1625915146-70d402fe54d0af3e87017c6c516bbe93 (843877), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. , ωn , . . . }.Так, эксперименты из примеров 1, 2, 3, 5, 6 и 7 (но не 4) приводятк дискретным пространствам элементарных исходов.З а м е ч а н и е . Множество счётно, если существует взаимно-однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Счётными множествами являются множество N натуральныхчисел, множество Z целых чисел (доказать !), множество Q рациональных чисел (доказать !), множество чётных чисел и т. д. Множество конечно, если оно состоит из конечного числа элементов.Чтобы определить вероятность любого события на таком пространстве, присвоим вероятность каждому элементарному исходу в отдельности, т.
е. снабдим вероятностями мельчайшие «кирпичики» — элементарные исходы, из которых составляется любое событие. Вероятность каждого события найдём как сумму вероятностей входящих в него исходов.О п р е д е л е н и е 3. Сопоставим каждому элементарному исходу ω iчисло p i ∈ [0, 1] так, чтобы p1 + p2 + . . . = 1. Вероятностью события Aназывается числоXP(A) =p i,ωi ∈ Aравное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество A. В случае A = ∅ положим P(A) = 0.З а м е ч а н и е . Позднее, познакомившись с аксиоматикой теории вероятностей, мы зададим вероятности событий непосредственно, а не черезвероятности элементарных исходов. Ведь сложением вероятностей элементарных исходов можно получить лишь вероятность события, состоящего20ГЛАВА I.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙне более чем из счётного числа элементарных исходов (иначе само понятиесуммирования не определено). Но на дискретном пространстве элементарных исходов всегда возможно определить вероятности событий согласноопределению 3.П р и м е р 10. В эксперименте из примера 5 монета подбрасываетсядо первого выпадения герба. Присвоим элементарным исходам следующиевероятности:ω i : г, рг, ррг, рррг, . . .pi :1,41,21,81,16...Проверим, что сумма вероятностей элементарных исходов равна единице: по формуле суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии,∞X11/2p1 + p2 + . .
. === 1.i/1−1 22i=1Вероятность cобытия A = {ω2 , ω4 , . . .} (герб выпал при броске с чётнымномером) равна:P(A) = p2 + p4 + . . . =∞X1i=122i=1/41=.1 − 1/43П р и м е р 11. На том же самом множестве Ω = N зададим вероятности так: p1 = . . . = p100 = 0,01, p i = 0 для i > 100.П р и м е р 12. Пусть теперь Ω = N ∪ {0} — множество целых неотрицательных чисел. Положимpi =7i −7eдля i = 0, 1, 2, . . .i!Проверим, равна ли единице сумма вероятностей всех элементарных исходов. Собрав разложенную в ряд Тейлора экспоненту, получимXωi ∈ Ω−7pi = e·∞X7ii=0i!= e−7 e7 = 1.Внимательный читатель уже заметил, что если множество Ω счётно,но не конечно, присвоить всем элементарным исходам одну и ту же вероятность нельзя (почему ?).
Для конечного же множества Ω всегда возможнозадать одинаковые вероятности исходов, что мы сейчас и сделаем.§ 3. Дискретное пространство элементарных исходов21Классическое определение вероятности. Частным, но частовстречающимся в жизни случаем дискретного вероятностного пространства является классическая вероятностная схема.Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа элементов: Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωN },и из каких-то соображений можем считать элементарные исходы равновозможными . Равновозможность возникает обычно из-за симметрии в эксперименте (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная игральная кость, отсутствие оснований предпочесть один результат эксперимента другому).Говорят, что эксперимент описывается классической вероятностноймоделью , если пространство его элементарных исходов состоит из конечного числа равновозможных исходов.
Тогда вероятность любого элемен1тарного исхода равна. Если событие A = {ω i1 , . . . , ω ik } состоит из kNэлементарных исходов, то вероятность этого события равнаP(A) = p i1 + . . . + p ik = k ·1|A|=.N|Ω|(2)Здесь символом |A| обозначено число элементов конечного множества A.Формулу P(A) =|A|называют классическим определением вероят|Ω|ности и читают так: «вероятность события A равна отношению числаисходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу равновозможных исходов».Полезно сравнить это определение с формулировкой автора определения, Я. Бернулли1 : «Вероятность есть степень достоверности и отличаетсяот неё как часть от целого» (Искусство предположений , 1713 г.)Итак, вычисление вероятности в классической схеме сводится к подсчёту общего числа исходов (шансов) и числа исходов, благоприятствующихсобытию. Число шансов вычисляют с помощью формул комбинаторики.Рассмотрим стандартные урновые схемы: из n шаров выбирают k шаров.
