Линейная независимость скручиваний Дэна (848676), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Åñëè îò v1íåâîçìîæíî äîáðàòüñÿ äî v2 êðîìå êàê ïî ðåáðó e , òî íàõîäèì ïîäãðàôΘ10 . Ïóñòü íàéäåòñÿ íåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ ïóòü ` , èäóùèé îò v10 äîv20 è íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç v1 è v2 . Îò êàæäîé èç âåðøèí v100 è v200íåâîçìîæíî äîáðàòüñÿ äî l , íå ïðîõîäÿ ÷åðåç v1 è v2 . Åñëè åñòü ïóòüîò v100 äî v200 , íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç v1 è v2 , òî ìû íàõîäèì ïîäãðàôΘ5 .
Åñëè òàêîãî ïóòè íåò, òî íàéäåòñÿ ïîäãðàô Θ11 . êàæäîì èç ñëó÷àåâ ðàâåíñòâî íóëþ ìåòêè íà ðåáðå e ñëåäóåò èçñîîòíîøåíèé.Òåîðåìà 2.1 äîêàçàíà.3 Ãîìîòîïíîñòü äèôôåîìîðôèçìîâ ñêðó÷èâàíèÿìÄýíàÏóñòü ñíîâà M êîìïàêòíàÿ îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü. Îáîçíà÷èì÷åðåç F ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé Ìîðñà íà ïîâåðõíîñòè M , ó êîòîðûõ pëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ, q ñåäëîâûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê è r ëîêàëüíûõìàêñèìóìîâ.Îïðåäåëåíèå 3.1. Ïóñòü M̄ çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü, ïîëó÷åííàÿ èçM ñòÿãèâàíèåì â òî÷êó êàæäîé ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè. Ëþáîé äèôôåîìîðôèçìïîâåðõíîñòè M èíäóöèðóåò ãîìåîìîðôèçì ïîâåðõíîñòè M̄ , à ïîòîìóèíäóöèðóåò àâòîìîðôèçì ãðóïïû ãîìîëîãèé H1 (M̄ ) .
Ðàññìîòðèì â ãðóïïå8Diff(M ) íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó T ⊂ Diff(M ) , ñîñòîÿùóþ èç äèôôåîìîðôèçìîâh ∈ Diff(M ) , èíäóöèðóþùèõ òîæäåñòâåííûé àâòîìîðôèçì ãðóïïû H1 (M̄ ) .Ïîäãðóïïó T íàçîâåì ãðóïïîé Òîðåëëè ïîâåðõíîñòè M .Äëÿ êàæäîé ôóíêöèè f ∈ F îáîçíà÷èì ÷åðåç Gf ïîäãðàô êðèòè÷åñêîãîãðàôà ôóíêöèè f , ñîñòîÿùèé èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, ñîäåðæàùèõ ñåäëîâûåêðèòè÷åñêèå òî÷êè. Äîïîëíåíèå M \Gf ñîñòîèò èç îòêðûòûõ öèëèíäðîâZ` , 1 ≤ ` ≤ k , ïîëóîòêðûòûõ öèëèíäðîâ è îòêðûòûõ äèñêîâ.
 êàæäîìöèëèíäðå Z` âûáåðåì ïðîñòóþ êðèâóþ γ` , ãîìîòîïíóþ îñíîâàíèþ öèëèíäðà.Îáîçíà÷èì ÷åðåç hγ` ñêðó÷èâàíèå Äýíà âîêðóã êðèâîé γ` .Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü f ∈ F ôóíêöèÿ Ìîðñà, {xi } , {yj } , {zk } ìíîæåñòâà åå òî÷åê ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, ñåäëîâûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åêè òî÷åê ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ñîîòâåòñòâåííî, à äèôôåîìîðôèçì h ∈T , ïðè÷åì f ◦h = f è h|{xi }∪{zk } = id{xi }∪{zk } . Òîãäà h|{yj } = id{yj } è hãîìîòîïåí â ïðîñòðàíñòâå ãîìåîìîðôèçìîâ (M \ ({xi } ∪ {zk }), {yk }) →(M \ ({xi } ∪ {zk }), {yk }) ýëåìåíòó ðåøåòêè < hγ1 , .
