1625915145-5b3debabab98d9e994cc3a1bc8da0f5b (843876), страница 12
Текст из файла (страница 12)
, Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Построить точные доверительные интервалы для параметраα, используя статистики X1 и X(1) .Г Л А В А VIРАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМВ предыдущей главе мы построили в числе других точный доверительный интервал для параметра a нормального распределения при известномσ2 . Остался нерешённым вопрос: как построить точные доверительные интервалы для σ при известном и при неизвестном a, а также для a принеизвестном σ? Мы уже видели, что для решения этих задач требуетсяотыскать такие функции от выборки и неизвестных параметров, распределения которых не зависят от этих параметров. При этом сами искомыефункции не должны зависеть ни от каких лишних параметров. Особыйинтерес к нормальному распределению связан, разумеется, с центральнойпредельной теоремой: почти всё в этом мире нормально (или близко к тому).
В этой главе мы изучим новые распределения, связанные с нормальным, их свойства и свойства выборок из нормального распределения.§ 1. Основные статистические распределенияГамма-распределение. С гамма-распределением мы познакомилисьв курсе теории вероятностей. Нам понадобится свойство устойчивостипо суммированию этого распределения.Л е м м а 4. Пусть X1 , .
. . , Xn независимы, и ξi имеет гамма-распределение Γα, λi , i = 1, . . . , n. Тогда их сумма Sn = ξ1 + . . . + ξn имеетгамма-распределение с параметрами α и λ1 + . . . + λn .Оказывается, что квадрат случайной величины со стандартным нормальным распределением имеет гамма-распределение.Л е м м а 5. Если ξ имеет стандартное нормальное распределение,то ξ2 имеет гамма-распределение Γ1/2, 1/2 .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Найдём производную функции распределениявеличины ξ2 и убедимся, что она является плотностью распределения.При y ⩽ 0Fξ2 (y) = P(ξ2 < y) = 0, поэтому fξ2 (y) = 0.66ГЛАВА VI. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМПри y > 0√√√√Fξ2 (y) = P(ξ2 < y) = P(− y < ξ < y) = Fξ ( y) − Fξ (− y).Тогда()′√√√√fξ2 (y) = Fξ2 (y) = Fξ′ ( y) · ( y)′ − Fξ′ (− y) · (− y)′ =√√√ ) 1fξ ( y)1= fξ ( y) + fξ (− y) · √ = √= √(2 yy2πye−y/2 .Но функция fξ2 (y), равная 0 при y ⩽ 0 и равнаяfξ2 (y) = √1(1/2)1/2 1/2−1 −y/2e−y/2 =yeΓ(1/2)2πyпри y > 0, является плотностью гамма-распределения Γ1/2, 1/2 .Распределение χ2 Пирсона. Из лемм 4 и 5 следует утверждение.Л е м м а 6.
Если ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение, то случайная величинаχ2 = ξ21 + . . . + ξ2kимеет гамма-распределение Γ1/2, k/2 .В статистике это распределение играет совершенно особую роль и имеет собственное название.О п р е д е л е н и е 18. Распределение суммы k квадратов независимых случайных величин со стандартным нормальным распределениемназывается распределением χ2 (хи-квадрат) с k степенями свободы и обозначается Hk .Согласно лемме 6, распределение Hk совпадает с Γ1/2, k/2 . Поэтомуплотность распределения Hk равнаk− 1 −y/212e, если y > 0;yf (y) = 2 k/2 Γ(k/2)0,если y ⩽ 0.Заметим ещё, что H2 = Γ1/2, 1 = E1/2 — показательное распределениес параметром α = 1/2.Плотности распределений Hk при k = 1, 2, 4, 8 показаны на рис.
8.У п р а ж н е н и е . Доказать, что при k ⩾ 2 максимум плотности распределения Hk достигается в точке y = k − 2.§ 1. Основные статистические распределения67H1H20,5H402H86Рис. 8. Плотности χ2-распределений с различным числом степеней свободыРассмотрим свойства χ2-распределения. Устойчивость его относительно суммирования следует из устойчивости гамма-распределения.= Hk и ψ 2 ⊂= Hm незаС в о й с т в о 1. Если случайные величины χ2 ⊂22висимы, то их сумма χ + ψ имеет распределение Hk+m .Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство устойчивости можно доказать и непосредственно. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальное распределение.
Тогда случайная величинаχ2 распределена так же, как ξ21 + . . . + ξ2k , величина ψ2 распределенатак же, как ξ2k+1 + . . . + ξ2k+m , а их сумма — как ξ21 + . . . + ξ2k+m , т. е. имеетраспределение Hk+m .С в о й с т в о 2. Если величина χ2 имеет распределение Hk , тоE χ2 = kиD χ2 = 2k.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальное распределение. ТогдаD ξ21 = E ξ41 − (E ξ21 )2 = 3 − 1 = 2.E ξ21 = 1,Четвёртый момент стандартного нормального распределения мы вычислили в примере 23 (с. 52). ПоэтомуE χ2 = E(ξ21 + . . .
+ ξ2k ) = k,D χ2 = D(ξ21 + . . . + ξ2k ) = 2k.= Hn . Тогда при n → ∞С в о й с т в о 3. Пусть χ2n ⊂χ2nnp−→ 1,χ2n − n√2n⇒ N0, 1 .68ГЛАВА VI. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМД о к а з а т е л ь с т в о. При любом n случайная величина χ2n распределена так же, как ξ21 + . . . + ξ2n , где все случайные величины ξi независимыи имеют стандартное нормальное распределение. Применяя ЗБЧ и ЦПТ,получаем сходимостиξ21 + .
