1625915145-5b3debabab98d9e994cc3a1bc8da0f5b (843876), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть функция g(y) такова, что 0 ̸= Dg(X1 ) < ∞,функция H(y) дифференцируемав точке a = Eg(X1 ) и её производная′′в этой точке H (a) = H (y) y=a отлична от нуля.()Тогда оценка θ∗ = H g(X) является асимптотически нормальнойоценкой для параметра θ = H (Eg(X1 )) = H(a) с коэффициентом асимптотической нормальности()2σ2 (θ) = H ′ (a) · Dg(X1 ).41§ 2. Асимптотический подход к сравнению оценокД о к а з а т е л ь с т в о.
Согласно ЗБЧ последовательность g(X) стремится к a = Eg(X1 ) по вероятности с ростом n. Функция H(y) − H(a) , y ̸= a,y−aG(y) =H ′ (a),y=aпо условию непрерывна в точке a. Поскольку сходимость по вероятности сохраняется под действием непрерывной функции, получим,pчто G(g(X)) −→ G(a) = H ′ (a).)√ (Заметим также, что по лемме 1 величина n g(X) − a слабо сходитсяк нормальному распределению N0, Dg(X1 ) . Пусть ξ — случайная величинаиз этого распределения.
Тогда)) √ ()()√ ( (n H g(X) − H(a) = n g(X) − a · G g(X) ⇒ ξ · H ′ (a).Мы использовали (в который раз?) следующее свойство слабой сходиpмости: если ξn ⇒ ξ и ηn −→ c = const, то ξn ηn ⇒ cξ. Но распределениеслучайной величины ξ · H ′ (a) как раз и есть N0, (H ′ (a))2 ·Dg(X1 ) . Поэтому()2σ2 (θ) = H ′ (a) · Dg(X1 ).П р и м е р 15.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из равномерного распределения U0,θ с параметром θ > 0. Проверим, являются лиасимптотически нормальными оценки√k∗θk =(k + 1)X k , k = 1, 2, . . . ,полученные методом моментов в примере4 (с. 24).√kkПусть g(y) = (k + 1)y , H(y) = y. Тогда√∑√(∑)k(k + 1)Xikkg(Xi )∗kθk =(k + 1)X ==H.nnПри этом√√θ = H (Eg(X1 )) =kE(k + 1)X1k =k(k + 1)θkk+1.Впрочем, иначе быть не могло по определению метода моментов (верно?).Проверим другие условия теоремы 13:a = Eg(X1 ) = (k + 1)θkk+1= θk ,42ГЛАВА III. СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОКдисперсияDg(X1 ) = E(k + 1)2 X12k − a2 = (k + 1)2θ2k2k + 1− θ2k =k2θ2k2k + 1конечна и отлична от нуля.
Функция H(y) дифференцируема в точке a :H ′ (y) =1 1−ky k ,kH ′ (a) = H ′ (θk ) =1 1−kθ̸= 0.kПо теореме 13, оценка θ∗k является АНО для θ с коэффициентом()2k2θ21θ2k =.σ2k (θ) = H ′ (a) Dg(X1 ) = 2 θ2−2k ·k2k + 12k + 1θ2Например, для θ∗1 = 2X имеем коэффициент σ21 (θ) = . Это в точности3совпадает с коэффициентом, полученным нами в примере 14 (с. 37).Осталось понять, как сравнивать асимптотически нормальные оценкии что показывает коэффициент асимптотической нормальности.Асимптотический подход к сравнению оценок. Возьмём две случайные= N0,1 и 10 ξ ⊂= N0,100 . Разброс значений у величины 10 ξвеличины: ξ ⊂гораздо больший:0, 9973 = P(|ξ| < 3) = P(|10 ξ| < 30),и дисперсия (показатель этого рассеяния) соответственно больше.То же самое показывает и коэффициент асимптотической нормальности.
Возьмём две АНО с коэффициентами 1 и 100:√√ ∗n(θ1 − θ∗ ) ⇒ N0,1 и n(θ∗2 − θ∗ ) ⇒ N0,100 .√ ∗При больших n разброс значенийвеличиныn(θ2 − θ∗ ) около нуля го√ ∗ ∗раздо больше, чем у величины n(θ1 − θ ), поскольку больше предельнаядисперсия (она же коэффициент асимптотической нормальности).Но чем меньше отклонение оценки от параметра, тем лучше. Получаеместественный способ сравнения асимптотически нормальных оценок.О п р е д е л е н и е 13. Пусть θ∗1 — АНО с коэффициентом σ21 (θ), θ∗2 —АНО с коэффициентом σ22 (θ). Говорят, что θ∗1 лучше, чем θ∗2 в смыслеасимптотического подхода, если для любого θ ∈ Θσ21 (θ) ⩽ σ22 (θ),и хотя бы при одном θ это неравенство строгое.П р и м е р 16.
