1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Прн каком соотношении шагов т и й будет асимптотически устойчива схема повышенной точности (6) с весом (11)? 6. Исследовать аппроксимацию схемы Ричардсона (26). 6. Доказать безусловную устойчивость схемы Дюфорта — Франкела (28). ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ, Х! 7. Исследовать аппроксимацию схемы Дюфорта — Франкела (28).
8. Доказать безусловную устойчивость схемы (29). 9. Найти невязки схем (29а) и (296) и определить суммарную невязку схемы (29). 1О. Для уравнения из=до„„построить схему на шаблоне рис. 85 и дока. зать, что она устойчива при 2йт-"-Ае. Рис. 85 11. Доказать, что наилучшая схема (34) монотонна при выполнении условия (42). 12. Исследовать устойчивость схемы (46) для параболического уравнения в криво линейных координатах, 18. Исследовать аппроксимацию схемы (56) для двумерного уравнения (55).
14. Доказать, что двумерная схема (56) устойчива при выполнении услови я' (58) . 16. Разобрать структуру матрицы линейной системы (56). )(ак изменится зта структура при обобщении схемы (56) на случай трех измеренийг ГЛАВА Х!1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Глава Х!1 посвящена методам решения краевых задач для эллиптических уравнения. В З 1 решение таких задач сводится к решению эволюционных задач для параболических уравнений до выхода на стационарный режим; последнее выполняется при помощи многомерных разносгных схем, изложен. ных в гл. Х1, й 2.
Обсужден выбор оптимального шага по времени (или набара переменных шагов) в таких расчетах. В 1 2 рассмотрены вариационные методы решения эллиптических уравнений и вариационные способы составления стационарных (не эволюционных) разностных схем. В последнем случае указаны прямые и итерационные методы вычисления разнастного решения. $1. Счет на установление 1. Стационарные решения эволюционных задач. К эллиптическим уравнениям приводит ряд физических задач: определение прогиба нагруженной мембраны, давления газа в неоднородном силовом поле, стационарного (не зависящего от времени) распределения тепла в теле и т.
д. Все эти задачи имеют общее свойство: предполагается, что внешние воздействии не зависят от времени, а начальные условия были заданы достаточно давно, так что физическая система успела выйти на стационарное решение и(г), не зависящее от времени. Примером полной математической постановки является задача с краевыми условиями первого рода, называемая задачей Дирихле; требуется найти непрерывное решение задачи Аи (г) =- — ! (г), г еи 6, иг (г) = р (г), (1) где 6 (г) есть многомерная замкнутая область с границей Г.
В отличие от эволюционных задач, разобранных в предыдущих главах, постановка (1) не содержит начальных условий. Обобщением задачи (1) является следующая задача: д!у [я (г) нгаб и (г)1 = — ( (г), г еи 6 иг (г) =)ь (г), й (г) ) О. (2) сгл. хп ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Задачи с другими краевыми условиями мы не будем рассматривать. Задачу (2) будем называть стационарной. Наряду с ней рассмотрим эволюционную задачу для параболического уравнения с теми же граничными условиями и произвольно выбранными начальными данными: д(г' ) — — и!У[и (г) йгаб о (г, 0~+~(г), г Е= б, 0 г(+ о, ог (г, () = р (г), о (г, 0) = о, (г). Исследуем, насколько решение о (г, () эволюционной задачи отличается от решения и(г) стационарной задачи.
Вычитая (2) из (3) и учитывая, что ди (г)(д! = О, найдем, что разность ш (г, !) = о (г, () — и (г) удовлетворяет однородному параболическому уравнению с однородными краевыми условиями: д! — !о(г, ()=б!У[й(г)дга!г!о1, ген б, 0(г(+со, (4) гог (г, () = О, ш (г, 0) = го„(г) = о„ (г) — и (г). Поскольку начальные данные в (3) были выбраны произвольно, то без ограничения общности можно считать, что начальные данные задачи (4) также выбраны произвольно. В курсах математической физики показано (см., например, [40]), что при помощи метода разделения переменных решение задачи (4) можно представить в следующем виде: го(г, ()= 'У', с е О'и!„(г).
