1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 75
Текст из файла (страница 75)
2ео .2ео 4лл, — л, = ! ††, — и, = г — , х, = — ' ',, и — постоянная тонкой структуры, о„ о, — начальная и конечная скорости электрон!но Поскольку о, >о„! л, (( ) л, ~. Формула (34.74) довольно слоокна и малопригодна для численньо расчетов, поэтому обычно используоот одно из двух асимптотическнх Выражений для (34.74), соответствуоощих большим и малым значениям ) л, ( и (л, (. Ниже мы рассмотрим оба эти случая '). Малыг значения (л,( и )л,~ соответствуют большим скоростям электронов для которых применимо борновское приближение. В этом приблнокснии в 4оорооулах (34.34), (34.35) можно зал!спить функции ф,+,, з!'„ плоскнлон волналои, после чего вычисления проводятся сравнительпс просто. Г>орновские формулы можно получить также из точной фор лоулы (34 74) в результате разложения по степеням (л, 1, )л, (.
Для больших значений (л,(, (л,( справедливо кваззокласс1оческо! приближение. ') См. [Б. С.), 4 74, где обсуждается этот вопрос н приво оятся ссьюю на оригинальную литературу. ') См., например, М. К 1 е ! и, К. В г н с !с и е г, Рпуа. Рет 111, !115, !958 к. В г ее и, 7. Р!апе!. Брасе 5сь 2, !О, 1959. ') Прн этом мы используем рял реэультатов работы: В. В. Б а оп коа Сборник «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакцей Иаа. АН СССР, т. 2, 1958. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 447 6 341 Пусть (л, (((1, ~ п, ~ ((1.
В этом случае разложение функции — ' Е(х,) ~' по степеням ~ л,), ! п,( дает Х ь — -,134.75) где Е, — начальная энергия электрона ззю = Е, — Е, и с =-1+ а,' и, ('-ц -) Ь)л,(' — поправочный множитель порядка единицы. Козффицнеитзо лго а, Ь, вообще говоря, ззвисят от отношения —. Эта зависимость, Е, ' однако, настолько слабая, что ею можно пренебречь и положить для Е, 1О всего частотного интервала О(со( — ' а= —,, Ь=4,4. Аргумент Т' логарифма в (34.75) можно выразить также через импульсы электрона Р, зз Р, [34.
76) Если выполняется более сильное условие 2и~ и,((~1, 2л~л, ((с1, то из (34.75) следует простая формула борновского приближения т(о= — а а»(п, ~ 1п — "' ° — =- —,— а а»Л ( — ) 1п ' ' — ' — '. (34.77) 16 з»» з Р»+Рз оы 16, „,! й !з Р»+Рзйо При приближении к низкочастотной границе со =О величина »та 1 2р, 2Р» от — сот — 1п ', т. е, при р, р, стремится к сю как 1п — '-, Изо р» Р» Р» » ' Р,— Р Вблизи высокочастотной границы р,— О »!со Е, формула (34.77) неприменима, так как условие ~ и, ~ (< 1 в этом случае не выполняется. Оказывается возможным, однако, полу зить из (34.74) приближенное выражение, справедливое при ~ и, (((! и (л, ~ — - о.
Это выражение имеет вид ао Следовательззо, при р О со — стремится к конечному пределу. з »тзо Прп 2тт ~~и, ((1 формула (34.78) переходит в 64и з, ~ з»йо 64»з з, з / 3 '»'»йо ззп= — 'сз'аз(п (' — = — а'а'й' ( — ) —. (34.79) Как было показано Эльвертом '), при ) л, ~((1 н любых ') Сз. Е 1зт е г 1, Апп. Р)зузйг 34, 176, 1939. 448 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ ГХ значениях ~п,~ с достаточно хорошей точностью выражение (34,74) можно аппроксимировать формулой !6 ...[л,[! — е "'"'! р,+р,лм которая отличается от борновского приближения множителем [л,[! — е (34. 81) Е [ [ ! Е-е-..! л,! е[о==аае[п,[ Х 16л е 3 т' 3 Для малых частот лю((Е, [п, [ с[о = — а'а',)и, [='ейп ~[п,( — 1п (34. 83) где 1пу равняется постоянной Эйлера с=0,377 н у 1,78.
