1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Следовательно, при ()О температура в каждой точке х зависит от начальных данных во всех точках $ бесконечной прямой, сколь угодно удаленных от х. Поэтому говорят, что в случае линейной теплопроводности скорость распространения тепла и область влияния бесконечны. Строго говоря, параболическое уравнение лишь приближенно описывает процесс теплопроводности. На самом деле скорость распространения тепла конечна и не превышает (при молекулярной или электронной теплопроводиости) тепловой скорости частиц. Влияние же удаленных точек, как видно из выражения для функции Грина (5), ослабевает очень быстро; отрезку времени В1 соответствует характерная зона влияния Ьх )/ААЛЕ.
Эти-соображения надо учитывать при построении разностных схем, поскольку, как отмечалось в главе Х, правильный учет зоны влияния необходим для устойчивости схемы. 2. Семейство неявных схем. Рассмотрим простейшие, но хорошие разностные схемы для уравнения теплопроводности (1) ') Вывод втой формулы см., нэпрвмср, в [401. 370 !Гл. Х! ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ с постоянным коэффициентом: и,=)силл+), 0<х(а, 0(((Т (lг=соп51)0).
Возьмем в области 6=[О~х(а~х[0.=((71 прямоугольную сетку (рис. 76), для простоты равномерную, с шагами Ь и т. Выберем шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке жирными линиями, и составим на нем следующую двуслойную схему: ! г" 1 А22 " " " А(! — О) (Ул Ул) = Ал (Ул. 1 2Ул+ Улл1) + Ал (Ул-1 2Ул+ Ул.-1) + 2Рл~ 1 (и."~М вЂ” 1 (о=соп51). (ба) Здесь записано меньше уравнений, чем имеется неизвестных ул.
Недостающие два уравнения находим из краевых условий; например, краевые условия первого рода (2) дают соотношения (бб) Уо = р1 (г лл1) УА' = р2 (1 лы) В качестве правой части ср„часто выбирают значение <р„= 7 (х„г' +т/2). Схема (6а, б) содержит параметр а; он является весовым множителем при Рис. 76, пространственной производной с верхнего слоя.
Поэтому (ба, б) есть одно- параметрическое семейство схем. Меняя вес о, можно добиться улучшения тех или иных свойств схемы. Исследуем схему (ба, б). Существование р е шеи и я и его вычисление. Если а = О, то схема (6). переходит в рассмотренную ранее явную схему (9.18). Разностное решение при этом легко вычисляется, его существование и единственность очевидны. Если ОФО, то схема (6) существенно неявна.
Перепишем ее в следующем виде: Ул-1 — (2+ у,.„,) У" л+ Ул21 =(2 <, — ~„) Ул— —:(у„,+у,,) — — <р„, 1.=п~)у — 1; (7) ул р1(~+т)э уь' р2 ( + т)' На каждом слое уравнения (7) образуют линейную систему С НЕИЗВЕСТНЫМИ Ул, 0(П~ 12'. СИСтЕМа (7) ИМЕЕТ тРЕХДИаГОНаЛЬ- ную матрицу и решается методом прогонки. При а)0 решение существует и единственно, а прогонка устойчива, ибо диагональный член матрицы (7) преобладает: его модуль больше суммы модулей недиагональных членов.
321 4 !1 ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Таким образом, при а ~ О решение разностной схемы (б) существует и единственно при любых ограниченных начальных и краевых данных и правой части. Это решение легко вычисляется, причем за небольшое число действий. 3 ам еч ание 1. При а — — 1 схема(6) использует тотько четыре точки шаблона и называется чисто неявной. При а=1/2 схему называют схемой с полусуммой или симметричной (имеется в виду симметрия по времени, ибо схема (б) симметрична по пространству при любом а). Аппроксимация. Разложим решение в узлах шаблона рис.
76 по формуле Тейлора, выбирая за центр разложения точку (х„, !+т/2) *). Тогда получим 1/т д д)р т з'з р1!,2 д + дт) + 2 "+ "+ р =-о Ьз тз га + 8 ии+ 2 им+ 2 и~~+ —,!8 ит+ 8 имя+ таз Ьз гз тза + 4 им+ б """+ 384 нгг+ 48 нгз+ тзаз таз Ьз + 18 '" + !2 "" "+ 24 и"""з+" ' (8) где все производные отнесены к центру разложения. Разложение для й„, получается из (8) изменением знака Ь, разложение для 脄— изменением знака т; для определения й„надо в (8) положить Ь=О и т. д.
Подставляя эти разложения в выражение невязки схемы (ба), получим ф„= (и, — Ь脄— /)'„'„~ — — (й„— и,) + з + — „, (й„,— 2й„+йз,!)+ — „, (и,,— 2и„+и„е,)+ср„= /го . А (1 — о) 1! тз/ 1 = Ьт (а — — ) игра+ — — ! Ьинзз — — ин!) + 2/ 8), 3 д!зз + —, и„„„+ ср„— /„+ о (т'+ Ь'). (9) *) Для обозначения середины временного шага будем часто употреблять запись Л (х, 1-1- т/2) =Г (х).