. . , hγk > .Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç pf : M → Wf åñòåñòâåííóþ ïðîåêöèþïîâåðõíîñòè M íà ãðàô Ðèáà Wf . Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî èíäóöèðîâàííûéäèôôåîìîðôèçìîì h àâòîìîðôèçì pf ◦h◦p−1f ãðàôà Ðèáà Wf ñîõðàíÿåòâñå âåðøèíû è âñå ðåáðà ãðàôà Wf . Âñå âåðøèíû ñòåïåíè 1 ñîõðàíÿþòñÿ,òàê êàê h ñîõðàíÿåò âñå êîìïîíåíòû êðàÿ è êðèòè÷åñêèå òî÷êè ëîêàëüíîãîìèíèìóìà è ìàêñèìóìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàéäóòñÿ âåðøèíû ãðàôàWf , íå ñîõðàíÿåìûå îòîáðàæåíèåì pf ◦h◦p−1f . Ñðåäè âñåõ òàêèõ âåðøèíîáîçíà÷èì ÷åðåç v 0 òó, ðàññòîÿíèå îò êîòîðîé äî áëèæàéøåé ê íåéâåðøèíå ñòåïåíè 1 ìèíèìàëüíî, à ÷åðåç v 00 åå îáðàç ïðè îòîáðàæåíèè0pf ◦ h ◦ p−1f . Ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé ïóòü îò âåðøèíû v äî áëèæàéøåéê íåé âåðøèíû ñòåïåíè 1 è îáîçíà÷èì ÷åðåç v âåðøèíó, ñëåäóþùóþ çà v 0âäîëü ýòîãî ïóòè.
Òîãäà v ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè îòîáðàæåíèè pf ◦h◦p−1f ,à ðåáðî v 0 v ïåðåõîäèò â ðåáðî v 00 v .Ïîêàæåì, ÷òî íàéäåòñÿ ïðîñòîé ïóòü ìåæäó âåðøèíàìè v 0 è v 00 ,íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç v . Ðàññìîòðèì ãðàô Wf \v , ïîëó÷åííûé èç Wfóäàëåíèåì âåðøèíû v è âñåõ âûõîäÿùèõ èç íåå ðåáåð, è ñâÿçíóþ êîìïîíåíòóWf \v(v 0 ) âåðøèíû v 0 â Wf \v .
Åñëè ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà Wf \v(v 0 ) ñîñòîèòòîëüêî èç âåðøèíû v 0 , òî v 0 ïðè îòîáðàæåíèè pf ◦ h ◦ p−1ïåðåõîäèò âfñåáÿ, òàê êàê â ãðàôå Wf îíà ëèáî ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ñòåïåíè 1, ëèáîñîåäèíåíà ñ v õîòÿ áû äâóìÿ ðåáðàìè, îáðàçóþùèìè ïðîñòîé öèêë. ÅñëèWf \v(v 0 ) ñîäåðæèò öèêë èëè âåðøèíó ñòåïåíè 1 ãðàôà Wf , òî ñâÿçíàÿêîìïîíåíòà Wf \v(v 0 ) ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè îòîáðàæåíèè pf ◦ h ◦ p−1f , èïîòîìó ìåæäó v 0 è v 00 åñòü ïóòü, íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç v .  ïðîòèâíîìñëó÷àå Wf \v(v 0 ) ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì, è ïîòîìó â íåé íàéäåòñÿ âåðøèíàv 000 , îòëè÷íàÿ îò v 0 è ñìåæíàÿ òîëüêî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Wf \v(v 0 ) .Òîãäà v 000 ñìåæíà ñ âåðøèíîé v .
Öèêë, ñîñòîÿùèé èç ïóòè îò v 0 äî v 000ïî ñâÿçíîé êîìïîíåíòå Wf \v(v 0 ) è ðåáåð v 000 v è vv 0 , ïåðåõîäèò â ñåáÿ90ïðè îòîáðàæåíèè pf ◦ h ◦ p−1f . Ïîýòîìó ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà Wf \v(v )000ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè pf ◦ h ◦ p−1f , è ïîòîìó ìåæäó v è v åñòü ïóòü,íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç v .Ïðîñòîé ïóòü ìåæäó âåðøèíàìè v 0 è v 00 , íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç âåðøèíóv , âìåñòå ñ ðåáðàìè v 00 v è vv 0 îáðàçóåò ïðîñòîé öèêë.