лм лм ! В области совсем низких частот — 1п — [п,[ (< имеет место Е, Е, ' [л1[ простое выражение с[о = — се'а'; [ п, )' 1п (34. 84) При 2и[ и, [((1, 2п ! и, [((! понравочный множитель Эльверта уз= 1 и (34.80) совпадают с борновской формулой (34.77). Прн 2й[п,[((1, но )п,[ — оо (р, 0), т. е. вблизи высокочастотной границы, у — 2и[п,[. Одновременно 1пр' Р' 2Р'=2~ — "1~. сле- Р— Ре Р1 !ле довательно, 7'Е1п Р' '- 4и[п, [ и формула Эльверта (34.80) дает Р1 Ре тот же результат, что и формулы (34.78), (34.79).
Рассмотрим теперь, какой вид принимает выражение (34.74) при малых скоростях электронов [ и, ( >) 1 (при этом, поскольку ) и, ) )) [ п, ), одновременно выполняется условие ~ и, [)) 1). Фм Для †)) — , т. е. практически для всего чзстотного интер- Е, [л,[' вала 0 ( ю ( — за исключением небольшой области вблизи низко- Е, 8' частотной границы ге=О справедливо следующее приближение: э 34) НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 449 Бели в выражении (34.82) пренебречь вторым членом в фигурных скобках, то получим формулу Крамерса') г)п= а аз)л,~ —.
)бл,, ьав ЗугЗ ' ы Из сказанного выше слелует, что эта формула справедлива при Ьв 1 условии — >) — (в дополнение к общему условию квазиклассич- Е, !л»! ности (л, ()) 1). Область, непосредственно нрииыкающая к низкочастотной границе, описывается формулой (34.84). Эффективное сечение тормозного поглощения также часто записывают в виде формулы Крамерса, умноженной на поправочный множитель — фактор Гаунта д.
Эффективное сечение радиационного перехода Е, ю — Е', обратного только что рассмотренному, можно найти, воспользовавшись соотношением (34. 42): Е и ~ 4ое' еьз пе е (34. 86) Здесь Š— начальная энергия электрона, Е' — конечная, гв — частота поглощаемого излучения.
Согласно (34.85) эффективное сечение тормозного поглощения можно записать в аиде 16»гзс» з з !бпзй»еь и= сх'а,'(л('д= д, 3 Рг 3 ыз ' 3 ТГ Зо)зсЬл»о» (34.87) тле о в начальная скорость электрона, а †факт Гаунта. Подставляя это выражение в формулу для коэффициента поглощения lг„= )!),)ьз! (оп), получим !бпз3»еь 4» ( — ) ))7,.М,. (34.88) В приближении Крамерса (д'= 1) и при максвелловском распределе- 1 /Зги Т» нии электронов по скоростям ((о ) = ( — ) ) из этой формулы ( плт) с учетом поправки на вынужденное излучение следует 16 У 2 и'е'3')У;Мз ( - — т) ЗУ Зсй Нз(вт)п*ы' ' (34.
89) Интенсивность тормозного излучения !)(ю)да= — "г)ш можно найти вы 4п з воспользовавшись соотношением (34.54). 15 и. и. совелвиав ') Вывод формул (34.84), (34.86) в рамках классической электродинамики см. Л. Л а н д а у, Е.
Л и ф ш и и, Теория поля, Физматгиз, 1960. 450 взаимодействия атома с элвктгомхгнитным полки (гл. их Вернемся к выражению (34.67) для коэффициента фотоионизационного поглощения и предположим, что число атомов М (в общем случае водородоподобных ионов) связано с концентрацией ионов И, и с концентрацией электронов И, формулой Саха (30.85). В этой формуле в данном случае дк 3 =2 ~~Р~ и'е е Выразив М через М,М, и подставляя в (34.67), получим е итзч г рте э ! еюьг~ ( ! — е ьг) (34.90) ш ЗР'Зей е (йт)*м* Это выражение отличается от (34.89) лишь множителем, заключенным в квадратные скобки, что позволяет объединить (34.89), (34.90) и ввести суммарный коэффициент поглощения, учитывающий и переходы с уровней дискретного спектра в непрерывный спектр, и переходы между состояниями непрерывного спектра: е !6г' 2н'е~ЛУМ, !2йуе' ч~ !,ьт + 1 3)ТЗейтн*(еТ)П'ы' ~ 'еТ н* п=е, Ьо1 х (! — е ьг) (34 91) Если суммирование по уровням и > и заменить интегрированием, то 5 3 У 3 сйш ' (ЛТ) ' ы* х ), 1 — е ьт) (34 92) чо „вЂ” е/'(и) гЬ.