ч=! Здесь и!Р(г) и Х~ — собственные функции и собственные значения многомерной задачи Штурма — Лиувилля: б!у[й(г) агаб шг)+) го,(г) =О, г ~ б, год(г)г=О, (6) с = го(г, 0) !о (г) йг являются коэффициентами Фурье начальных данных (4) по системе функций и!у (г). Собственные значения задачи (6) положительны и образуют неубывающую последовательность 0()! Хз(л (7) а собственные функции !о (г) образуют полную ортонормиро. ванную систему в б(г).
СЧЕТ НА УСТАНОВЛЕНИЕ 4оз Из (5) и (7) нетрудно получить неравенство 1пг !!1а(г, !)!!с,=( эл с',е ~Ч) ч-е 1ч'( эл с,'-* ~ =е ~' !!1ив(г) !!с,. (8) Оно означает, что разность 1а(г, !)=о(г, !) — и(г) при (-+.оо экспоненциально стремится к нулю по норме Ц !!с„так что решение о (г, !) эволюционной задачи (3) срсднеквадратично сходится к решению и(г) стационарной задачи (2) при (-э-со. 3 а м е ч а н и е 1.
Пусть граничные и начальные условия таковы, что решения задач (2) и (3) имеют в б(г) непрерывные производные, ограниченные равномерно по й Тогда сходимость о(г, !) к и (г) будет равномерной. Таким образом, вместо задачи (2) для эллиптического уравнения можно взять эволюционную задачу (3) для параболического уравнения с тем же пространственным оператором, произ-.
вольно выбрать начальные данные и вычислить решение о(г, !) при достаточно большом 1. Стационарный (не зависящий от времени) предел и(г), к котороМу стремится о(г, 1) при (-~со, и будет решением стационарной задачи (2). Этот способ называется счетом на установление. Он позволяет осуществить численное решение эллиптических задач хорошо разработанными методами решения параболических задач, например, продольно-поперечной схемой для двумерных задач и локально-одномерными схемами в случае большего числа измерений. Установление стационарного решения происходит довольно быстро благодаря экспоненциальному характеру затухания начальных данных.
Из (8) видно, что если нужна точность В, то надо вести вычисления до момента 1 ! Т= — !п —, (9) Ц, е' где Х, есть наименьшее собственное значение соответствующей задачи Штурма — Лиувилля (6). 3 а м е ч а н и е 2. На стационарное решение выходят не только решения параболических задач. То же происходит при других диссипативных процессах со стационарными граничными условиями, например при колебаниях с вязким трением, описы'ваемых уравнением с и+ Ро~ = д)У (Ь йгад и) + 7', ог = р (г), р ) О. (10) Можно формулировать эволюционную задачу для этого уравнения; однако это менее удобно.
Замечание 3. Можно составить разностиую схему, непосредственно аппроксимирующую исходную задачу (2). Но в й 2 эллиптические уРАВнения 1гл, хп Ей соответствует эволюционная задача для уравнения О, = и„,„, +Олин+((Х), (12) которую будем решать на равномерной сетке (х,л=пЬ„х,„= = гпйл, О(п» Лг, О~гп(М) с, шагами Ьт=а!У, Ьалл ЫМ. П р о до л ь н о-п о п е р е ч н а я с х ем а.
Для исследования этой схемы возьмем ее запись (1!.63) в двуслойной форме: 1 1 ч — -(д — д) = — (Л,+Л)(д+у) — — Л,Л (д — д)+~, и преобразуем ее к канонической форме: В д "+Ау=~р, гр=р, (13а) где А= — (Л,+Лз), В=(Š— ~ Л,)(Š— ~ Л,). (136) Поскольку в уравнении (12) коэффициент теплопроводности 1=1, а сетка равномерна, то 1 Л1улт Ьл (Улы т 2длт + Ул з т) ~ 1 ! Ллулт= Ьл (Ул, тлт 2длт+Ул,т — з). (1Зв) Если численный расчет доведен до выхода на стационарное решение, то у жу. Тогда схема (13) в пределе переходит в не- мы увидим, что вычислять разностное решение при этом обычно приходится итерационными методами.