 ñèëó h ∈T êàæäûé ïðîñòîé öèêë íà ãðàôå Wf ïåðåõîäèò ïðè îòîáðàæåíèèâ ñåáÿ ñ ñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó,pf ◦ h ◦ p−1f÷òî ðåáðî vv 0 ïðîñòîãî öèêëà ïåðåõîäèò â ðåáðî vv 00 , è âåðøèíà vïåðåõîäèò â ñåáÿ. Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû ãðàôà Wf ñîõðàíÿþòñÿîòîðáàæåíèåì pf ◦ h ◦ p−1f .
Åñëè íåêîòîðîå ðåáðî íå ñîõðàíÿåòñÿ ýòèìîòîáðàæåíèåì, òî îíî ïåðåõîäèò â ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå òó æå ïàðó âåðøèí.Òîãäà ðåáðî è åãî îáðàç îáðàçóþò öèêë, ïåðåõîäÿùèé ïðè îòîáðàæåíèèpf ◦ h ◦ p−1â ñåáÿ ñî ñìåíîé îðèåíòàöèè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò h ∈ T .fÒåïåðü ïîêàæåì, ÷òî äèôôåîìîðôèçì h ñîõðàíÿåò âñå âåðøèíûè ðåáðà ãðàôà Gf . Èç òîãî, ÷òî îòîáðàæåíèå pf ◦ h ◦ p−1ñîõðàíÿåòfâñå âåðøèíû ãðàôà Wf ñëåäóåò, ÷òî h ïåðåâîäèò êàæäóþ ñâÿçíóþêîìïîíåíòó ãðàôà Gf â ñåáÿ. Åñëè äèôôåîìîðôèçì h ïåðåâîäèò âñåáÿ íåêîòîðóþ âåðøèíó ãðàôà Gf , ò.å.
ñåäëîâóþ êðèòè÷åñêóþ òî÷êóôóíêöèè f , òî îí ëèáî ïåðåâîäèò âñå èíöèäåíòíûå åé ïîëóðåáðà â ñåáÿ,ëèáî ïåðåñòàâëÿåò êàæäîå ïîëóðåáðî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì åìó ïîëóðåáðîì.Çíà÷èò, åñëè äèôôåîìîðôèçì h ñîõðàíÿåò íåêîòîðîå îðèåíòèðîâàííîåðåáðî ãðàôà Gf , òî îí ñîõðàíÿåò âñå âåðøèíû è ðåáðà ñâÿçíîé êîìïîíåíòû.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàéäåòñÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà G0f ãðàôà Gf , âêîòîðîé äèôôåîìîðôèçì h ïåðåñòàâëÿåò âñå ðåáðà.
Ïîêàæåì, ÷òî âïîâåðõíîñòè M åñòü íåêîòîðàÿ îêðåñòíîñòü ýòîé êîìïîíåíòû, â êîòîðîéíåò íåïîäâèæíûõ òî÷åê äèôôåîìîðôèçìà h , îòëè÷íûõ îò âåðøèí ãðàôàGf . Çàôèêñèðóåì íà ïîâåðõíîñòè M íåêîòîðóþ ðèìàíîâó ìåòðèêó. Ïóñòü÷èñëî ε ìåíüøå âñåõ ðàññòîÿíèé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñâÿçíûìè êîìïîíåíòàìèãðàôà Gf è äëèí âñåõ ðåáåð ãðàôà Gf . Ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî ε0 < 3ε ,÷òî îáðàç ε0 -îêðåñòíîñòè Vj0 êàæäîé âåðøèíû yj ñâÿçíîé êîìïîíåíòûG0f ñîäåðæèòñÿ â 3ε -îêðåñòíîñòè Vk âåðøèíû yk = h(yj ) òîé æå êîìïîíåíòû.Åñëè âåðøèíà yj ñâÿçíîé êîìïîíåíòû G0f ïåðåõîäèò â ñåáÿ, òî h ïåðåñòàâëÿåòêàæäîå èíöèäåíòíîå åé ïîëóðåáðî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì åìó ïîëóðåáðîì,à ïîòîìó â Vj0 íåò íåïîäâèæíûõ òî÷åê, îòëè÷íûõ îò ñàìîé âåðøèíû yj .Åñëè âåðøèíà yj ïåðåõîäèò â äðóãóþ âåðøèíó yk , òî Vj0 íå ïåðåñåêàåòñÿñî ñâîèì îáðàçîì, ñîäåðæàùèìñÿ â Vk , à ïîòîìó â Vj0 íåò íåïîäâèæíûõòî÷åê.
