1626435462-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (844208), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. напряженноесостояние в точке можно выразить через тройку нормальных напряжений, действующихна взаимно перпендикулярных площадках. Направления векторов нормалей к таким площадкам называются главными направлениями тензора напряжений, а соответствующиенормальные напряжения – главными напряжениями. Тензор напряжений, представленный в системе координат, совпадающей с главными осями (в общем случае для каждойточки тела строится своя собственная система координат, оси которой совпадают с главными осями), имеет диагональный вид:σ1 0 0σ = 0 σ2 0 ,(3.5)0 0 σ3причем номера его компонент выбираются так, что σ1 > σ2 > σ3 .
При этом на площадках,которые делят углы между главными площадками пополам и проходят через главные оси,действуют главные касательные напряжения:σ2 − σ3σ1 − σ3σ1 − σ2τ1 =, τ2 =, τ3 =.(3.6)222Наибольшее напряжение τn , действующее в данной точке, называется максимальнымкасательным напряжением. Можно показать, чтоσ1 − σ3τmax = τ2 =.(3.7)2Главные напряжения являются корнями характеристического уравнения:det (σ − λI) = 0;λ3 − I1σ λ2 + I2σ λ − I3σ = 0,где I – единичный тензор, а величины1222,−τ23−τ13I1σ = trσ ≡ 3σ, I2σ ≡ [σii σjj −σij σij ] = σ11 σ22 +σ22 σ33 +σ33 σ11 −τ122(3.8)I3σ = det σ,(3.9)или, в главных напряжениях,I1σ = σ1 + σ2 + σ3 ≡ 3σ,I2σ = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1 ,I3σ = σ1 σ2 σ3 ,(3.10)не зависят от выбора системы координат и поэтому называются главными инвариантамитензора напряжений.3.2..
Тензоры напряжений и деформаций, уравнения движения (равновесия)3.2.4.45Девиатор тензора напряженийМатериал по-разному реагирует на сдвиг и на всестороннее сжатие или растяжение.Как было показано в главе 1, пластическая деформация осуществляется в основном засчет сдвигов, происходящих в материале. В связи с этим рассмотрим разложение тензоранапряжений на шаровой тензор и тензор-девиатор: σ11 τ12 τ13σ 0 0σ11 − στ12τ13σ22 − στ23 = σI + s, (3.11)σ = τ12 σ22 τ23 = 0 σ 0 + τ12τ13 τ23 σ330 0 στ13τ23σ33 − σгде σ = (σ11 + σ22 + σ33 )/3 – гидростатическое, или среднее давление.Шаровой тензор отвечает за равномерное всестороннее растяжение/сжатие, при котором меняется объем, а форма тела остается неизменной.
Девиатор тензора напряженийхарактеризует состояние сдвига, при котором меняется форма тела, но не меняется объем.Для девиатора тензора напряжений так же, как и для тензора напряжений, определяются инварианты путем замены главных компонент тензора напряжений σi на главныекомпоненты девиатора тензора напряжений si (для упрощения записи вводим новые обозначения J2 , J3 ):I1s = s1 + s2 + s3 = 0,11J2 ≡ −I2s = sij sij = [(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ],26(3.12)J3 ≡ I3s = s1 s2 s3 .Введем также неотрицательную величину, называемую интенсивностью касательных напряжений:√√1222T = J2 = √(σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ11 − σ33 )2 + 6(τ12+ τ13+ τ23).63.2.5.Тензор деформаций3.2.5..1Меры однородной деформации(3.13)Самым простым и наглядным типом деформации является однородная деформация,т. е.