. . + ξ2nnp−→ E ξ21 = 1,ξ21 + . . . + ξ2n − n√2n=ξ21 + . . . + ξ2n − nE ξ21√nD ξ21⇒ N0, 1 ,равносильные утверждению свойства 3.Распределение Hn при небольших n табулировано. Однако при большом числе степеней свободы для вычисления функции этого распределения или, наборот, его квантилей пользуются различными аппроксимациями с помощью стандартного нормального распределения. Одно из приближений предлагается в следующем свойстве, более точную аппроксимациюУилсона — Хилферти читатель найдёт в упражнениях в конце главы.= Hn .
ТоС в о й с т в о 4 (а п п р о к с и м а ц и я Ф и ш е р а). Пусть χ2n ⊂гда при n → ∞ имеет место слабая сходимость√√22χn − 2n − 1 ⇒ N0, 1 ,поэтому при больших n можно( пользоватьсяаппроксимацией для функ)2ции распределения Hn (x) = P χn < x :(√)√Hn (x) ≈ Φ0,12x − 2n − 1 .(16)√√Д о к а з а т е л ь с т в о.
Заметим сначала, что2n − 2n − 1 → 0при n → ∞ (проверить!), поэтому достаточно обосновать сходимость√√22χn − 2n ⇒ N0, 1 .Домножим и поделим эту разность на сопряжённое, и представим результат в виде:√√χ2n − n22√· √2χn − 2n =.1+χ2n /n2nПервый сомножитель по свойству 3 сходится по вероятности к единице,а второй слабо сходится к N0, 1 . По свойствам слабой сходимости, их произведение слабо сходится к N0, 1 .Для доказательства (16) заметим, что)(√√√√( 2)2P χn < x = P 2χn − 2n − 1 < 2x − 2n − 1 .§ 1.
Основные статистические распределения69С в о й с т в о 5. Если случайные величины ξ1 , . . . , ξk независимыи имеют нормальное распределение Na,σ2 , тоχ2k=k ()∑ξi − a 2σi=1= Hk .⊂У п р а ж н е н и е . Доказать свойство 5.Распределение Стью́дента. Английский статистик Госсет, публиковавший научные труды под псевдонимом Стьюдент, ввёл следующее распределение.О п р е д е л е н и е 19. Пусть ξ0 , ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Распределение случайной величиныtk = √ξ0ξ21 + . .
. + ξ2kkназывается распределением Стью́дента с k степенями свободы и обозначается Tk .Распределение Стьюдента совпадает с распределением случайной веξ= N0, 1 и χ2 ⊂= Hk независимы.личины tk = √, где ξ ⊂kχ2k / kЧитатель может найти плотность распределения Стьюдента самостоятельно, либо посмотреть, как это делается в [1, § 2, гл. 2]. Плотностьраспределения Стьюдента с k степенями свободы равна)−(k+1)/2() (Γ (k + 1)/2y2.(17)fk (y) = √1+πk Γ(k/2)kС в о й с т в о 6. Распределение Стьюдента симметрично: если случайная величина tk имеет распределение Стьюдента Tk с k степенями свободы, то и −tk имеет такое же распределение.У п р а ж н е н и е .
Доказать.С в о й с т в о 7. Распределение Стьюдента Tn слабо сходится к стандартному нормальному распределению при n → ∞.pД о к а з а т е л ь с т в о. По свойству 3, χ2n / n −→ 1 при n → ∞. Посвойствам слабой сходимости получаемtk = √ξχ2k / k= N0, 1 .,⇒ ξ ⊂70ГЛАВА VI. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМГрафики плотностей стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента приведены для сравнения на рис.
9.N0,1TkРис. 9. Плотности распределений Tk и N0, 1Отметим, что распределение Стьюдента табулировано: если в какихто доверительных интервалах появятся квантили этого распределения,то мы найдём их по соответствующей таблице, либо, при больших n, используем нормальную аппроксимацию для распределения Стьюдента.Распределение Стьюдента с одной степенью свободы есть стандартноераспределение Коши. Действительно,если подставить k = 1 в плотность√(17) и учесть Γ(1/2) = π и Γ(1) = 1, то получится плотность распределения Коши:)−11 (f1 (y) =1 + y2.πУ п р а ж н е н и е . Как получить случайную величину с распределением Коши, имея две независимые случайные величины со стандартнымнормальным распределением?С в о й с т в о 8.
У распределения Стьюдента существуют только моменты порядка m < k и не существуют моменты порядка m ⩾ k. Приэтом все существующие моменты нечётного порядка равны нулю.У п р а ж н е н и е . Рассмотрите плотность (17) и убедитесь в сходимости или расходимости на бесконечности при соответствующих m интегралов∞∫1C(k) ·|y|m ·dy.2 (k+1)/2−∞(k + y )= T2 ?У п р а ж н е н и е . Существует ли Dt2 , если t2 ⊂71§ 1.
Основные статистические распределенияРаспределение Фишера. Следущее распределение тоже тесно связанос нормальным распределением, но понадобится нам не при построениидоверительных интервалов, а чуть позже — в задачах проверки гипотез.Там же мы поймём, почему его называют распределением дисперсионногоотношения.О п р е д е л е н и е 20. Пусть χ2k имеет распределение Hk , а ψn2 — распределение Hn , причём эти случайные величины независимы. Распределение случайной величиныfk, n =χ2k / k2 /nψn=n χ2k·k ψn2называется распределением Фишера с k и n степенями свободы и обозначается Fk, n .Свойства распределения Фишера (или Фишера — Снедекора):С в о й с т в о 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