Ðàññìîòðèì íà M íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ρ(x) := ρ(x, h(x)) : M →R , ñîïîñòàâëÿþùóþ êàæäîé òî÷êå ðàññòîÿíèå äî åå îáðàçà ïðè äåéñòâèèh . Íà ÷àñòè êàæäîãî ðåáðà yj1 yj2 ñâÿçíîé êîìïîíåíòû G0f âíå îêðåñòíîñòåéVj01 è Vj02 êîíöîâ ðåáðà ôóíêöèÿ ρ(x) ïîëîæèòåëüíà.
Ïîýòîìó ìîæíîâûáðàòü ÷èñëî ε00 , ÷òî íà ε00 -îêðåñòíîñòè òàêîé ÷àñòè êàæäîãî ðåáðàâ ïîâåðõíîñòè M ôóíêöèÿ ρ(x) áóäåò ïîëîæèòåëüíà, à ïîòîìó â ýòîéîêðåñòíîñòè íå áóäåò íåïîäâèæíûõ òî÷åê äèôôåîìîðôèçìà h . Âûáåðåì10òåïåðü ε000 , ÷òî ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà M 0 ïîâåðõíîñòè f −1 [f (G0f )−ε000 ; f (G0f )+ε000 ] , ñîäåðæàùàÿ G0f , ñîäåðæèòñÿ â îáúåäèíåíèè îêðåñòíîñòåé Vj0 âåðøèíè ε00 -îêðåñòíîñòåé ÷àñòåé ðåáåð, ëåæàùèõ âíå Vj0 .Îòîáðàæåíèå h|M 0 ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì ïîâåðõíîñòè M 0 èíå èìååò íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòëè÷íûõ îò âåðøèí ãðàôà Gf . ÏóñòüM̄ 0 ïîâåðõíîñòü, ïîëó÷åííàÿ èç M 0 ñòÿãèâàíèåì êàæäîé ãðàíè÷íîéîêðóæíîñòè â òî÷êó.
Ôóíêöèÿ f ïîñòîÿííà íà êàæäîé ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòèïîâåðõíîñòè M 0 , ïîýòîìó îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f¯: M̄ 0 → R , ñîâïàäàþùàÿñ f âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè M 0 . Òàê êàê h äåéñòâóåò òîæäåñòâåííîíà ãðàôå Ðèáà Wf , òî h|M 0 ïåðåâîäèò â ñåáÿ âñå ãðàíè÷íûå îêðóæíîñòèïîâåðõíîñòè M 0 . Ïîýòîìó îïðåäåëåí ãîìåîìîðôèçì h̄ ïîâåðõíîñòè M̄ 0â ñåáÿ, ñîõðàíÿþùèé ôóíêöèþ f¯ è ïåðåâîäÿùèé êàæäóþ òî÷êó ìèíèìóìàèëè ìàêñèìóìà ôóíêöèè f¯ â ñåáÿ. Ïî âûáîðó ïîâåðõíîñòè M 0 , ó ýòîãîãîìåîìîðôèçìà íåò íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòëè÷íûõ îò êðèòè÷åñêèõ òî÷åêôóíêöèè f¯ .Âû÷èñëèì èíäåêñû íåïîäâèæíûõ òî÷åê ãîìåîìîðôèçìà h̄ .
Ïóñòüx ∈ M̄ 0 òî÷êà ìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìà ôóíêöèè f¯ . Ðàññìîòðèì âíåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x ìåòðèêó è åâêëèäîâû êîîðäèíàòû, âêîòîðûõ íåêîòîðàÿ ëèíèþ óðîâíÿ ôóíêöèè f¯ ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ ñöåíòðîì â òî÷êå x . Äëÿ êàæäîé òî÷êè x0 ýòîé îêðóæíîñòè âåêòîð èçòî÷êè x0 â òî÷êó h̄(x0 ) ýòîé îêðóæíîñòè íå ìîæåò áûòü ñîíàïðàâëåí ñâåêòîðîì èç òî÷êè x â òî÷êó x0 . Ïîýòîìó ind x h̄ = 1 .Ïóñòü y ñåäëîâàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè f¯ .  êîîðäèíàòàõÌîðñà èìååì d2 f¯|y = (1, 0, 0, −1) .
