Линейная независимость скручиваний Дэна (848676), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç δ̃ 00 íåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿïóòü â ãðàôå Θ îò ξ(α(0)) äî íà÷àëà ïóòè δ̃ 0 , èäóùèé âäîëü ïóòè ξα .Åñëè δ̃ 0 è δ̃ 00 èìåþò ðîâíî îäíó îáùóþ òî÷êó, ÿâëÿþùóþñÿ íà÷àëîì4ïóòè δ̃ 0 , òî ïîëîæèì δ̃ := δ̃ 00 · δ̃ 0 .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëîæèì δ̃ ðàâíûìçàìêíóòîìó ïóòè, èäóùåìó ñíà÷àëà âäîëü ïóòè δ̃ 0 îò åãî íà÷àëà äîïåðâîé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïóòåì δ̃ 00 , à çàòåì âîçâðàùàþùèìñÿ âäîëüïóòè δ̃ 00 .Íåñàìîïåðåñåêàþùåìóñÿ ïóòè δ̃ â ãðàôå Θ ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðûéíåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ ïóòü δ íà ïîâåðõíîñòè M , ÷òî ξδ = δ̃ , ïðè÷åìåñëè δ̃ çàìêíóò, òî δ òîæå ìîæíî âûáðàòü çàìêíóòûì. Èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿïóòåé δ è β ðàâåí ±a1 .
Íî ïóòü β ñòÿãèâàåì, çíà÷èò a1 = 0 .Äîðàçáåðåì ñëó÷àé (á). Ïóñòü òåïåðü âòîðàÿ âäîëü ïóòè δ̃ 0 òî÷êàïåðåñå÷åíèÿ ïóòåé δ̃ 0 è ξα íèæå, âäîëü ïóòè ξα , òî÷êè ξ(γ1 ) . Ðàññìîòðèìïîäãðàô Θ0 ⊂ Θ , ñîñòîÿùèé èç îòðåçêà ïóòè δ̃ 0 äî âòîðîé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿñ ïóòåì ξα è îòðåçêà ïóòè ξα îò íà÷àëà, äî íèæíåé èç óïîìÿíóòîéâûøå òî÷êè è òî÷êè δ̃ 0 (0) .  ãðàôå Θ0 íà îòðåçêå îò ξα(0) äî åäèíñòâåííîãîöèêëà ëåæèò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ξ(γi ) ñàìà ξ(γ1 ) . Ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûåïðèâåäåííûì âûøå, ïîêàçûâàþò, ÷òî ìíîæåñòâó òî÷åê ξ(γi ) , ëåæàùèõíà öèêëå â ãðàôå Θ0 , ñîîòâåòñòâóåò íàáîð ÷èñåë ai , ñóììà êîòîðûõðàâíà 0. Ïîâåðõíîñòü MΘ0 ãîìåîìîðôíà òîðó ñ äûðêîé.
Ðàññìîòðèìîòîáðàæåíèå λΘ0 , ïîñòðîåííîå â Ëåììå 2.2. Èç Ëåììû 2.2 ñëåäóåò, ÷òîïóòü λΘ0 β ãîìîòîïåí λΘ0 γ1a1 , ò.å. êðàþ äûðêè â òîðå, ïðîéäåííîìó a1ðàç. Çíà÷èò, ïóòü λΘ0 β íåñòÿãèâàåì, à ïîòîìó è ïóòü β íåñòÿãèâàåì.Ñëó÷àé (â) àíàëîãè÷åí ïðåäûäóùåìó, òîëüêî ïîäãðàô Θ0 òåïåðüñîñòîèò èç ïóòè δ̃ 0 è ÷àñòè ïóòè ξ(α) îò ξ(α(0)) äî δ̃ 0 (0) .Ñëåäñòâèå 2.5. Ïóñòü a1 , . . . , an íàáîð öåëûõ ÷èñåë, ÷òî haγ11 . . . haγnn ∼id . Åñëè íàéäåòñÿ ïóòü α : [0; 1] → M , ÷òî α(0), α(1) ∈ ∂M è ïóòüξα â Θ íåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ è ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ξ(γi ) , 1 ≤ i ≤m ≤ n , òî âñå ai = 0 , 1 ≤ i ≤ m .Ïóñòü äàí ñâÿçíûé ãðàô Θ̄ , âñå âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò ñòåïåíü 1èëè 3, è âñå âåðøèíû ñòåïåíè 1 êîòîðîãî îêðàøåíû â áåëûé öâåò.
