Линейная независимость скручиваний Дэна (848676)
Текст из файла
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÈÌÅÍÈ Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒÊÀÔÅÄÐÀ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ ÈÏÐÈËÎÆÅÍÈÉÄÈÏËÎÌÍÀß ÐÀÁÎÒÀÑòóäåíòà 505 ãðóïïû Ïåðìÿêîâà Äìèòðèÿ Àëåêñååâè÷à"ËÈÍÅÉÍÀß ÍÅÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ ÑÊÐÓ×ÈÂÀÍÈÉÄÝÍÀ"Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëè - àêàäåìèê ÐÀÍ Ôîìåíêî À.Ò.,äîöåíò Êóäðÿâöåâà Å.À.1 Ââåäåíèå äàííîé ðàáîòå èçó÷àåòñÿ ïðîñòðàíñòâî äèôôåîìîðôèçìîâ, ïîðîæäåííîåñêðó÷èâàíèÿìè Äýíà âîêðóã ïðîñòûõ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ.Îñíîâíûìè ðåçóëüòàòàìè äàííîé ðàáîòû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìû 2.1 è 3.2.Òåîðåìà 2.1 óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ îáùèõ óñëîâèÿõ ñêðó÷èâàíèÿÄýíà âäîëü ïðîñòûõ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûíàä Z .
Ýòà òåîðåìà, ïî âèäèìîìó, ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíûì ôàêòîì. Ê ñîæàëåíèþ,àâòîðó íå óäàëîñü íàéòè ññûëêó íà åå äîêàçàòåëüñòâî â ëèòåðàòóðå.  [1],ëåììà 2.1(1) ýòà òåîðåìà óïîìèíàåòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà è áåç ññûëîê.Àâòîð òàêæå âñòðå÷àë ïàðó ñòàòåé, â êîòîðûõ ýòà òåîðåìà óïîìèíàåòñÿñî ññûëêîé íà [1].Òåîðåìà 3.2 óòâåðæäàåò, ÷òî ýëåìåíòû íåêîòîðîãî øèðîêîãî êëàññàäèôôåîìîðôèçìîâ ãîìîòîïíû êîìïîçèöèÿì ñêðó÷èâàíèé Äýíà âäîëüñåìåéñòâà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ.Àâòîð áëàãîäàðåí Å.À. Êóäðÿâöåâîé çà ïîñòàíîâêó çàäà÷ è ïîëåçíûåîáñóæäåíèÿ ïðè íàïèñàíèè ðàáîòû.2 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñêðó÷èâàíèé ÄýíàÏóñòü M êîìïàêòíàÿ îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü (ñ êðàåì èëè áåç),âíóòðè êîòîðîé çàäàíî êîíå÷íîå (âîçìîæíî, ïóñòîå) ìíîæåñòâî òî÷åê{yj } .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Diff(M ; {yj }∪∂M ) ïðîñòðàíñòâî äèôôåîìîðôèçìîâïîâåðõíîñòè M , òîæäåñòâåííûõ íà ∂M è ñîõðàíÿþùèõ êàæäóþ òî÷êóyj , à ÷åðåç Diff 0 (M ; {yj } ∪ ∂M ) ⊂ Diff(M ; {yj } ∪ ∂M ) êîìïîíåíòóñâÿçíîñòè òîæäåñòâåííîãî äèôôåîìîðôèçìà â Diff(M ; {yj }∪∂M ) . Ñëåäóþùàÿòåîðåìà, âèäèìîìî, ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîé, íî àâòîðó íå óäàëîñü íàéòè ååîïóáëèêîâàííîãî äîêàçàòåëüñòâà.Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü (ñêðàåì èëè áåç), âíóòðè êîòîðîé çàäàíî êîíå÷íîå (âîçìîæíî, ïóñòîå)ìíîæåñòâî òî÷åê {yj } .