Отсюда видно, что если положить !р„ /„= / (х„, !+ т/2), то при а~т/а схема (6) имеет аппроксимацию 0(т+Ь'); симметричная схема с а='/, имеет более хорошую аппроксимацию О (т'+ Ь'). 372 !Гл. х! ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Надо проверить аппроксимацию не только уравнения, но и начальных и краевых условий. Начальное условие (1б) и краевые условия первого рода (2) мы аппроксимировали точно, положив рп= — р(хп)~ ра =рг(йп) й',у=рп((~). Аппроксимация краеВых условий второго или третьего рода уже не была бы точной, а содержала бы некоторую погрешность, как это отмечалось в главе 1Х. Замечание 2.
Для й=сопз( за счет специального выбора веса и правой части можно построить схемы повышенной точности. Для решения и(х, () дифференциального уравнения (1а) справедливо соотношение Зп Пс»» = —., П4 = ЛП~~~~+ Ах». Подставляя его в (9), преобразуем невязку: э = а ("" - — -з4 а )+)т" (Π— е)+ 1е1"-+ -1- ~йт(7Π— — ) ~хх+4Рп 44»1+ О (т +744), (10) Если положить 1 Ах 7- Ах— 4Рп 14 + д 4»х (11) то абе квадратные скобки в (1О) обратятся в нуль и погрешность аппроксимации схемы (6), (11) будет равной О(тп)+О(Ь4).
Удерживая в формуле Тейлора (8) большее число членов, можно показать, что невязка (1О) прн этом равна АР„=О (тп+О4). 3 а м е ч а н и е 3. Можно заменить 7"„„в (1! ) второй пространственной разностью, получая следующее выражение для правой части: 1 - 5 — 1- 4Рп = уй)п 4+ --~4+ 12(»4з (12) Этот вариант схемы повышенной точности имеет аппроксимацию также О (т'+й').
3амеча ние 4. Приведенные оценки аппроксимации справедливы, если непрерывны те производные решения и (х, 7), которые входят в выражение главного члена невязки. У с т о й ч и в о с т ь. Исследуем устойчивость по начальным данным методом разделения переменных. Поскольку схема (б) линейна, то для этого достаточно положить в ней 94„=0 и сделать стандартную подстановку у„= ехр (4пдх„lа), уп = рт х хехр(4пдх,/а).
Тогда легко получить множитель роста гармонйки р, = ~1 — —, (1 — О) юп' — '~ /(1+ — О юп' — "). (13) 373 ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 аа о) — — —. 2 4йт ' (14) Последнее неравенство является условием равномерной устойчивости схемы (6) по начальным данным (в ) ~,:г,). Примененный здесь простейший вариант метода резделения переменных не является строгим. Однако для схемы на равномерной сетке (6) нетрудно проверить, что функции оч (хд)=агп (Яяхд/л), 1 ~ г) ~)У 1 хгг=ла, являются собственными функциями разностной задачи Штурма — Лнувилля для (б).
Соотвегствующгге им собственные значения имеют вид (13), причем д ~ Аà — 1. При нх помощи можно получить строгое необходимое н достаточное условие устойчивости, практически не отличающееся от (14). Дополнительное условие устойчивости по правой части (9.54), как легко видеть из (6), выполняется при любых т и Ь. Следовательно, схема устойчива по правой части, если выполнено условие (14) равномерной устойчивости по начальным данным. Для чисто неявной схемы, симметричной схемы и схемы повышенной точности условие (14) выполняется при любом соотношении шагов т и /1; таким образом, эти схемы безусловно устойчивы. Для явной схемы условие (14) выполняется только при т="/та/(2/г), т. е. схема условно устойчива, что мы уже установили в главе 1Х.
3 а м е ч а н и е 5. Справедливо более сильное утверждение: все эти схемы устойчивы в!; ~„. В общем случае для доказательства этого утверждения приходится применять более сложную технику. Однако из принципа максимума нетрудно получить достаточное условие устойчивости в норме ,,'! ~~: (16) Оно более жестко, чем условие (14), но в случае явной и чисто неявной схем из него следует сделанное выше утверждение. Сходимость. Из сказанного выше следует, что на решениях и(х, 1), имеющих достаточное число непрерывных производных, семейство схем (6) с весом О~а =1 обеспечивает равномерную сходимость при выполнении условия устойчивости (14).
Для схем с о~'/, погрешность (~у — и1,=0(т+/та), т. е. схемы имеют первый порядок точности по времени и второй— по пространству. Для симметричной схемы (о = '/,) погрешность равна 0(с'+ля), т. е. порядок точности по обеим переменным Он вещественный, причем при любом а ) 0 справедливо неравен- ство рч ~ 1. Следовательно, схема (6) устойчива, если при любом г/ выполйяется условие — 1 =. рч. Нетрудно проверить, что это спра- ведливо при 374 1гл.
хз ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ второй. Схема повышенной точности с весом (11) и соответственно выбранной <р„имеет погрешность 0(т'+й"), Замеч ание 6. Поскольку схема (6) двуслойная, то оиа без изменения переносится на неравномерную сетку по 1 (разумеется, при шаге по времени т надо ставить его индекс). На неравномерную сетку по х эта схема легко обобщается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