Ïóñòüíà êàæäîì åãî ðåáðå e ñòîèò öåëî÷èñëåííàÿ ìåòêà m(e) ∈ Z . Òàêîéãðàô áóäåì íàçûâàòü ãðàôîì ñ ìåòêàìè. Îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèÿ íàãðàôå ñ ìåòêàìè Θ̄ :1 Åñëè â ãðàôå Θ̄ íàéäåòñÿ ïîäãðàô Θ̄0 , ãîìåîìîðôíûé ãðàôe Θ1èçîáðàæåííîìó íà ðèñ. 1, ïðè ïîìîùè ãîìåîìîðôèçìà % : Θ̄0 →Θj , òî âñå ìåòêè m(e) òåõ ðåáåð e ⊂ Θ̄ , ÷òî %(e) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþâûäåëåííîãî ðåáðà, ðàâíà íóëþ.2,3,4 Åñëè â ãðàôå Θ̄ íàéäåòñÿ ïîäãðàô Θ̄0 , ãîìåîìîðôíûé îäíîìó èçîäíîìó èç ãðàôîâ Θj , j = 2, 3, 4 , èçîáðàæåííûõ íà ðèñ.
1, ïðèïîìîùè ãîìåîìîðôèçìà % : Θ̄0 → Θj , òî ñóììà ìåòîê m(e) òåõðåáåð e ⊂ Θ̄ , ÷òî %(e) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ âûäåëåííîãî ðåáðà, ðàâíàíóëþ.5Óòâåðæäåíèå 2.6. Ïóñòü a1 , . . . , an íàáîð öåëûõ ÷èñåë, ÷òî haγ11 . . . haγnn ∼id .  ãðàôå Θ íà êàæäîì ðåáðå e , ñîîòâåòñòâóþùåìó îêðóæíîñòèγi , ïîñòàâèì ìåòêó m(e) := ai . Òîãäà ïîëó÷åííûé ãðàô ñ ìåòêàìèóäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì.Çàìå÷àíèå 2.7. Äëÿ çàäàíèÿ ñêðó÷èâàíèÿ Äýíà hγi íå íóæíî çíàòüîðèåíòàöèþ îêðóæíîñòè γi , äîñòàòî÷íî çàôèêñèðîâàòü îðèåíòàöèþ âñåéïîâåðõíîñòè. Âûáåðåì íåêîòîðóþ îðèåíòàöèþ îêðóæíîñòè γi .
Áóäåìïðîâîäèòü ñêðó÷èâàíèå Äýíà ïðàâåå îêðóæíîñòè (åñëè ñìîòðåòü âäîëüíàïðàâëåíèÿ), íàïðàâëåíèå ñêðó÷èâàíèÿ âûáåðåì ñîâïàäàþùèì ñ íàïðàâëåíèåìíà îêðóæíîñòè. Òåïåðü åñëè èçìåíèòü îðèåíòàöèþ îêðóæíîñòè, ïîëó÷èòñÿòàêîå æå ñêðó÷èâàíèå, ñäâèíóòîå ïàðàëëåëüíî âäîëü öèëèíäðà - îêðåñòíîñòèγi . Ïîýòîìó ýòè ñðó÷èâàíèÿ ãîìîòîïíû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìåòêè m(e)íà ðåáðàõ çàäàíû íåçàâèñèìî îò îðèåíòàöèé îêðóæíîñòåé è ïî íèìîäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèè âîññòàíàâëèâàåòñÿ ãîìåîìîðôèçì.Ïóñòü â ãðàôå Θ íàøåëñÿ ïîäãðàô Θ0 , ãîìåîìîðôíûé îäíîìó èçèçîáðàæåííûõ íà ðèñ.