Ïóñòü {γ` } êîíå÷íûé íàáîð ïðîñòûõ çàìêíóòûõïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ â int (M )\{yj } , ÷òî ëþáàÿ êîìïîíåíòàñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà int (M \(∪γ` ∪{yj })) íå ÿâëÿåòñÿ íè îòêðûòûìäèñêîì, íè îòêðûòûì öèëèíäðîì. Ïóñòü h` ∈ Diff(M ; {yj } ∪ ∂M ) ñêðó÷èâàíèÿ Äýíà âîêðóã êðèâûõ γ` . Òîãäà êëàññû [h` ] ∈ Diff(M ; {yj } ∪∂M )/Diff 0 (M ; {yj }∪∂M ) ýòèõ äèôôåîìîðôèçìîâ ïîïàðíî êîììóòèðóþòè ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Z .Åñëè åñòü òî÷êè yj , òî ïðîêàëûâàÿ â íèõ ïîâåðõíîñòü M , à çàòåìêîìïàêòèôèöèðóÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü, â êîòîðîéâìåñòî òî÷åê yj âûêèíóòû äèñêè.
Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òåîðåìó äëÿïîëó÷åííîé ïîâåðõíîñòè, ïîýòîìó ìîæíî ñðàçó ñ÷èòàòü, ÷òî ìíîæåñòâî{yj } ïóñòî.1Åñëè M ñôåðà èëè öèëèíäð, òî ëåììà òðèâèàëüíà. Ìîæåì ñ÷èòàòü,÷òî êàæäàÿ êðèâàÿ γi , ãîìîòîïíàÿ êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè êðàÿ, âñÿ ïðîõîäèòïî êðàþ. Íàáîð êðèâûõ γi ìîæíî äîïîëíèòü äî òàêîãî íàáîðà, ÷òîêàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà M \ ∪i γi ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé ñòðåìÿ âûêèíóòûìè çàìêíóòûìè äèñêàìè.
Ëåììó äîñòàòî÷íî äîêàçàòüäëÿ ïîïîëíåííîãî íàáîðà.Ïîñòðîèì ãðàô Θ = ΘM,{γi } . Êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâàM \∪i γi áóäåò îòâå÷àòü âåðøèíà ñòåïåíè 3, êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòèìíîæåñòâà ∂M áóäåò îòâå÷àòü âåðøèíà ñòåïåíè 1. Äâå âåðøèíû ñîåäèíèìðåáðîì, åñëè îòâå÷àþùèå âåðøèíàì ìíîæåñòâà èìåþò ïåðåñåêàþùèåñÿìíîæåñòâà ãðàíè÷íûõ òî÷åê. Çàìåòèì, ÷òî óêàçàííûå âûøå ïåðåñå÷åíèÿìíîæåñòâ ãðàíè÷íûõ òî÷åê áóäóò ñîâïàäàòü ñ êàêîé-íèáóäü îêðóæíîñòüþγi . Òåì ñàìûì îêðóæíîñòè γi íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèèñ ðåáðàìè ãðàôà Θ . Ïîñòðîèì ïðîåêöèþ ξ : M → Θ .
 êàæäîé êîìïîíåíòåñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà M \∪i γi ìîæíî âûäåëèòü ïî ãðàôó, äîïîëíåíèå äîêîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì òðåõ îòêðûòûõ öèëèíäðîâ.Îòîáðàæåíèå ξ ïåðåâîäèò òàêîé ãðàô â ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðøèíó ñòåïåíè3, à êàæäóþ êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè ∂M â îòâå÷àþùóþ åé âåðøèíó ñòåïåíè1, áîëüøå ïðîîáðàçîâ ó âåðøèí íåò. Ïîâåðõíîñòü M áåç ïðîîáðàçîââñåõ âåðøèí ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì îòêðûòûõ öèëèíäðîâ,çàìûêàíèå êàæäîãî èç êîòîðûõ ñîäåðæèò ðîâíî ïî îäíîé îêðóæíîñòèγi .