Òàê êàê ãîìåîìîðôèçì h̄ ñîõðàíÿåò∗2 ¯| = d2 f¯| . Ïóñòü â êîîðäèíàòàõ Ìîðñà dh̄| =¯ôóíêöèþyy¶yµ¶ f , òî h̄ |y d f µµ¶ µ¶acbd1a2 − b20ac − bd1 0=: A . Òîãäà AAT ==0 −1ac − bd c2 − d20 −1µ¶ch χ sh χîòêóäà A = ±. Òàê êàê h̄ ïåðåñòàâëÿåò èíöèäåíòíûåsh χ,ch χâåðøèíå y ïîëóðåáðà ãðàôà µGf , òî ó dh̄|¶y îáà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿch χ sh χîòðèöàòåëüíû, îòêóäà A = −.
Çíà÷èòsh χµind y h̄ = sgn det(A−E) = sgn detch χ− ch χ − 1− sh χ− sh χ− ch χ − 1¶= sgn (2+2 ch χ) = 1.Ñëåäîâàòåëüíî êîëè÷åñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê ãîìåîìîðôèçìà h̄ ðàâíÿåòñÿñóììåèíäåêñîâ íåïîäâèæíûõ òî÷åê, è ïî òåîðåìå Ëåôøèöà ðàâíÿåòñÿP2k tr h̄ , ãäå h̄ : H (M̄ 0 ; R) → H (M̄ 0 ; R) èíäóöèðîâàííûé(−1)kkkkk=0ãîìåîìîðôèçìîì h̄ ãîìîìîðôèçì ãîìîëîãèé.  ñèëó h̄0 = id èìååìtr h̄0 = 1 .
Òàê êàê h̄ ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíÿþùèì îðèåíòàöèþ ãîìåîìîðôèçìîì,òî h̄2 = 1 . Ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ñþðúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå µ : M →M̄ 0 , ÷òî µ◦h = h̄◦µ , ïðè÷åì h ∈ T , ïîýòîìó h̄ ëåæèò â ãðóïïå Òîðåëëè11äëÿ M̄ 0 . Çíà÷èò, tr h̄1 = dim H1 (M̄ 0 ; R) . Ïîëó÷àåì, ÷òîX0 ≤ |Fix h̄| =ind x h̄ = χ(M̄ 0 ) = 2 − 2g 0 .x∈Fix h̄Åñëè g 0 = 0 , òî M̄ 0 ñôåðà, è ó ãîìåîìîðôèçìà h̄ ðîâíî äâå íåïîäâèæíûåòî÷êè.
Òàê êàê h̄ ñîõðàíÿåò âñå òî÷êè ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà ôóíêöèèf¯ , òî ó ôóíêöèè f¯ íà ñôåðå ðîâíî îäèí ìàêñèìóì è ðîâíî îäèí ìèíèìóì,à çíà÷èò íåò ñåäëîâûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðóïîâåðõíîñòè M 0 . Åñëè g 0 = 1 , òî ó ãîìåîìîðôèçìà h̄ íåò íåïîäâèæíûõêðèòè÷åñêèõ òî÷åê, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñîõðàíåíèþ ãîìåîìîðôèçìîì hâñåõ òî÷åê ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà ôóíêöèè f¯ . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èåïîêàçûâàåò, ÷òî äèôôåîìîðôèçì h ñîõðàíÿåò âñå âåðøèíû è ðåáðàãðàôà Gf .Òåïåðü ïîêàæåì ãîìîòîïíîñòü äèôôåîìîðôèçìà h â ïðîñòðàíñòâåãîìåîìîðôèçìîâ, ñîõðàíÿþùèõ ôóíêöèþ f , ýëåìåíòó ðåøåòêè < hγ1 , . . .
, hγ1 > .Áóäåì ñòðîèòü ãîìîòîïèþ îòäåëüíî â êàæäîì äèñêå Qj , ÿâëÿþùèìñÿêîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè òî÷êè wj ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìàâ ìíîæåñòâå M \Gf , ïîëóîòêðûòîì öèëèíäðå Q̂j , ÿâëÿþùåìñÿ êîìïîíåíòîéñâÿçíîñòè ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè δj ⊂ ∂M â ìíîæåñòâå M \ Gf , èêàæäîì öèëèíäðå Z` , ÿâëÿþùåìñÿ êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâàìíîæåñòâà M \Gf .  öèëèíäðå Z` âûáåðåì ïóòü γ èç ñåäëîâîé òî÷êè íàíèæíåì îñíîâàíèè öèëèíäðà â ñåäëîâóþ òî÷êó íà âåðõíåì îñíîâàíèè,âäîëü êîòîðîãî ôóíêöèÿ f ìîíîòîííà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