Оказывается, что соответствующие итерационные алгоритмы можно интерпретировать как некоторые разиостиые схемы для эволюционной задачи (3). 2. Оптимальный шаг. Для расчета эволюционной р-мерной задачи (3) до момента Т используют экономичные разностные схемы. При этом шаги т и Ьл (1 =-=а ( р) выбирают достаточно малыми, чтобы обеспечить требуемую близость разностного решения д к точному рец1ению и(», 1) эволюционной задачи.
Однако если шаг т выбран слишком малым, то расчет до момента Т потребует большого числа шагов, что неоправданно увеличит объем вычислений. Очевидно, должен существовать оптимальный шаг т„; рассмотрим, как его найти. Для простоты ограничимся двумерной задачей Дирихле в прямоугольнике: и,,„+и,,„,= — р(х), О~х,(а, О с хл~Ь, иг (Х) = р (Х)~ Х = (Х1 Хл) (11) СЧЕТ НА УСТАНОВЛЕНИЕ эволюционную (не содержащую времени) разностную схему Ар=12, .4= — (Л„+Л,), 12=1(т), (14) Шеи (С) = З1П вЂ” З!П Ь лах, . лихи 1~1)<Ф вЂ” 1, 1(г==М вЂ” 1. (15) Рис. 86.
Подставляя их в схему (13) и полагая Йа,— — ра,ша„определим множители роста гармоник: (1 — ~и) (' — 6.) (1+л,) ((+а,) 2, ляа, 2т . ° Ь и = — йп' — ', р,= — з(п —" Ь1 2а ' ' А1 2Ь (16) Очевидно, все (р,((1, т. е. все гармоники затухают; это означает, что схема (13) обладает аппроксимационной вязкостью. Какие гармоники затухают наиболее медленно и, тем самым, сильнее всего препятствуют выходу на стационарный режим? Нетрудно заметить, что входящий в р, сомножитель у = = (1 — сса)/(1+ма) заключен в пределах ( — 1, +1) и монотойно убывает при увеличении номера д (рис.
86, жирная линия). Наибольшим по модулю может быть множитель либо с 4=1, либо с д=Л1 — 1. Считая М достаточно большим, можно положить лаг . л л . л (М вЂ” 1) А1 . л (М вЂ” 1) йп — '=йп —,' ~ — ', зш 2а 2Ж 2А1 ' 2а 2М ' =йп' — 1 и представить экстремальные множители (при т -)1) в виде лит ( аи 71 1 и уА' — 1 ( 1 уз ) (! 7) которая, как нетрудно заметить, аппроксимирует стационарную задачу (11).
Очевидно, в этом случае оптимальным будет тот шаг т„при котором разностное решение выйдет на стационарное за наименьшее число шагов. Для этого надо, чтобы начальные данные за один шаг затухалн возможно сильнее. Затухание начальных данных можно исследовать методом разделения переменных, взятым в строгой форме (поскольку нас интересуют точные значения границ спектра опе- 1 ратора). Собственные функции разностного оператора — (Л,+Л,) в прямоугольнике на равномерной сетке равны, как нетрудно проверить, 1гл. хп эллиптические уРАВнения Аналогично, второй сомножитель (1 — (),)/(1+ р,) максимален по модулю либо при г=1, либо при г=М вЂ” 1.
Поэтому',ро,~ максимален либо при д = г= 1, либо при д = тч — 1, г =М вЂ” 1, причем Г! 1Ч аз Ьз Р„1 — пзт( —,-1- — „,, ), РА, и х-1 — —, — —,. (18) (,ао Ьз)' тЛ'з Чем больше шаг т, тем меньше р„и больше рл., и „причем оба они близки к 1"); это значит, что первая и последняя гармоники затухают медленно, причем при малом шаге т быстрей затухает последняя, а при большом — первая гармоника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