1. Áóäåì èñïîëüçîâàòü èçîòîïíîñòü êîìïîçèöèèâñåõ ñêðó÷èâàíèé Äýíà âäîëü îêðóæíîñòåé λΘ0 (γi ) â ñòåïåíÿõ ai òîæäåñòâåííîìóäèôôåîìîðôèçìó ïîâåðõíîñòè MΘ0 , ñì. çàìå÷àíèå ê Ëåììå 2.2.Ïóñòü ïîäãðàô Θ0 ãîìåîìîðôåí ãðàôó Θ1 . Ðàâåíñòâî íóëþ ñóììûñîîòâåòñòâóþùèõ ai ñëåäóåò èç Ñëåäñòâèÿ 2.5.Ïóñòü ïîäãðàô Θ0 ãîìåîìîðôåí ãðàôó Θ2 . Òîãäà ïîâåðõíîñòü MΘ0ÿâëÿåòñÿ òîðîì. Ðàññìîòðèì íà òîðå êðèâóþ β ñ íåíóëåâûì èíäåêñîìïåðåñå÷åíèÿ ñ êðèâîé λΘ0 (γ1 ) .
Òîãäà èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ êðèâûõ β èhaλ1 0 (γ1 ) . . . haλn 0 (γn ) · β ðàâåí (ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) ñóììå òåõ ÷èñåë ai ,ΘΘ÷òî òî÷êà ξ(γi ) ëåæèò â ïîäãðàôå Θ0 è òî÷êà ξΘ0 (λΘ0 (γi )) ëåæèò íàçàìêíóòîì ðåáðå, îòìå÷åííîì íà ðèñóíêå æèðíûì. Íî haλ1 0 (γ1 ) ∼ id ,Θîòêóäà haλ1 0 (γ1 ) · β ∼ β . Èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ êðèâîé β ñ ñîáîé ðàâåíΘíóëþ, ÷òî äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.Ïóñòü ïîäãðàô Θ0 ãîìåîìîðôåí ãðàôó Θ3 . Åñëè ñóììà ai îòëè÷íàîò íóëÿ, òî íåèçîòîïíîñòü êîìïîçèöèè ñêðó÷èâàíèé Äýíà âäîëü îêðóæíîñòåéλΘ0 (γi ) â ñòåïåíÿõ ai òîæäåñòâåííîìó äèôôåîìîðôèçìó ïîâåðõíîñòèMΘ0 ñëåäóåò èç íåãîìîòîïíîñòè êðèâûõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ.
2.Ïóñòü ïîäãðàô Θ0 ãîìåîìîðôåí ãðàôó Θ4 . Åñëè ñóììà ai îòëè÷íàîò íóëÿ, òî íåèçîòîïíîñòü êîìïîçèöèè ñêðó÷èâàíèé Äýíà âäîëü îêðóæíîñòåéλΘ0 (γi ) â ñòåïåíÿõ ai òîæäåñòâåííîìó äèôôåîìîðôèçìó ïîâåðõíîñòèMΘ0 ñëåäóåò èç íåãîìîòîïíîñòè êðèâûõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 3.Ïîêàæåì íåãîìîòîïíîñòü êðèâûõ íà ðèñ. 2.
Îòíîñèòåëüíàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿãðóïïà ïîâåðõíîñòè π1 (M ; ∂M ) =< a1 , a2 > . Êðèâûå çàäàþò ðàçëè÷íûå−1 −kkýëåìåíòû [a2 , a−1è a2 .1 ] a2 [a2 , a1 ]Ïîêàæåì íåãîìîòîïíîñòü êðèâûõ íà ðèñ. 3. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà−1 > . Êðèâûåïîâåðõíîñòè π1 (M ) =< a1 , a2 , a3 , a4 | [a1 , a2 ] = [a4 , a−13 ]k2−kçàäàþò ýëåìåíòû a2 a4 è [a1 , a2 ] a2 [a1 , a2 ] a4 .