Îòîáðàæåíèå ξ ïåðåâîäèò öèëèíäð â ðåáðî, îòâå÷àþùåå îêðóæíîñòèγi , ñîäåðæàùåéñÿ â åãî çàìûêàíèè, ÷òîáû ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè ÿâëÿëñÿîêðóæíîñòüþ. Åñëè γi ñîäåðæèòñÿ â öèëèíäðå, òî ïîòðåáóåì, ÷òîáû ξîòîáðàæàëî γi â òî÷êó.Ãðàô ΘM,{γi } è ïðîåêöèÿ ξ : M → Θ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî äëÿïðîèçâîëüíîãî íàáîðà îêðóæíîñòåé {γi } , äîïîëíåíèå äî êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿîáúåäèíåíèåì îòêðûòûõ ñôåð ñ äûðêàìè.  îáùåì ñëó÷àå ñòåïåíè âåðøèíìîãóò îòëè÷àòüñÿ îò 1 è 3.Åñëè âçÿòü ãðàíèöó òðåõìåðíîé îêðåñòíîñòè ãðàôà Θ è âûêèíóòü èçíåå ïî äèñêó â îêðåñòíîñòè êàæäîé âåðøèíû ñòåïåíè 1, òî ïîëó÷åííàÿïîâåðõíîñòü ñíîâà áóäåò ãîìåîìîðôíà M .Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå âåðøèíû ñòåïåíè 1 ãðàôà Θ îêðàøåíûâ áåëûé öâåò. Äëÿ êàæäîãî ãðàôà Θ0 (íàïðèìåð, ïîäãðàôà ãðàôà Θ ),ó êîòîðîãî ÷àñòü âåðøèí ñòåïåíè 1 îêðàøåíû â áåëûé öâåò, îáîçíà÷èì÷åðåç MΘ0 ïîâåðõíîñòü, ÿâëÿþùóþñÿ ãðàíèöåé òðåõìåðíîãî óòîëùåíèÿãðàôà Θ0 , èç êîòîðîé âûêèíóòî ïî äèñêó â îêðåñòíîñòè êàæäîé áåëîéâåðøèíû.
ßñíî, ÷òî MΘM,{γi } = M .Ïóñòü Θ0 ñâÿçíûé ïîäãðàô â Θ .  ξ −1 (Θ0 ) ñòÿíåì â òî÷êó êàæäóþêîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà ãðàíè÷íûõ òî÷åê ïîäìíîæåñòâà ξ −1 (Θ0 ) ⊂M , íå ÿâëÿþùóþñÿ êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàíèöû äëÿ M . Ïîëó÷åííàÿïîâåðõíîñòü áóäåò ñîâïàäàòü ñ MΘ0 . Îáîçíà÷èì M̃Θ0 ïîâåðõíîñòü, ïîëó÷åííóþèç ξ −1 (Θ0 ) âûêèäûâàíèåì âñåõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà ãðàíè÷íûõ2òî÷åê, íå ÿâëÿþùèõñÿ êîìïîíåíòàìè ãðàíèöû äëÿ M . ßñíî, ÷òî M̃Θ0 ⊂MΘ0 , è M̃Θ0 ïîëó÷àåòñÿ èç MΘ0 âûêàëûâàíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê.Íà MΘ0 îïðåäåëåíà ïðîåêöèÿ ξΘ0 , ñîâïàäàþùàÿ íà M̃Θ0 ñ ïðîåêöèåéξ|M̃Θ = ξΘ |M̃Θ .00Ëåììà 2.2.
Ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå λΘ0 : M → MΘ0 , ÷òî1. îòîáðàæåíèå λΘ0 |M̃Θ ñîâïàäàåò ñ åñòåñòâåííûì âëîæåíèåì M̃Θ0 ⊂0MΘ0 ;2. åñëè òî÷êè x, y ∈ M \ M̃Θ0 è ξ(x) = ξ(y) , òî λΘ0 (x) = λΘ0 (y) .Çàìåòèì, ÷òî èç Ëåììû 2.2 ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ñîãëàñîâàííîñòüîòîáðàæåíèÿ λΘ0 ñ ïðîåêöèåé íà ïðèâåäåííûé ãðàô Ðèáà: ξ|ξ−1 (Θ0 ) =M´³ξΘ0 ◦ λΘ0 |ξ−1 (Θ0 ) : ξ −1 (Θ0 ) → Θ0 .MÏóñòü Θ0 ñâÿçíûé ïîäãðàô ãðàôà Θ . Ïóñòü haγ11 ◦ . . . ◦ haγnn ∼ id .Ðàññìîòðèì äèôôåîìîðôèçì ïîâåðõíîñòè MΘ0 , ÿâëÿþùèéñÿ êîìïîçèöèåéñêðó÷èâàíèé Äýíà haMi Θ ,i âäîëü âñåõ êðèâûõ λΘ0 (γi ) , äëÿ êîòîðûõ ξ(γi ) ∈0Θ0 è λΘ0 (γi ) îòëè÷íî îò òî÷êè.
