1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Наряду с исходной схемой построим локально-одномерную схему. Введем промежуточные слои и на каждом слое в правой части (68) вместо,У',Ла возьмем рЛ„; в левой части поставим а шаг т/р. Обозначим решение на промежуточных шагах через ш„ (я=1, 2, ..., р).
Тогда функции ша будут удовлетворять разно- каждом слое составим схему типа (59), неявную по одному направлению и явную по остальным. Во-первых, такая схема несимметрична и имеет аппроксимацию лишь 0(т). Во-вторых, она оказывается условно устойчивой при Йт(л' и, тем самым, неэкономичной. Экономичные многомерные разностные схемы можно строить локально-одномерным методом, также используя промежуточные слои. Эти схемы имеют лишь суммарную аппроксимацию. На промежуточных слоях они вообще не аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение; но погрешности аппроксимации промежуточных слоев при суммировании гасят друг друга так, что на целом слое аппроксимация есть.
При этом разностное решение следует сравнивать с точным только на целых слоях, не придавая промежуточным слоям самостоятельного смысла. Рассмотрим многомерное параболическое уравнение (66); для простоты ограничимся случаем анизотропной теплопроводности с постоянными коэффициентами: ~ГЛ. Х! ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ стным уравнениям и начальным условиям следующего вида: —, (ш, — гэ,) = — Л„(ш, + ш,), я = 1, 2,..., р; (69а) гэл = р ша — ыл аза -- еуа ыр = шо-л и = щР. (696) Поскольку Л,— одномерные операторы, то каждая ша является решением одномерной разностной схемы; поэтому схему (69) называют локально-одномерной. Исследуем ее. Устойчивость. Каждое уравнение (69а) является одномерной неявной симметричной схемой типа схемы (6) прн и='!,.
Последняя схема безусловно устойчива, так что ошибка начальных данных не возрастает нн на одном промежуточном слое. Следовательно, схема (69) также безусловно устойчива и позволяет вести расчет с шагом т и. В ы ч и с л е н и е разностного решения несложно. Каждое уравнение (69а) решается одномерной прогонкой. По тем же причйнам, что и в случае схемы (6), прогонка устойчива, а разностное решение у существует и единственно. Для нахождения решения на новом целом слое надо выполнить прогонки по всем р направлениям.
Это требует 10р действий на каждую точку сетки независимо от величин шагов йа. Таким образом, локально-одномерная схема экономична. Ап про к с им ацию исследуем, сравнивая схему (69) с исходной. Для этого перепишем (69) в следующем виде: ( Š— 2 ТЛа) ша =(Е + — тЛа) ша~ ша = ша — т (70) ОпеРатоРы Аа попаРно пеРестановочны; опеРатОРы Ла полУчаютсЯ тоже попарно перестановочными. Последовательно применяя (70) н используя перестановочносгь операторов, нетрудно установить следующее равенство: (11(л — —,',л.)~',-~Й(лл —,' л+ Раскроем произведения операторов и положим ш, =у, гэр —— у.
Пренебрегая членами высокого порядка по т, получим запись схемы (69): е — Ал, л — ' А' л,л~ '-Оа~~уа а. Б - (л + — 7 л, -~- ~ л л л о ~ ~) д, а а, а МНОГОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ или о т (у — ь) = е,,~~~ Ла (9+ь) 4,,~~~ ЛаЛВ(э' — д)+0(т ). (71) а= ! а,а На решениях с непрерывными пятыми производными двойная сумма в (71) есть 0(т'), поэтому (71) отличается от исходной схемы только членами 0 (т').
Но погрешность аппроксимации исходной схемы равна о ( -! Р.а) Следовательно, погрешность аппроксимации симметричной локально-одномерной схемы (69) на целых слоях есть Заметим, что для получения погрешности аппроксимации 0 (т') в граничных условиях надо к естественным граничным условиям добавлять поправки типа (64б). Сходимость схемы (69), как следует из сказанного выше, является безусловной с погрешностью 0(т' + У', л„'-*[.
а Замечание. В некоторых случаях расщепление многомерной задачи на последовательность одномерных бывает точным. Например, многомерный перенос по характеристике точно эквивалентен последовательности одномерных переносов по проекциям этой характеристики на координатные плоскости. Остановимся на некоторых усложнениях задачи (67). Переменные коэффициенты а„(х, !) приводят к тому, что операторы Аа становятся неперестановочными и ˄— тоже. В этом случае погрешность аппроксимации схемы (69) возрастает до 0[т+ Я Щ). Поэтому для уравнения а А и+7(х г) А и а [л (т Г) а 1 (72) а=.