Åñëè ýòè ýëåìåíòû ñîïðÿæåíû,6k 2−kòî èç óòâåðæäåíèÿ ?? ñëåäóåò a2 = u−11 [a1 , a2 ] a2 [a1 , a2 ] u2 è a4 =−1−1 −mn−n .mè u2 = [a1 , a2 ] = [a4 , a−1u2 a4 u1 , ãäå u1 = [a1 , a2 ] = [a4 , a3 ]3 ]Îòñþäà è èç òåîðåìû 2.6 èç [2] ïîëó÷àåì m = k , n = k , m = 0 , n = 0 ,îòêóäà k = 0 . ñèëó Óòâåðæäåíèÿ 2.6, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà Òåîðåìû 2.1 îñòàëîñüäîêàçàòü ñëåäóþùóþ Ëåììó.Ëåììà 2.8. Åñëè ãðàô ñ ìåòêàìè Θ̄ óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì,òî âñå ìåòêè ðàâíû íóëþ.Ñëó÷àé 1.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ãðàôå Θ̄ åñòü õîòÿ áû îäíà âåðøèíàñòåïåíè 1. Ïîêàæåì, ÷òî â ãðàôå Θ̄ íàéäåòñÿ ïîäãðàô Θ0 , ãîìåîìîðôíûéîäíîìó èç ãðàôîâ Θj ⊂ Θ , j = 1, 2, 3, 5, 6, 7 ñì. ðèñ. 1, ïðè ïîìîùèãîìåîìîðôèçìà % : Θ0 → Θj . Îò êàæäîãî èç ïîäãðàôîâ Θj , j = 2, 3, 5, 6, 7 ,ïîòðåáóåì, ÷òîáû ðåáðî e áûëî åäèíñòâåííûì ðåáðîì ñ íåíóëåâîé ìåòêîé,äëÿ êîòîðîãî ìíîæåñòâî %(e) ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì âûäåëåííîãî ðåáðàãðàôà Θj .
Îò ãðàôà Θ1 ïîòðåáóåì, ÷òîáû ìíîæåñòâî %(e) ÿâëÿëîñüïîäìíîæåñòâîì âûäåëåííîãî ðåáðà ãðàôà Θ1 .Åñëè íàéäåòñÿ íåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ ïóòü α : [0; 1] → Θ̄ , ÷òî òî÷êèα(0) è α(1) ÿâëÿþòñÿ áåëûìè âåðøèíàìè, è ïóòü α ïðîõîäèò ÷åðåçðåáðî e , òî íàõîäèì ïîäãðàô Θ1 . Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî òàêîãî ïóòè íåíàéäåòñÿ.Ïóñòü x ïðîèçâîëüíàÿ âåðøèíà ñòåïåíè 1. Ïóñòü ðåáðî e íà ãðàôåΘ̄ áëèæàéøåå ê âåðøèíå x ñðåäè ðåáåð ñ íåíóëåâîé ìåòêîé. Ðàññìîòðèìêðàò÷àéøèé ïóòü èç âåðøèíû x , ñîäåðæàùèé ðåáðî e . Îáîçíà÷èì ýòîòïóòü δ̃ 00 : [0; 1] → Θ̄ , A := δ̃ 00 (1) .Åñëè A ∈ δ̃ 00 (0; 1) , òî îòðåçîê ïóòè δ̃ 00 ìåæäó äâóìÿ ïðîõîæäåíèÿìèòî÷êè A îáðàçóåò ïîäãðàô Θ2 .
Ïóñòü äàëåå A ∈/ δ̃ 00 (0; 1) .Èç âåðøèíû A âûõîäèò õîòÿ áû 2 îòêðûòûõ ðåáðà e1 è e2 , íåñîäåðæàùèõñÿ â δ̃ 00 . Åñëè ìåæäó ýòèìè ðåáðàìè åñòü ïóòü, íå ïåðåñåêàþùèéδ̃ 00 , â òîì ÷èñëå âåðøèíó A , òî ìû íàøëè ïîäãðàô Θ3 . Ïóñòü òàêîãîïóòè íåò, ò.å. â Θ̄ \ δ̃ 00 [0; 1] ðåáðà e1 è e2 ëåæàò â ðàçíûõ êîìïîíåíòàõñâÿçíîñòè. Åñëè ìåæäó ðåáðàìè e1 è e2 åñòü ïóòü, ïåðåñåêàþùèéñÿ ñδ̃ 00 (0; 1) , òî ìû íàõîäèì ïîäãðàô Θ5 . Åñëè íè îò e1 , íè îò e2 íåëüçÿäîéòè äî δ̃ 00 (0; 1) êðîìå êàê ÷åðåç âåðøèíó A , òî íàéäåòñÿ ïîäãðàô Θ6 .Åñëè îò ðåáðà e1 ìîæíî äîáðàòüñÿ äî δ̃ 00 (0; 1) íå ïðîõîäÿ ÷åðåç âåðøèíóA , îò ðåáðà e2 íåëüçÿ, òî íàéäåòñÿ ïîäãðàô Θ7 . êàæäîì èç ñëó÷àåâ ðàâåíñòâî íóëþ ìåòêè íà ðåáðå e ñëåäóåò èçñîîòíîøåíèé.Ñëó÷àé 2.