Èç Ëåììû 2.2, ñ ó÷åòîì êîììóòèðîâàíèÿñêðó÷èâàíèé Äýíà è îòîáðàæåíèÿ λΘ0 , ñëåäóåò, ÷òî ýòîò äèôôåîìîðôèçìèçîòîïåí òîæäåñòâåííîìó.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà Ëåììû 2.2 íàì ïîíàäîáèòñÿÓòâåðæäåíèå 2.3. Ïóñòü Θ0 ñâÿçíûé ïîäãðàô ñâÿçíîãî ãðàôà Θ ,îòëè÷íûé îò âñåãî Θ . Òîãäà íàéäåòñÿ îòêðûòîå ðåáðî e â Θ \ Θ0 ,÷òî ëèáî e íå ìîñò, ò.å. ãðàô Θ \ e ñâÿçåí, ëèáî e âåäåò â âåðøèíóñòåïåíè 1 ãðàôà Θ . Çäåñü è äàëåå ïîä ðåáðîì ïîíèìàåòñÿ îòêðûòîåðåáðî.Ðàññòîÿíèåì îò âåðøèíû ãðàôà Θ äî ïîäãðàôà Θ0 íàçîâåì ìèíèìàëüíîåêîëè÷åñòâî ðåáåð, íóæíîå ÷òîáû äîáðàòüñÿ îò âåðøèíû äî Θ0 . Åñëèñâÿçíûé ïîäãðàô Θ0 ñîäåðæèò âñå âåðøèíû ãðàôà Θ , òî ðåáðî âíåΘ0 íå ìîæåò áûòü ìîñòîì.
Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî íàéäåòñÿ âåðøèíà âíåΘ0 . Ïóñòü v ëþáàÿ èç íàèáîëåå äàëåêèõ îò Θ0 âåðøèí ãðàôà Θ ,e ëþáîå èç âûõîäÿùèõ èç v ðåáåð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî e ìîñò. Åñëèâåðøèíà v ëåæèò â òîé æå êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà Θ \ e , ÷òî èïîäãðàô Θ0 , òî â ãðàôå Θ ðàññòîÿíèå îò âòîðîé âåðøèíû v 0 ðåáðà e äîãðàôà Θ0 íà îäèí áîëüøå, ÷åì îò âåðøèíû v , òàê êàê ëþáîé ïóòü îò v 0äî Θ0 ïðîõîäèò ÷åðåç ðåáðî e . Çíà÷èò, âåðøèíà v ëåæèò â êîìïîíåíòåñâÿçíîñòè ãðàôà Θ \ e , íå ñîäåðæàùåé ïîäãðàô Θ0 .
Åñëè âåðøèíà vèìååò ñòåïåíü áîëüøå 1, òî îíà ñîåäèíåíà ñ íåêîòîðîé âåðøèíîé v 00ðåáðîì, îòëè÷íûì îò e . Ëþáîé ïóòü îò v 00 äî Θ0 ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíóv , ïîýòîìó v 00 äàëüøå îò Θ0 , ÷åì v , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó âåðøèíûv.Òåïåðü äîêàæåì Ëåììó 2.2. Èç Óòâåðæäåíèÿ 2.3 ñëåäóåò, ÷òî äîñòàòî÷íîäîêàçûâàòü äëÿ ñëó÷àåâ31. Θ0 = Θ \ e , ãäå e íå ÿâëÿåòñÿ ìîñòîì,2.
Θ0 = Θ \ {e, v} , ãäå v âåðøèíà ñòåïåíè 1, ðåáðî e âûõîäèò èçv.Ðàçáåðåì ñíà÷àëà ïåðâûé ñëó÷àé. Ââåäåì íà e ïðîèçâîëüíî ïàðàìåòðt ∈ (0; 1) . Ïîâåðõíîñòü ξ −1 (e) ãîìåîìîðôíà îòêðûòîìó öèëèíäðó S 1 ×(0; 1) . Ñòÿíåì â òî÷êó êàæäóþ îêðóæíîñòü ξ −1 (e(t)) , à òàêæå êàæäóþèç äâóõ îêðóæíîñòåé â ∂(ξ −1 (e)) . Ïîëó÷èì ïîâåðõíîñòü MΘ\e ñ ïðèêëååííûìçà êîíöû îòðåçêîì ē .