Сравним между собой в асимптотическом смысле оценки в последовательности θ∗1 , θ∗2 , . . . из примера 15. Для θ∗k коэффициент43§ 3. Вопросы и упражненияθ2асимптотической нормальности имеет вид σ2k (θ) =. Коэффициент2k + 1тем меньше, чем больше k, т. е. каждая следующая оценка в этой последовательности лучше предыдущей.Оценка θ∗∞ , являющаяся «последней» оценкой в этой последовательности, могла бы быть лучше всех оценок в этой последовательности в смысле асимптотического подхода, если бы являлась асимптотически нормальной. Но если читатель решил задачу 7 к главе I или задачу 10 к главе II,он знает, что этой «последней» оценкой является X(n) , а она не асимптотически нормальна.Ещё раз напомним, что оценка θ̂ = X(n) оказывается лучше любойасимптотически нормальной оценки: «скорость» её сходимости к параметру, как показывает (10), равна n−1 в отличие от скорости n−1/2 ,которая наблюдается у любой АНО.§ 3.
Вопросы и упражнения1. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из равномерного распределения Uθ, θ+5 , где θ ∈ R. Сравнить оценки θ̂0 = X(n) − 5 и θ̂1 = X(1)из примера 11 (с. 29) в среднеквадратическом смысле. Сравнить с этимиоценками оценку метода моментов θ∗ = X − 2,5.2. Для показательного распределения с параметром α оценка,√полу-ченная методом моментов по k -му моменту, имеет вид: α∗k =kk!Xk.Сравнить оценки α∗k , k = 1, 2, . .
. в смысле асимптотического подхода.Доказать, что оценка α∗1 наилучшая.3. Выполнить все упражнения в тексте главы III.4. Получить утверждение теоремы Гливенко — Кантелли из утверждения и в условиях теоремы Колмогорова аналогично доказательству теоремы 12.5. Является ли оценка X +1 асимптотически нормальной оценкой дляпараметра λ распределения Пуассона Πλ ?6. Привести пример состоятельной оценки для параметра λ распределения Пуассона, которая не являлась бы АНО.7.
Дана выборка из показательного распределения с неизвестным параметром α > 0. Проверить асимптотическую нормальность оценки параметра α, полученной методом моментов по первому моменту.44ГЛАВА III. СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК8. Дана выборка объема n из распределения Пуассона с параметромλ > 0. Для какого параметра θ = θ(λ) оценка θ∗ = Xe−X является состоятельной оценкой? Проверить, является ли эта оценка асимптотическинормальной оценкой для того же параметра.9. Дана выборка X1 , . . . , Xn из распределения Пуассона с параметром λ > 0. Построить оценку метода моментов по первому моменту дляпараметра θ = P(X1 = 0).
Является ли эта оценка асимптотически нормальной?10. Пусть выборка X1 , . . . , Xn имеет нормальное распределениеNa, σ2 . Пусть Fn∗ (y) — эмпирическая функция распределения, a∗ — выборочная медиана:{X(m) ,если n = 2m − 1 (нечётно),a∗ =X(m) + X(m+1), если n = 2m (чётно).2a∗Доказать, что— асимптотически нормальная оценка параметра a .У к а з а н и е. Функция распределения порядковой статистики с номером m представляется в видеFX(m) (y) = P(X(m) < y) = P(Sn ⩾ m),где Sn = I(X1 < y) + . . . + I(Xn < y) — сумма независимых и одинаковораспределённых случайных величин. Представить в таком виде функцию√n−1распределения величины n(X(m) −a) при соответствующих m =,nnm=или m = + 1 и найти её предел по ЦПТ.22211.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из равномерного распредеθ.ления U0, θ , где θ > 0. Доказать, что X(n) ∈ Kb , где b = b(θ) = −n+1n+1Доказать, чтоX(n) ∈ K0 . Сравнить эти оценки в среднеквадратичnном смысле.Г Л А В А IVЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИВ классе одинаково смещённых оценок эффективной мы назвали оценкус наименьшим среднеквадратическим отклонением. Но попарное сравнениеоценок — далеко не лучший способ отыскания эффективной оценки. Сегодня мы познакомимся с утверждением, позволяющим во многих случаях доказать эффективность оценки (если, конечно, она на самом деле эффективна). Это утверждение называется неравенством Рао — Краме́ра и говорито том, что в любом классе Kb(θ) существует нижняя граница для среднеквадратического отклонения любой оценки.
Таким образом, если найдётсяоценка, отклонение которой в точности равно этой нижней границе (самоемаленькое), то данная оценка — эффективна, поскольку у всех остальныхоценок отклонение меньшим быть не может. К сожалению, данное неравенство верно лишь для так называемых «регулярных» семейств распределений, к которым не относится, например, большинство равномерных.§ 1.
Регулярность семейства распределенийПусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из параметрического семейства распределений Fθ , где θ ∈ Θ, а область Θ ⊂ R представляет собойконечный или бесконечный интервал. Пусть, как в главе II,{плотность fθ (y), если распределение абсолютно непрерывно,fθ (y) =Pθ (X1 = y),если распределение дискретно.Введём понятие носителя семейства распределений {Fθ , θ ∈ Θ}.О п р е д е л е н и е 14. Носителем параметрического семейства распределений Fθ будем называть любое множество C ⊆ R такое, что при всех= Fθ .θ ∈ Θ выполняется равенство P(X1 ∈ C) = 1 для X1 ⊂З а м е ч а н и е 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
