1625915146-70d402fe54d0af3e87017c6c516bbe93 (843877), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . попарно не пересекаются. Тогда из представлений ∞ ∞ SSCi , Bn = B ∪CiB1 = B ∪i=1i=nвытекают, в силу аксиомы ( µ 2), соответствующие равенства и для мер:µ(B1 ) = µ(B) +∞Xµ(Ci ),µ(Bn ) = µ(B) +i=1Первая сумма∞P∞Xµ(Ci ).i=nµ(Ci ) в силу условия µ(B1 ) < ∞ есть сумма абсолютноi=1сходящегося ряда (составленного из неотрицательных слагаемых). Из схо∞Pдимости этого ряда следует, что «хвост» ряда, равныйµ(Ci ), стремитi=nся к нулю при n → ∞. Поэтомуµ(Bn ) = µ(B) +∞Xi=nµ(Ci ) −→ µ(B) + 0 = µ(B).n→∞В полезности этого свойства легко убедиться упражнениями.34ГЛАВА II. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙУ п р а ж н е н и е . Используя аксиому непрерывности меры для убывающей последовательности множеств Bn = (x − 1/n, x + 1/n), доказать,что мера Лебега одноточечного подмножества {x} вещественной прямойравна нулю: λ {x} = 0.
Используя этот факт, доказать, что λ (N) = 0,λ (Z) = 0, λ (Q) = 0, λ (a, b) = λ [ a, b ].З а м е ч а н и е . В отсутствие предположения µ(B1 ) < ∞ свойствоµ(B) = lim µ(Bn ) может не выполняться.n→∞Например, зададим меру на B(R) так: µ(B) = 0, если B не более чемсчётно, иначе µ(B) = ∞. Тогда для множеств Bn = (x − 1/n, x + 1/n)имеем:∞TB=Bn = {x}, µ(Bn ) = ∞ 6→ µ(B) = 0.n=1Наконец, мы в состоянии определить понятие вероятности как нормированной меры.О п р е д е л е н и е 9.
Пусть Ω — непустое множество, F — σ -алгебраего подмножеств. Мера µ : F → R называется нормированной , еслиµ(Ω) = 1. Другое название нормированной меры — вероятность .То же самое ещё раз и подробно:О п р е д е л е н и е 10. Пусть Ω — пространство элементарных исходов,F — σ -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на (Ω, F) называется функция P : F → R, обладающаясвойствами:(P1) P(A) > 0 для любого события A ∈ F;(P2) для любого счётного набора попарно несовместных событийA1 , A2 , A3 , .
. . ∈ F имеет место равенство ∞ X∞SPAi =P(Ai );i=1i=1(P3) вероятность достоверного события равна единице: P(Ω) = 1.Свойства (P1) — (P3) называют аксиомами вероятности .О п р е д е л е н и е 11. Тройка hΩ, F, Pi, в которой Ω — пространствоэлементарных исходов, F — σ -алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на F, называется вероятностным пространством .Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Ниже мы небудем всякий раз оговаривать, что имеем дело только с событиями.35§ 2.
Мера и вероятностная мераТ е о р е м а 8. Вероятность обладает следующими свойствами.1. P(∅) = 0.2. Для любого к о н е ч н о г о набора попарно несовместных событийA1 , . . . , An ∈ F имеет место равенство:P(A1 ∪ . . . ∪ An ) = P(A1 ) + . .
. + P(An ).P(A) = 1 − P(A).Если A ⊆ B, то P(B \ A) = P(B) − P(A).Если A ⊆ B, то P(A) 6 P(B) (монотонность вероятности).P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).nP7. P(A1 ∪ . . . ∪ An ) 6P(Ai ).3.4.5.6.i=18. Формула включения-исключения:P(A1 ∪ . . . ∪ An ) =nXP(Ai ) −i=1+XXP(Ai Aj ) +i<jP(Ai Aj Am ) − . . . + (−1)n−1 P(A1 A2 . . . An ).(5)i<j<mД о к а з а т е л ь с т в о.
1. События A1 = Ω, Ai = ∅, где i > 2, попарно несовместны, и их объединение есть Ω. По аксиоме (P2),1 = P(Ω) =∞XP(Ai ) = 1 +i=1∞XP(∅).i=2Это возможно только в случае P(∅) = 0.2. Положим Ai = ∅ при любом i > n. События A1 , . .
. , An , ∅, ∅, . . .попарно несовместны, и по аксиоме (P2), n ∞ X∞nXSSPAi = PAi =P(Ai ) =P(Ai ).i=1i=1i=1i=13. Достоверное событие Ω = A∪A есть объединение двух несовместныхсобытий A и A. По свойству 2 получим 1 = P(Ω) = P(A) + P(A ).4 и 5. Событие B равно объединению двух несовместных событий:B = A ∪ (B \ A). Согласно свойству 2, P(B) = P(A) + P(B \ A) > P(A).6. Событие A ∪ B можно разложить в объединение двух несовместныхсобытий A ∪ B = A ∪ (B \ AB), причём AB ⊆ B. По свойствам 2 и 4получим P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ AB) = P(A) + P(B) − P(AB).36ГЛАВА II.