Я(ы] =И,И; 6ы С помощью (34.50), (34.54) можно найти также суммарную ин|енсивность излучения Я(ю)ны. Йля ряда приложений представляет интерес полная (проинтегрнрованная по всему спектру) интенсивность тормозного излучения Я'. Предположим, что распределение по скоростям являешься максвелловским, и воспользуемся приближением Крамерса. В этом случае Я(ы)йо можно найти или с помощью (34.89), (34. 54), или непосредственно из общей формулы (34.48), которая в данном случае принимает внд О 451 9 34) непРеРывный спектР После интегрирования по г)о 1 Ь» Ц(го) сйо = .а»а,'2» — ( — ) 1»',Н;е ет гйо.
(34 93) При вычислении Я' можно пренебречь логарифмическим возрзстанием с(о в малой области около низкочастотной границы и распространить формулу Крамерса на весь интервал частот. В этом приближении 1Р = Я(го) с(ю = = аа»2'Ку 1»' 1ч'. — . (3494) 32л 1 1 /2ЕТ'г е Если измерять Т в электронвольтах, то Я' =1,54 1О "Р),1чг2'Т» эре)слг' сек. (34.95) Интересно отметить,что вычисление (;Р в борновском приближении дает выражение, отличающееся от (34.95) лишь множителем — = 1,1. 21'3 Формулы этого раздела, полученные для тормозных процессов в кулоновском поле, можно использовать для приближенных оценок эффективных сечений тормозных переходов в поле неводородоподобных ионов.
В этом случае основную роль играет область больших расстояний, в которой поле близко к кулоновскому. Ошибки, связанные с отличием поля от кулоновского на малых расстояниях, невелики. В случае тормозных переходов в поле нейтрального атома ситуация значительно хуже. Основной трудностью является вычисление функций непрерывного спектра. Как будет показано ниже, эта задача тесно связана с задачей об упругом рассеянии электронов на атоме.
Поэтому основные особенности приближенных вычислений эффективных сечений таких переходов будут обсуждаться в разделе 8 $ 44. ГЛАВА Х УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ ) й 35. Радиационное и допплеровское уширения 1. Радиационное уширение спектральных линий. Свободные колебания излучающей системы обязательно должны быть затухающими, так как излучая система теряет энергию. Но затухающее колебание не является монохроматическим, а содержит целый набор частот. Таким образом радиационное затухание, присущее каждой излучающей системе, приводит к уширению спектральных линий.
В рамках классической электродинамики распределение интенсивности в спектре излучения осциллятора частоты ш, описывается так называемой дисперсионной формулой 2 « (35.1] (ю — ю,)'1-( у ~) Величина у носит название константы радиационного затухания. этой величиной определяется потеря энергии на излучение Ф« =Ф',е-тг. Согласно (35.1) максимум интенсивности ') соответствует частоте ш,. На расстоянии 1оз — ю,~ = — от ш, интенсивность равна = у 1 — г(ю ), Поэтому константу затухания т называют также радиа- 2 « ' ') Обсуждение теоретических и экспериментальных работ, посвященных уширению спектральных линий, содержится в обзорах: В.
В е й с к о п ф, УФН 13, 596, 1933; Н. Ма где па н, 'ч!. %а !зон, кеч. Мод. РЬуз. 8, 22, 1936; А. У из о л ь д, Сборник статей «Современные проблемы астрофизики и физики солнцаь, ИЛ, 1951, стр. 7; И. И. С обе л ьма и, УФН 54, 552, 1954; к. В геене, кеч. Моб. РЬуз. 29, 94, 1957; 5. С 5еп, М. Та )« ео, кеч. Мог(. РЬУз. 29, 20, 1957 (РУсский пеРевод: УФН 66, 391, 1958); Н. Магяеп, М. 1.ечг ! з, «еч. Мой. РЬуз. 31, 56, 1959, "О. Тга ч ! про ОЬег д!е ТЬеог!е бег Огнс1«чегЬгецегнпй чоп 5ре)г!га!!!п!ел, Каг!агапе, 1960. ') Вообще говоря, затухание приводит также к небольшому смещению у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
