносительно сечения, в котором определяются R и W, в той стороне,куда обращена вогнутость волнового фронта.Параметры Wʹ и Rʹ преобразованного линзой пучка легко определяются в сечении, где установлена линза. Действительно, в плоскостилинзы W=Wʹ, W можно найти по формуле (2.5) для падающего на линзупучка, приняв Z = d. Радиус кривизны волнового фронта пучка в пло1 1 1скости линзы определяется формулой Гаусса− = , где R нахоR′ R f ′дится по формуле (2.6), в ней также Z = d. Подставляя найденные такимобразом Rʹ и W в (2.7), получим выражение для конфокального параметра преобразованного линзой пучка:Rý′ =Rý(2.9). d   R 2 1+  +  ý  f ′  2 f ′  Производя аналогичные действия с помощью формулы (2.8), можно найти положение плоскости перетяжки пучка за линзой:2 d 1+ ′ f  d′ (2.10).1− ′  =22 f   d   Rý  1+  +  f ′  2 f ′  В формулах (2.9) и (2.10) знаки у d и f ʹ выбираются в соответствиис правилами геометрической оптики, величина RЭ является сугубо положительной.

Эти выражения справедливы и для линзы конечной толщины, если отсчитывать расстояния d и dʹ от соответствующих главныхплоскостей линзы. Действительно, ход рассуждений, принятый привыводе формулы (2.9) и (2.10), в этом случае не нарушается. ФормулаГаусса остается справедливой и для линзы конечной толщины, а допущение о том, что размер пятна на линзе не изменяется, остается в силе,поскольку увеличение в главных плоскостях линзы равно единице.

Сказанное можно отнести и к сложному компоненту, например, объективу,состоящему из нескольких линз.35Формулы (2.9) и (2.10) можно использовать и в случае многомодового пучка. Известно, что радиусы кривизны волновых фронтов всехмод одинаковы, и, следовательно, плоскость перетяжки у них одна ита же. Поэтому формула (2.10) определяет положение плоскости перетяжки независимо от модового состава излучения. Соотношение междуразмером пучка одномодового и многомодового излучения (коэффициент мод) остается прежним и за оптической системой.

Поэтому, рассчитав с помощью формулы (2.9) конфокальный параметр пучка RÝ′ ,можно найти поперечные размеры пучка и его угловую расходимостькак произведение соответствующих параметров одномодового пучка,определенных по формулам (2.3)–(2.5), на коэффициент мод.Оптическая система преобразует многомодовое излучение так же,как и одномодовое, но поперечные размеры пучка многомодового излучения в любой плоскости будут в соответствующее число раз больше;во столько же раз будет больше и расходимость пучка.

Это обстоятельство необходимо принимать во внимание при расчете световых диаметров компонентов.Параметры лазерного пучка за оптической системой можно рассчитать с помощью формул геометрической оптики, принимая сечениепучка до линзы за «предмет» и находя его изображение в сопряженнойплоскости за линзой. Однако такой расчет является неудобным и громоздким. Кроме того, следует иметь в виду, что перетяжку и ее изображение за оптической системой нельзя рассматривать как предмет и егоизображение в геометрической оптике. Например, из геометрическойоптики вытекает, что изображение предмета, находящегося в переднейфокальной плоскости линзы, находится в бесконечности, а из формулы (2.10) следует, что, если перетяжка падающего на линзу пучка находится в передней фокальной плоскости, то перетяжка пучка за линзойнаходится в ее задней фокальной плоскости. Такое же несоответствиеполучается и для поперечного увеличения.Это несоответствие вытекает из того, что гауссов пучок не являетсягомоцентрическим, и центр кривизны волнового фронта падающего налинзу пучка не совпадает с плоскостью перетяжки (2.6).

Однако еслиоптическая система находится достаточно далеко от плоскости перетяжки (в дальней зоне), формулы лазерной оптики (2.9) и (2.10) переходят в формулы геометрической оптики. В этом случае R = Z, т.е. гауссовпучок можно рассматривать как гомоцентрический. В этом случае чле36ном (RЭ/2f ʹ )2 в знаменателях формул (2.9) и (2.10) можно пренебречь посравнению с (1+d/f ʹ )2. Формула (2.10) превращается в формулу Гаусса1 1 1− = , а из формулы (2.9) следует, что увеличения (поперечное иd′ d f ′угловое) для лазерной и геометрической оптики являются одинаковыми.Формулы (2.9) и (2.10) являются основными для габаритного расчета оптических систем для формирования гауссова пучка. Добавим кним еще некоторые положения, которые примем без доказательства.Если отсчитывать от плоскости линзы расстояния Z до сеченийпучка, который распространяется в отсутствии линзы, и расстояния l досечений пучка, который образуется линзой, то в плоскостях, связанныхмежду собой соотношением (рис.

2.3)1 1 1(2.11)= + ,l z f′картина распределения одинакова, а масштаб равен M =( f ′ + z).f′Из (2.11) видно, что за линзой от 0 до f ʹ  отображаются все сеченияпучка от 0 до ∞. За фокальной плоскостью положительной линзы в области f ʹ< l < ∞ отображаются плоскости ∞< f ʹ < l.Как видно из формулы (2.10), если расходящийся гауссов пучок падает на отрицательную линзу, то за линзой он продолжает расходиться, а перетяжка получается мнимой (dʹ имеет отрицательное значение) (рис. 2.4).Применительно к отрицательH H'ной линзе:2ωʹ2ω00Z2l= Z +.( f −Z)HHʹ‒dʹ‒a‒daaʹРис. 2.4. Преобразование гауссовапучка отрицательной линзойРис.

2.3. К формуле (2.11)37При изменении Z от 0 до |f| l пробегает все значения от 0 до ∞, аплоскости Z > |f | и Z < 0 не отображаются отрицательной линзой нигде.Рассмотрим, как используются полученные соотношения для выбора ирасчета оптических систем.Фокусирование (концентрация) лазерного излученияГауссов пучок имеет минимальный размер в плоскости перетяжки.Поэтому задача фокусирования заключается в получении за оптическойсистемой перетяжки минимального размера. Очевидно, что в плоскости перетяжки будет наблюдаться и наибольшая концентрация (плотность мощности) излучения.Из выражения (2.3) следует, что для реализации перетяжки с малымразмером D0, необходимо добиваться малости конфокального параметраRÝ′ трансформированного пучка.

Характеристики

Список файлов книги