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ7. При n = 2 неравенство вытекает из свойства 6:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) 6 P(A) + P(B).У п р а ж н е н и е . Докажите свойство 7 и формулу (5) с помощью математической индукции.Приведём пример задачи, в которой использование формулы включения-исключения — самый простой путь решения.П р и м е р 27 (з а д а ч а о р а с с е я н н о й с е к р е т а р ш е).
Есть n писем и n подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу по одному. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадёт в предназначенный ему конверт.Р е ш е н и е. Пусть событие Ai , i = 1, . . . , n, означает, что i -е письмопопало в свой конверт. ТогдаA = {хотя бы одно письмо попало в свой конверт} = A1 ∪ . . . ∪ An .Cобытия A1 , . . . , An совместны, поэтому используем формулу (5).По классическому определению вероятности вычислим вероятности всехсобытий Ai и их пересечений.
Элементарными исходами будут всевозможные перестановки n писем по n конвертам. Их общее число есть |Ω| == n!, и событию Ai благоприятны (n − 1)! из них, а именно перестановкивсех писем, кроме i -го, лежащего в своём конверте. Поэтому P(Ai ) ==(n − 1)!1= — одна и та же для всех i. Точно так жеn!n11(n − 2)!=, P(Ai Aj Am ) =P(Ai Aj ) =n!n(n − 1)n(n − 1)(n − 2)и т. д.Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в формуле (5).
Например, сумма по 1 6 i < j < m 6 n состоит из Cn3 слагаемых — ровностолько троек индексов можно образовать из n номеров событий. Подставляя все вероятности в формулу (5), получаем:231111− Cn ·+ Cn ·− . . . + (−1)n−1=nn(n − 1)n(n − 1)(n − 2)n!111= 1 − + − . . . + (−1)n−1 .2!3!n!P(A) = n ·У п р а ж н е н и е . Выписать разложение e−1 в ряд Тейлора и убедиться в том, что P(A) −→ 1 − e−1 при n → ∞.Г Л А В А IIIУСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ. . .
Здесь является вопрос . . . относительно влияния прошлогона вероятность будущего.П. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей§ 1. Условная вероятностьП р и м е р 28. Игральная кость подбрасывается один раз. Известно ,что выпало более трёх очков. Какова при этом вероятность того, чтовыпало нечётное число очков?Пусть событие B = {4, 5, 6} означает, что выпало более трёх очков,событие A = {1, 3, 5} — выпало нечётное число очков. Как понимать вероятность события A, если известно, что B случилось? Знаем, что произошло событие B, но всё равно не знаем, что именно выпало на кости.Однако теперь возможностей осталось только три : могло выпасть 4, 5или 6 очков. Событию A из этих равновозможных исходов благоприятен единственный исход: выпадение пяти очков.
Поэтому искомая вероятность равна 1 / 3.Итак, при вычислении условной вероятности события A при случившемся событии B мы ищем долю исходов, благоприятствующих A, среди всех исходов события B. Эту условную вероятность будем обозначатьP(A | B).О п р е д е л е н и е 12. Условной вероятностью события A при условии,что произошло событие B, называется числоP(A ∩ B)P(A | B) =.P(B)Условная вероятность определена только в случае, когда P(B) > 0.Следует отличать условную вероятность одного события при осуществлении другого от вероятности им одновременно произойти.Это определение бывает полезно использовать не для вычисленияусловной вероятности, а для последовательного вычисления вероятно-38ГЛАВА III.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬсти нескольким событиям случиться одновременно, если известны соответствующие условные вероятности. Справедливы следующие «теоремыумножения вероятностей».Т е о р е м а 9. Если P(B) > 0 и P(A) > 0, тоP(A ∩ B) = P(B) P(A | B) = P(A) P(B | A).Т е о р е м а 10.
Для любых событий A1 , . . . , An верно равенство:P(A1 . . . An ) = P(A1 ) P(A2 | A1 ) P(A3 | A1 A2 ) · . . . · P(An | A1 . . . An−1 ),если все участвующие в нём условные вероятности определены.У п р а ж н е н и е . Доказать теорему 10 методом математической индукции. Доказать, что все условные вероятности в теореме 10 определенытогда и только тогда, когда P(A1 . . . An−1 ) > 0.§ 2. Независимость событийО п р е д е л е н и е 13. События A и B называются независимыми , если P(A ∩ B) = P(A)P(B).П р и м е р 29.
Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Независимы лисобытия «вынут туз» и «вынута пиковая карта»?41Р е ш е н и е. Вероятность вытянуть туза равна P(A) == . Ве3691. Пересечение этих41событий означает появление туза пик и имеет вероятность P(AB) =.36роятность вытянуть пиковую карту равна P(B) =Cобытия A и B независимы, так как P(AB) = P(A)P(B).Естественно считать события A и B независимыми, когда условнаявероятность A при условии, что B произошло, остаётся такой же, как ибезусловная.
Убедимся, что этим свойством обладают события, независимые согласно определению 13.С в о й с т в о 4. Пусть P(B) > 0. Тогда события A и B независимытогда и только тогда, когда P(A | B) = P(A).У п р а ж н е н и е . Доказать по определению условной вероятности.Независимые события возникают, например, при повторении испытаний. Выпадение герба и выпадение решки при двух разных бросках монеты независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