деформация, одинаковая во всех точках тела. При такой деформации все точки одной плоскости будут принадлежать этой же плоскости и после деформирования, а любыедве параллельные материальные плоскости сохранят свою параллельность. К этому типуотносится одноосное растяжение, рассмотренное нами ранее. Для перехода к сложнымдеформированным состояниям необходимо ввести деформацию, которую можно отнестик точке тела, а не только к какому-то конечному отрезку или углу. Для этого выразимоднородную деформацию через перемещение точек тела.Относительно неподвижной системы координат точки тела могут перемещаться какв результате деформирования, так и в результате движения тела как жесткого целого.Чтобы исключить такое движение тела, будем рассматривать перемещения точек в относительной системе координат, привязанной к телу, т.
е. точка, совпадающая с началомкоординат, при деформировании остается неподвижной. В этой системе зададим перемещение точки из положения P = (x1 , x2 , x3 ) в положение P ′ = (x′1 , x′2 , x′3 ) при помощивектора перемещений u с компонентамиu1 = x′1 − x1 ,u2 = x′2 − x2 ,u3 = x′3 − x3 .(3.14)46Глава 3. Основные понятия механики деформируемого твердого тела .
. .абx2вx2гx2x2j12с221с12x1x2j12+ j21j211x1j12+ j21дx1 с12с12x1x1Рис. 3.2. Частные случаи однородной деформации: а) чистое растяжение; б ) простой сдвиг; в),г), д ) – одинаковое деформирование тела посредством разных комбинаций простых сдвиговРассмотрим тело в виде параллелепипеда, одна вершина которого лежит в началекоординат, а три прилегающих ребра лежат на осях координат. При условии однородности деформирования мы можем растянуть его в каждом из трех направлений x1 , x2 , x3 иизменить каждый из трех углов между ребрами, первоначально параллельными координатным осям.Деформации, задаваемые векторами перемещений следующего вида:(3.15)u1 = c11 x1 , u2 = 0, u3 = 0,u1 = 0, u2 = c22 x2 , u3 = 0,u1 = 0, u2 = 0, u3 = c33 x3 ,называются чистыми растяжениями (рис. 3.2, а), а деформации, задаваемые векторамиперемещений:u1 = c12 x2 , u2 = 0, u3 = 0;u1 = 0, u2 = c21 x1 , u3 = 0;u1 = 0, u2 = 0, u3 = c31 x1 ;u1 = c13 x3 , u2 = 0, u3 = 0,u1 = 0, u2 = c23 x3 , u3 = 0,u1 = 0, u2 = 0, u3 = c32 x2 ,(3.16)называются простыми сдвигами (рис.
3.2, б ). При этом величины cij при i = j выполняютроль относительных удлинений, а при i ̸= j являются мерой сдвига параллельных плоскостей относительно друг друга и называются сдвигами, или относительными сдвигами.При этом, поскольку сдвиг cij отражает изменение угла между отрезками, первоначальнопараллельными осям Oxi и Oxj , существует симметрия cij = cji .Пусть прямоугольник в плоскости подвергнут двум простым сдвигам (рис.
3.2, в).Деформация его будет одна и та же для всех пар углов φ12 и φ21 таких, что φ21 + φ12 =const, т. е. одинакова для деформированных состояний, приведенных на рис. 3.2, в, г, д.Поэтому для любых двух сдвигов можно использовать вариант, при котором φ12 и φ21равны, т.
е. заменить любую пару сдвигов с φ21 + φ12 = const следующей эквивалентнойпарой сдвигов:1u1 = c12 x2 ,2u2 = 0;u1 = 0,1u2 = c21 x1 ;2c12 = c21 .(3.17)Аналогично можно поступить в случае произвольной однородной деформации. Таким образом, любое однородное деформированное состояние без учета поворотов можнополностью задать тремя уравнениями следующего вида u1 = c11 x1 + c12 x2 /2 + c13 x3 /2 u1c11 c12 /2 c13 /2x1u2 = c12 x1 /2 + c22 x2 + c23 x3 /2⇔ u2 = c12 /2 c22 c23 /2 x2 . (3.18)u3 = c13 x1 /2 + c23 x2 /2 + c33 x3u3c13 /2 c23 /2 c33x33.2.. Тензоры напряжений и деформаций, уравнения движения (равновесия)3.2.5..247Тензор деформаций Коши (тензор бесконечно малых деформаций)Определим деформацию в точке как деформацию содержащего ее бесконечно малого объема dx1 dx2 dx3 .
