1626435462-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (844208), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Величинаε ≡ ε11 + ε22 + ε33 называется относительным изменением объема (можно показать, чтоε = (dV − dV0 )/dV0 , где dV0 , dV – элементарные объемы тела до и после деформации).3.2.7.Девиатор тензора деформацийКак тензор напряжений, так и тензор деформаций можно представить в виде суммышарового тензора и тензора-девиатора: ε11 ε12 ε13ε 0 0ε11 − ε/3γ12 /2γ13 /211ε22 − ε/3γ23 /2 = εI + e.ε = ε12 ε22 ε23 = 0 ε 0 + γ12 /233ε13 ε23 ε330 0 εγ13 /2γ23 /2ε33 − ε/3(3.28)Для девиатора тензора деформаций (как и для тензора деформаций) определяются инварианты заменой εi на ei :I1e = e1 + e2 + e3 = 0,1I2e = − [(ε1 − ε2 )2 + (ε2 − ε3 )2 + (ε3 − ε1 )2 ],6I3e = e1 e2 e3 .(3.29)Важную роль в теории пластичности играет величина, называемая интенсивностью деформации сдвига:√ √√23 2e22Γ ≡ 2 −I2 =(ε11 − ε22 )2 + (ε22 − ε33 )2 + (ε11 − ε33 )2 + (γ12+ γ13+ γ23), (3.30)32которую можно рассматривать как суммарную характеристику искажения формы элемента твердого тела.3.2.8.Уравнения движения (равновесия) в сильной формеУравнения движения произвольного подобъема ω ⊆ V с границей ∂ω записываютсяв виде баланса всех сил, действующих на выбранный подобъем (аксиома локализации),при этом инерционные силы ρü рассматриваются как особый вид объемных сил:∫∫(n)(3.31)p dS + ρ(b − ü) dV = 0.∂ωω3.2..
Тензоры напряжений и деформаций, уравнения движения (равновесия)49Здесь и далее точка над величиной обозначает частную производную этой величины повремени t. Используя равенство (3.2) и формулу Гаусса – Остроградского, получим из(3.31) интегральное равенство:∫[∇ · σ + ρ(b − ü)] dV = 0,(3.32)ωкоторое, в силу произвольности ω, эквивалентно поточечному равенству∇ · σ + ρb = ρü в V⇔σij,j + ρbi = ρüi в V.(3.33)В случае пренебрежения действием инерционных сил (т. е. в предположении ü = 0) уравнения движения сводятся к уравнениям равновесия:∇ · σ + ρb = 0 в V⇔σij,j + ρbi = 0 в V.(3.34)Как уравнения движения, так и уравнения равновесия дополняются граничнымиусловиями:u = u∗ на Sun · σ = p∗ на Sp⇔⇔ui = u∗i на Su ,ni σij = p∗j на Sp ,(3.35)где Su и Sp – непересекающиеся участки поверхности S деформируемого тела, причемS = Su ∪ Sp ; верхний правый индекс «∗» обозначает заданную величину.
К уравнениямдвижения добавляются также начальные условия:u(t0 ) = u0 , u̇(t0 ) = v03.2.9.⇔ui (t0 ) = u0i ,u̇i (t0 ) = vi0 .(3.36)Уравнения движения в слабой форме (уравнение принципавиртуальных работ)Уравнения движения (равновесия) с граничными и начальными условиями справедливы для достаточно гладких полей тензора напряжений. Однако точные решения можнонайти только для сравнительно узкого круга задач механики деформируемого твердого тела, поэтому эти задачи решаются, в основном, приближенно, с использованием численныхметодов.
В настоящее время наибольшее распространение для решения этого класса задачполучил метод конечных элементов (МКЭ) (см. главу 6). Для использования этого метода уравнения движения (равновесия) необходимо сформулировать в слабой форме. Слабаяформа уравнений позволяет искать решения для компонент вектора перемещений u в соболевом пространстве функций H 1 с ослабленными требованиями гладкости на искомыекомпоненты вектора перемещений (а следовательно, и компоненты тензоров деформацийи напряжений) по сравнению с решениями уравнений движения (равновесия) в сильнойформе, которые рассматривались в п.