Ïîñêîëüêó åñòü ïóòü ìåæäó âåðøèíàìè ðåáðà eïî ãðàôó Θ \ e , òî íàéäåòñÿ è ïóòü ìåæäó òî÷êàìè ∂ē ïî ïîâåðõíîñòèMΘ\e . Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå âñåãî îòðåçêà ē â ïîâåðõíîñòüMΘ\e , ñîõðàíÿþùåå êîíöû îòðåçêà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè òðåáóåìîåîòîáðàæåíèå λΘ\e : M → MΘ\e .Òåïåðü ðàçáåðåì âòîðîé ñëó÷àé.  ýòîì ñëó÷àå ξ −1 (e ∪ v) ëèáîöèëèíäð, ëèáî äèñê. Ïîýòîìó MΘ\(e∪v) = M/ξ −1 (e∪v) . Çíà÷èò, îòîáðàæåíèåλΘ\{e,v} ìîæíî âçÿòü ðàâíûì åñòåñòâåííîìó îòîáðàæåíèþ M → M/ξ −1 (e∪v) .Äàëåå ÷åðåç hγi îáîçíà÷àåòñÿ ñêðó÷èâàíèå Äýíà âîêðóã êðèâîé γi .Ëåììà 2.4.
Ïóñòü íàéäåòñÿ ïóòü α : [0; 1] → M , ÷òî α(0), α(1) ∈∂M è ïóòü ξα â Θ íåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ è ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êèm α) · α−1 ñξ(γi ) , 1 ≤ i ≤ m . Òîãäà çàìêíóòûé ïóòü β := (haγ11 . . . haγmçàêðåïëåííûìè êîíöàìè ñòÿãèâàåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñåai = 0 , 1 ≤ i ≤ m .Åñëè âñå ai ðàâíû íóëþ, òî β = α−1 · α î÷åâèäíî ñòÿãèâàåì. Çíà÷èò,íóæíî äîêàçàòü òîëüêî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. Ñ÷èòàåì, ÷òî âñå ai îòëè÷íûîò íóëÿ.
Ïóñòü γ1 ïåðâàÿ âäîëü ïóòè α îêðóæíîñòü ñðåäè γi . Åñëèa1 åäèíñòâåííîå íåíóëåâîå ÷èñëî ñðåäè ai , 1 ≤ i ≤ m , òî β ∼ γ1a1 ,è ïîòîìó ïóòü β íåñòÿãèâàåì. Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî åñòü åùå íåíóëåâûå÷èñëà ñðåäè ai , à ïîòîìó γ1 íå ïîñëåäíÿÿ âäîëü ïóòè α îêðóæíîñòüñðåäè γi , è íàéäåòñÿ îêðóæíîñòü γ2 , ñëåäóþùàÿ çà γ1 âäîëü ïóòè α .Èç íåýêâèâàëåíòíîñòè êðèâûõ γ1 è γ2 ñëåäóåò, ÷òî íà èíòåðâàëå ïóòèξα ìåæäó òî÷êàìè ξ(γ1 ) è ξ(γ2 ) íàéäåòñÿ âåðøèíà ãðàôà Θ .
Âûéäåìèç ýòîé âåðøèíû ïî ðåáðó, íå ïðèíàäëåæàùåìó ïóòè ξ(α) , è áóäåì èäòèïðîèçâîëüíî, ïîêà íå ïðîèçîéäåò îäíî èç ñëåäóþùèõ ñîáûòèé: à) ïðèäåìâ âåðøèíó ñòåïåíè 1, á) ïðèäåì â âåðøèíó ïóòè ξ(α) , â) ïðèäåì â óæåïðîéäåííóþ âåðøèíó. Ïîëó÷åííûé ïóòü îáîçíà÷èì δ̃ 0 .Ñíà÷àëà ðàçáåðåì ñëó÷àé (à) è ÷àñòü ñëó÷àÿ (á). Ïóñòü ïóòü δ̃ 0 íåïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ξ(γ1 ) è, åñëè îí ïåðåñåêàåò ïóòü ξα â ìîìåíò,îòëè÷íûé îò íà÷àëüíîãî, òî âòîðàÿ âäîëü ïóòè δ̃ 0 òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿëåæèò âûøå, âäîëü ïóòè ξα , òî÷êè ξ(γ1 ) .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