Òåïåðü äîêàæåì ëåììó â ñëó÷àå, êîãäà â ãðàôå Θ̄ íåòâåðøèí ñòåïåíè 1. Ïóñòü e íåêîòîðîå ðåáðî ãðàôà Θ̄ ñ íåíóëåâîéìåòêîé. Ïîêàæåì, ÷òî â ãðàôå Θ̄ íàéäåòñÿ ïîäãðàô Θ0 , ãîìåîìîðôíûéîäíîìó èç ãðàôîâ Θj ⊂ Θ , j = 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11 ñì. ðèñ. 1, ïðè ïîìîùèãîìåîìîðôèçìà % : Θ0 → Θj . Îò êàæäîãî èç ïîäãðàôîâ Θj , j = 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11 ,ïîòðåáóåì, ÷òîáû ðåáðî e áûëî åäèíñòâåííûì ðåáðîì ñ íåíóëåâîé ìåòêîé,7äëÿ êîòîðîãî ìíîæåñòâî %(e) ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì âûäåëåííîãî ðåáðàãðàôà Θj (áîëåå òîãî, äëÿ j 6= 2 ìíîæåñòâî %(e) ñîâïàäàåò ñ âûäåëåííûìðåáðîì).Îáîçíà÷èì ÷åðåç v1 è v2 êîíöû ðåáðà e .
Åñëè v1 = v2 , ò.e. ðåáðîe ÿâëÿåòñÿ ïåòëåé, òî íàøåëñÿ ïîäãðàô Θ2 . Ïóñòü äàëåå v1 6= v2 .Îáîçíà÷èì ÷åðåç vi0 è vi00 , i = 1, 2 , âåðøèíû ñìåæíûå ñ âåðøèíîévi ïî ðåáðàì, îòëè÷íûì îò e .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàéäåòñÿ ïóòü ` ìåæäó âåðøèíàìè v10 è v100 ,íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç âåðøèíû v1 è v2 . Åñëè íàéäåòñÿ àíàëîãè÷íûéïóòü äëÿ âåðøèí v20 è v200 , òî ìû íàõîäèì ïîäãðàô Θ4 èëè Θ5 , åñëèóêàçàííûå ïóòè íå ïåðåñåêàþòñÿ èëè ïåðåñåêàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòüòàêîãî ïóòè ìåæäó v20 è v200 íå íàéäåòñÿ.
Åñëè îò êàæäîé èç âåðøèí v20è v200 ìîæíî äîáðàòüñÿ äî âåðøèíû v1 , íå ïðîõîäÿ ÷åðåç âåðøèíó v2 , òîíàõîäèì ïîäãðàô Θ5 . Åñëè îò v20 ìîæíî äîáðàòüñÿ äî v1 , íå ïðîõîäÿ÷åðåç âåðøèíó v2 , à îò v200 òàê äîáðàòüñÿ íåëüçÿ, òî íàõîäèì ïîäãðàôΘ8 . Åñëè äîáðàòüñÿ äî v1 , íå ïðîõîäÿ ÷åðåç âåðøèíó v2 , íåëüçÿ íè îòv20 , íè îò v200 , òî íàõîäèì ïîäãðàô Θ9 .Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî íåò ïóòè ìåæäó âåðøèíàìè vi0 è vi00 , íåïðîõîäÿùåãî ÷åðåç âåðøèíû v1 è v2 , äëÿ êàæäîãî i = 1, 2 . Áîëååòîãî, ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âîâñå íåò öèêëîâ â Θ̄ , ñîäåðæàùèõîäíó èç âåðøèí vi , i = 1, 2 , è íå ñîäåðæàùèõ äðóãóþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