Будем исходить из предположения о том, что появление любого шараравновозможно. Тогда три схемы: схема выбора с возвращением и с учётом порядка, выбора без возвращения и с учётом порядка, а также выборабез возвращения и без учёта порядка, описываются классической вероятностной моделью. Общее число равновозможных элементарных исходов вэтих схемах равно соответственно nk , Akn и Cnk .1Jacob Bernoulli (27.12.1654—16.08.1705, Basel, Switzerland).22ГЛАВА I.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙКак показывает следующий пример, последняя схема — схема выборас возвращением и без учёта порядка — имеет неравновозможные исходы.Поэтому классическое определение вероятности для неё не применимо.П р и м е р 13. Рассмотрим выбор двух шариков из двух или, что тоже самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов1получится четыре, и они равновозможны, т.е. имеют вероятности по :4(герб, герб), (решка, решка), (решка, герб), (герб, решка).Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исходаодним и тем же результатом эксперимента и получить три исхода:(два герба), (две решки), (один герб и одна решка).Первые два исхода имеют вероятности поравна1, а вероятность последнего4111+ = .
Видим, что при выборе с возвращением и без учёта442порядка элементарные исходы оказываются неравновозможными.У п р а ж н е н и е . Сравнить примеры 2 и 3. В каком из них перечислены равновозможные элементарные исходы? Найти вероятности всех эле1ментарных исходов в примере 3. Равны ли они?21В следующем примере разобрана классическая задача, приводящаяк так называемому гипергеометрическому распределению .П р и м е р 14. Из урны, в которой K белых и N − K чёрных шаров, наудачу и без возвращения вынимают n шаров, где n 6 N (рис.
4).Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из n шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано k белых и n − kчёрных шаров.NN −KKnkn−kРис. 4. Выбор n шаров из NР е ш е н и е. Результат эксперимента — набор из n шаров. Можно неучитывать порядок следования шаров в наборе. Общее число элементарnных исходов по теореме 3 равно |Ω| = CN .
Обозначим через Ak событие,состоящее в том, что в наборе окажется k белых шаров и n − k чёрных.Пусть k 6 K и n − k 6 N − K, иначе P(Ak ) = 0.23§ 4. Геометрическая вероятностьkn−kЕсть ровно CK способов выбрать k белых шаров из K и CN −K способов выбрать n − k чёрных шаров из N − K. Каждый возможный наборвыбранных белых шаров можно комбинировать с каждым возможным набором чёрных. По теореме о перемножении шансов число благоприятныхkn−kисходов равно |Ak | = CK CN −K ,kn−kC C −K|A |P(Ak ) = k = K N.n|Ω|CN(3)Вычисляя вероятность событий Ak , мы сопоставили каждому наборуиз k белых и n − k чёрных шаров вероятность получить этот набор привыборе шаров из урны. Набор вероятностей (3) называется гипергеометрическим распределением вероятностей.Здесь мы в первый, но далеко не в последний раз встретились с термином «распределение» вероятностей. Это слово всегда обозначает некийспособ разделить (распределить) общую единичную вероятность междукакими-то точками или множествами на вещественной прямой.П р и м е р 15.
На пяти карточках написаны буквы А, А, Л, М, П.Найти вероятность того, что при случайной расстановке этих карточекв ряд получится слово ЛАМПА.Р е ш е н и е. Всего возможно |Ω| = 5! перестановок карточек. Заметим, что перестановка двух карточек с буквой А не меняет слова. Поэтомуесть два благоприятных исхода: ЛА1 МПА2 и ЛА2 МПА1 . Вероятность по21=.лучить нужное слово равна5!60П р и м е р 16. Игральная кость подбрасывается трижды. Найти вероятность получить в сумме четыре очка.Р е ш е н и е.
Общее число равновозможных элементарных исходовесть |Ω| = 63 . Сумма очков равна четырём, если на двух костях выпали единицы, и на одной — двойка. Этому событию благоприятствуют триэлементарных исхода: (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1). Поэтому искомая вероят13.ность равна 3 =672Результаты многих экспериментов нельзя описать дискретным множеством точек. Например, бросание монеты на стол в примере 4 приводитк пространству элементарных исходов, совпадающему с множеством точекстола. Дальность броска копья спортсменом — величина с положительны-24ГЛАВА I.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙми значениями на числовой прямой, и т. д. Рассмотрим один из способовзадания вероятностей на таком пространстве исходов.§ 4. Геометрическая вероятностьРассмотрим какую-нибудь область Ω в Rk (на прямой, на плоскости,в пространстве). Предположим, что «мера» Ω (длина, площадь, объёмсоответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, чтомы наудачу бросаем в эту область точку.
Термин «наудачу» означает, чтовероятность попадания точки в любую часть A ⊆ Ω не зависит от формыили расположения A внутри Ω. а зависит лишь от «меры» области A.Для такого эксперимента вероятности определяются согласно геометрическому определению вероятности :µ(A)P(A) =.(4)µ(Ω)Если для точки, брошенной в область Ω, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области Ω.П р и м е р 17. Точка наудачу бросается на отрезок [0, 1]. Вероятностьей попасть в точку 0,5 равна нулю, так как равна нулю мера множества,состоящего из одной точки («длина точки»).
Но попадание в точку 0,5 неявляется невозможным событием — это один из элементарных исходов.П р и м е р 18. Точка наудачу бросается в круг c единичным радиусом.Найти вероятность того, что расстояние ρ до точки от центра круга будетменьше заданного числа r ∈ (0, 1).Р е ш е н и е. Интересующее нас событие {ρ < r} происходит, когдаточка попадает во внутренний круг с радиусом r и тем же центром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