Поскольку объем бесконечно мал, деформацию в нем считаем однородной. Тензор бесконечно малой деформации вводим с использованием мер однороднойдеформации:{cij ,если i = j;εij ≡cij /2, если i ̸= j.Диагональные компоненты εij (при i = j) тензора бесконечно малой деформацииε11 ε12 ε13ε = ε21 ε22 ε23 ε31 ε32 ε33(3.19)характеризуют меру растяжений/сжатий материальных волокон, а внедиагональные компоненты εij (при i ̸= j) – меру изменения угла между взаимно ортогональными до деформации материальными волокнами. Кроме тензора бесконечно малой деформации такжеиспользуют инженерный тензор деформации, компоненты которого определяется следующим образом:{εij = cij , если i = j;γij ≡2εij = cij , если i ̸= j.В предположении справедливости этой кинематики деформирования вектор перемещений отождествляется с вектором бесконечно малых перемещений, который определяетсяформулами, аналогичными (3.18): du1 = ε11 dx1 + γ12 dx2 /2 + γ13 dx3 /2 du1ε11 ε12 ε13dx1du2 = γ12 dx1 /2 + ε22 dx2 + γ23 dx3 /2⇔ du2 = ε12 ε22 ε23 dx2 .du3 = γ13 dx1 /2 + γ23 dx2 /2 + ε33 dx3du3ε13 ε23 ε33dx3(3.20)Получим из (3.20) выражения для определения компонент тензора бесконечно малой деформаций через компоненты тензора градиента перемещений ∇u:()1 ∂ui ∂ujεij =(3.21)+.2 ∂xj∂xiСимметричный тензор бесконечно малой деформации ε, представленный в виде (3.21),называют тензором деформаций Коши.Введем также малые повороты вокруг осей декартовой системы координат x1 , x2 ,x3 .
Из рис. 3.2, в мы видим, что в том случае, если прямоугольник подвергнут сдвиговымдеформациям, поворот его относительно оси x3 будет равен половине разности междууглами отклонения первоначально ортогональных отрезков, параллельных осям x1 , x2 , отэтих осей. Таким образом, малые повороты окрестности материальной точки вокруг осейx1 , x2 и x3 можно определить в следующем виде:)))(((1 ∂u1 ∂u31 ∂u2 ∂u11 ∂u3 ∂u2−, ω2 =−, ω3 =−.(3.22)ω1 =2 ∂x2 ∂x32 ∂x3 ∂x12 ∂x1 ∂x23.2.6.Главные деформацииКак тензор напряжений (как любой симметричный тензор), так и тензор деформацийКоши приводится к главным осям:ε1 0 0ε = 0 ε2 0 ,(3.23)0 0 ε348Глава 3.
Основные понятия механики деформируемого твердого тела . . .где величины на главной диагонали, называемые главными удлинениями, определяютсяиз характеристического уравнения:det(ε − λI) = 0;λ3 − I1ε λ2 + I2ε λ − I3ε = 0,(3.24)Здесь величиныI1ε = trε;I2ε = ε11 ε22 + ε22 ε33 + ε33 ε11 − ε212 − ε213 − ε223 ;I3ε = det ε,(3.25)или, в главных деформацияхI1ε = ε1 + ε2 + ε3 ;I2ε = ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 ;I3ε = ε1 ε2 ε3 ,(3.26)не зависят от выбора системы координат и называются главными инвариантами тензорадеформаций.Разностиγ1 = ε2 − ε3 , γ2 = ε1 − ε3 , γ3 = ε1 − ε2(3.27)называются главными сдвигами, наибольший из них обозначается как γmax .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