3.2.8 (для справедливости этих уравнений компоненты вектора перемещений должны быть дважды непрерывно дифференцируемы, т. е.принадлежать пространству функций C 2 ). Такой слабой формой записи является принцип виртуальных работ (более раннее название: принцип виртуальных перемещений). Онформулируется следующим образом: работа внутренних сил на возможных перемещенияхравна работе внешних сил на возможных перемещениях.
Уравнение баланса виртуальныхработ (слабая форма уравнений движения) имеет следующий вид:∫∫∫σ : δε dV =ρ(b − ü) · δu dV +p∗ · δu dS ∀ δu ∈ {δu ∈ H 1 | δu = 0 на Su }. (3.37)VVSp50Глава 3. Основные понятия механики деформируемого твердого тела . . .Векторное поле δu, введенное в (3.37), называется векторным полем виртуальных перемещений, а вариация тензора деформаций Коши δε определяется следующим образом:1δε = [∇(δu) + ∇(δu)T ].2(3.38)Заметим, что справедливо тождествоσ : δε = σ : δ(∇u) = σ : ∇(δu) = ∇ · (σ · δu) − (∇ · σ) · δu.По теореме Гаусса – Остроградского имеем∫∫∇ · (σ · δu) dV =n · (σ · u) dSV(δu = 0 на Su ).(3.39)(3.40)SpПодставив (3.39) с учетом (3.40) в (3.37), можно убедиться, что для достаточно гладкихполей тензора напряжений из выполнения равенства баланса виртуальных работ (3.37)следует выполнение уравнений движения в сильной форме (3.33) и граничные условиядля вектора напряжений в (3.35).Формулировки уравнений движения/равновесия в слабой форме полезны для решения задач упругости с граничными условиями, сформулированными для неизвестнойзаранее границы, например, такими как для контактных задач (статические и кинематические граничные условия задаются на контактных поверхностях, определяемых деформированной конфигурацией тела) и задач с неконсервативной нагрузкой (например,гидростатической, зависящей от формы границы, изменяющейся при деформировании тела).3.3.Уравнения линейной теории упругостиВ п.
3.2 мы ввели две группы уравнений, описывающих деформирование сплошной среды: уравнения движения (равновесия) в сильной (3.33), (3.34) или слабой (3.37)формах и кинематические связи (3.21), определяющие выражения компонент тензора деформаций εij через компоненты тензора градиента перемещений ∂ui /∂uj . Эти уравнениясправедливы для любых материалов (упругих, упругопластических и т. д.). Полная система уравнений, описывающая движение деформируемого тела, получается при добавлениик первым двум третьей группы уравнений, называемой определяющими соотношениями, под которыми понимаются функциональные связи компонент тензора деформаций скомпонентами тензора напряжений и/или их скоростей.
Линейный вид этих связей называется законом Гука. Замкнутая система из всех трех групп уравнений с законом Гукадля определяющих соотношений описывает деформирование тела из линейного упругогоматериала.Уравнения равновесия используются в случае статического нагружения тела, т.
е.тогда, когда к телу приложена неизменная нагрузка. Они же используются при квазистатическом нагружении, т. е. при медленном изменении нагрузки. В реальном материале,как бы медленно ни изменялась нагрузка, приложенная к части поверхности тела, вызванное нагрузкой деформирование не захватывает все тело одновременно, а распространяетсяот нагруженного участка с некоторой конечной скоростью. Если скоростью этого распространения можно пренебречь и считать изменение деформированного состояния мгновенным, нагружение определяется как квазистатическое. Если распространением изменениядеформированного состояния пренебречь нельзя, говорят о динамическом нагружении.К последнему типу относятся ударная, взрывная нагрузка и вибрационное нагружение.3.3.. Уравнения линейной теории упругости51Для упрощения записи кинематические связи (3.21) запишем в следующем виде:1ε = (∇u + ∇uT )21εij = (uj,i + ui,j ).2⇔(3.41)Здесь и далее индекс после запятой обозначает частную производную по соответствующейкоординате.3.3.1.Закон ГукаДля линейного упругого материала закона Гука записывается в следующем виде:σij = Cijkl εkl⇔σ = C : ε,Cijkl = Cklij = Cjikl (= Cijlk ),(3.42)где C = Cijkl ki ⊗kj ⊗kk ⊗kl – тензор определяющих соотношений четвертого порядка.В качестве альтернативы для записи определяющих соотношений в виде (3.42) можно задать определяющие соотношения линейного упругого материала с использованием удельной потенциальной энергии деформаций следующим образом (такая запись закона Гукавозможна вследствие справедливости первой из симметрий тензора C в (3.42), называемойглавной симметрией тензора четвертого порядка):σij =∂W (εkl ),∂εij1W = σij εij2⇔σ=∂W (ε),∂ε1W = σ(ε) : ε.2(3.43)Если упругий материал изотропен, т.