! нередко ограничиваются чисто неявной локально-одномерной схемой 1 (н!а и!а) = Лан!а+ <ра~ а ! с естественными граничными условиями [й!, — Р (х, Г )т = О; (73б) 398 !гл. х! ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ здесь операторы Л, построены по образцу одномерной наилучшей схемы (34). Схема (73) безусловно устойчива и имеет точность О (т+ ~ч' М) в норме !! !1,. Для уравнения (72) можно добиться точности О(т'), строя симметричный по времени алгоритм.
Введем полуцелый слой 1 и перейдем на него по симметричнои локально-одномерной схеме (69) в прямом порядке И=1,2,...,р. Переход с полуцелого на новый слой г совершим по той же схеме, но в обратном порядке а =р, р — 1, ..., 1. При этом в естественные краевые условия надо вносить поправки, аналогичные (64б). Квазилинейное уравнение с й,(», г, и). Чисто неявная локально-одномерная схема (?3) естественно обобщается на этот случай. Аналогично З 1, п.
8, можно на промежуточном слое либо полагать ха = =- Иа(», 1, Ша) И ОбксдИтЬСя ОдНОКратНОй ПрО- гонкой по данному направлению, либо полаГатъ Наг Иа(», 1, Юа) И рсшатЬ ОДНОМЕРнуЮ схему (?За) прогонкой с итерациями. Произвольная область О(») с криволинейной границей.
Покроем эту область прямоугольной сеткой, равномерной по каждой переменной (двумерный случай' изображен на рис, 84). Точки пересечения линий сетки с границей также возьмем в качестве узлов сетки и запишем в них естественное разностное краевое условие (73б). Во внутренних узлах аппроксимируем дифференциальное уравнение (72) чисто неявной локально-одномерной схемой (73а). Пусть граничные значения р(», 1) и коэффициенты уравнения (72) достаточно гладки, так что точное решение и(», 1) непрерывно вместе со своими четвертыми производными всюду в О(»), включая границу области. Тогда построенная указанным образом схема безусловно устойчива и равномерно сходится с точностью О,~т+ ~~6'„) а (доказательство см. в 1301).
В областях специальной формы — сфере или цилиндре — удобнее пользоваться не декартовыми координатами, а соответствующими криволинейными. Это позволяет получить более хорошую аппроксимацию вблизи границы и повышает фактическую точность расчета. Но при этом есть тонкости в аппроксимации вблизи центра или оси, на которых мы не останавливаемся. ЗАДАЧИ 4. Метод Монте-Карло. Этот метод можно применять к задачам, которые обычно формулируют в терминах уравнений с частными производными. Рассмотрим его на несложном примере, Пусть частицы блуждают по узлам двумерной пространственной сетки (рис.
84) так, что за один шаг по времени частица может перейти с вероятностью 1/4 в любой из четырех соседних узлов. Тогда, если на данном шаге в узле есть у„„частиц, то на следующем шаге все они уйдут в соседние узлы. Но зато из каждого соседнего узла примерно четверть бывших там частиц придет в этот узел, так что 1 Уам — 4 (Ул41, и+ Уа-1 ам+ Ую т41+ Уа, т-1) * Вычитая из обеих частей у„, запишем ! Уам — Улю = 4 [(Уа41,м — 2уам+Ул ь т)+ + (уа, — 2У„+ у„)1. (74) Уравнение (74) совпадает с явным вариантом разностной схемы (бб) для уравнения теплопроводности, если в этой схеме положить о=О и выбрать шаги специальным образом; 4йт = Ь1[ = лт.
Поэтому вместо решения разностных уравнений можно разыграть случайный процесс. Поместим в каждый узел сетки число частиц, пропорциональное начальному значению у,',„На каждом шаге для каждой частицы будем разыгрывать переход в один из соседних узлов. Перераспределение частиц будет соответствовать изменению решения со временем. Вопрос о границе и условиях на ней довольно сложен и здесь не рассматривается. В обычных задачах теплопроводности этот метод гораздо менее точен, чем локально-одномерные методы.
Но в очень сложных задачах, где число измерений велико и написать разностную схему трудно, метод Монте-Карло может оказаться более простым и быстрым способом решения. ЗАДАЧИ 1. Найти неннзку схемы (6) с несом и правой частью (11). 2. Найти невнзку схемы (6) с весом (11) и правой. частью (12). 3. Записать схему (6) на неравномерной сетке и найти ее погрешность локальной аппроксимации: а) на произвольной неравномерной сетке, б) иа квазиравномерной сетке. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