е. если его свойства одинаковы во всех направлениях, то компоненты тензора C и удельной потенциальной энергии деформаций W имеют следующий вид:Cijkl = λ̃δij δkl + µ(δik δjl + δil δjk ),W =λ̃(εii )2 + µεij εij ,2(3.44)где λ̃ и µ – постоянные Ламе, которые можно выразить через модуль Юнга E, коэффициент Пуассона ν и модуль сдвига G материала следующим образом:λ̃ =3.3.2.Eν,(1 + ν)(1 − 2ν)µ=E= G.2(1 + ν)(3.45)Вариационный принцип ЛагранжаПри решении статических задач вместо принципа виртуальных работ можно воспользоваться вариационным принципом минимума потенциальной энергии (вариационным принципом Лагранжа).
Для этого введем функционал∫∫I(u) ≡ (W (ε) − ρb · u) dV − p∗ · u dS,(3.46)VSpгде u ∈ H 1 – кинематически возможное (допустимое) поле вектора перемещений, т. е.поле, удовлетворяющее условию u = u∗ на Su . Перепишем уравнения равновесия (3.34)для тензора напряжений и граничные условия для вектора напряжений в (3.35) в следующем виде:∂W (ε)∂W (ε)+ ρb = 0 в V, n ·= p∗ на Sp .(3.47)∇·∂ε∂ε52Глава 3. Основные понятия механики деформируемого твердого тела . .
.Вариационный принцип Лагранжа. Система (3.47) представляет систему уравнений Эйлера и естественных граничных условий вариационного уравненияδI (u, δu) = 0 ∀ δu ∈ {δu = 0 на Su },∫ (гдеδI =(3.48))∫∂W: δε − ρb · δu dV − p∗ · δudS.∂εV(3.49)SpНаоборот, среди всех кинематически возможных полей перемещений действительноеполе перемещений ũ (удовлетворяющее (3.47), (3.35), (3.41)) доставляет полной потенциальной энергии абсолютный минимум, равный∫∫∫∂W (ε̃)1∗∗I(ũ) = ( p̃ · u dS − p · ũ dS − ρb · ũ dV ); p̃ ≡ n ·, ε̃ ≡ (∇ũ + ∇ũT ). (3.50)2∂ε̃SpSuVД о к а з а т е л ь с т в о.
Покажем, что из вариационного уравнения (3.48) следуютуравнения равновесия и граничные условия (3.47). Используя (3.39) и формулу Гаусса –Остроградского (см. (3.40)), из (3.49) получим()∫∫∂W (ε)∗δI = (−∇ · σ − ρb) · δu dV + (n · σ − p ) · δu dSσ̃ =(3.51).∂εVSpТак как это равенство выполняется для произвольного вектора δu, то из (3.48) следуетвыполнение (3.47).Покажем теперь, что из выполнения уравнений и граничных условий (3.47) следуетвыполнение вариационного уравнения (3.48). Начнем с доказательства справедливости(3.50). Для истинного поля перемещений ũ из (3.46) получим∫∫I(ũ) ≡ (W (ε̃) − ρb · ũ) dV − p∗ · ũ dS.(3.52)VSpМожно показать выполнение тождества:111W (ε̃) = σ̃ : ε̃ = ∇ · (σ̃ · ũ) − (∇ · σ̃) · ũ.222(3.53)Из (3.53), формулы Гаусса – Остроградского (3.40) и равенства −(∇· σ̃)· ũ = ρb· ũ, котороеследует из уравнений равновесия (3.34), получим∫∫∫11W (ε̃) dV =n · (σ̃ · ũ) dS +ρb · ũ dV =22VSV∫∫∫111∗∗p̃ · u dS +p · ũ dS +ρb · ũ dV.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
