Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (841918), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда dx = −4dt , dy = −8dt и поэтому∫BA1ydx + x 2 dy = ∫ ( (9 − 8t )(−4) + (3 − 4t ) 2 (−8) ) dt =0{замена: 4t = τ}4= ∫ ⎡⎣ (9 − 2τ)(−1) + (3 − τ) 2 (−2) ⎤⎦ d τ =04= ∫ ( −2τ2 + 14τ − 27 ) d τ = −0128116+ 112 − 108 = −.33148 116 32−= .333Вычислим этот же интеграл по формуле Грина. ЗдесьP ( x, y ) = y, Q( x, y ) = x 2 , уравнение прямой АВ y = 2 x + 3, контурГ ограничивает область D, заданную неравенствами (см. рис. 4.7):−1 ≤ x ≤ 3,x 2 ≤ y ≤ 2 x + 3.Следовательно, вся циркуляция J =Поэтому в соответствии с формулой Грина (4.5) циркуляция32 x +3⎛ ∂ ( x 2 ) ∂y ⎞− ⎟ dxdy = ∫ dx ∫ (2 x − 1)dy =J = v∫ ydx + x 2 dy = ∫∫ ⎜∂x∂y ⎠−1ГD ⎝x23= ∫ dx ( 2 x − 1) ( 2 x + 3 − x 2 ) =−1(3∫ ( −2 x3−1= − 1 x 4 + 5 x3 + 2 x 2 − 3x23Ответ: J =+ 5 x 2 + 4 x − 3) dx =)3−1=32.332.3514.4.
Потенциальные и безвихревые векторные поляна плоскостиОсновные определения. Векторное поле, заданное в областиΩ ⊆ R 2 , называется потенциальным в этой области, если существует такое скалярное поле U ( x, y ), что F = gradU в каждой точке области Ω. Скалярное поле U называется в этом случае потенциалом векторного поля F. А именно скалярное поле U ( x, y )является потенциалом векторного поля F ( x, y ) = P ( x, y )i +∂U∂U= P( x, y ),= Q ( x, y ) во всех точках обла+ Q( x, y ) j , если∂x∂yсти Ω.
Потенциал потенциального поля определен с точностью доскалярной константы.Векторное поле на плоскости F ( x, y ) = P ( x, y )i + Q( x, y ) jназывается безвихревым в области Ω, если в каждой точке этой∂Q ∂P=области выполняется условие rot F = 0, т. е..∂x ∂yxyПример 4.6. Плоское векторное поле F = 2i+ 2j2x +yx + y2потенциально в области Ω, состоящей из всех точек плоскости R 2 ,за исключением начала координат.
Его потенциалом является скалярное поле U = ln x 2 + y 2 = 12 ln ( x 2 + y 2 ) , существующее приx 2 + y 2 > 0 , его частные производные∂Ux∂Uy=,=,∂x x 2 + y 2 ∂y x 2 + y 2поэтому gradU = F . Свойства потенциального поля на плоскости:1) если плоское поле F = P ( x, y )i + Q( x, y ) j потенциально вобласти Ω и частные производные первого порядка его компонентP ( x, y ) и Q( x, y ) непрерывны в области Ω, то это поле является∂Q ∂P=в каждой точке этой области;безвихревым в Ω, т. е.∂x ∂y2) если поле F потенциально в области Ω и U — его потенциал,то криволинейный интеграл второго рода — работа поля F — по52любому пути, ведущему от данной точки А к другой данной точке В, не зависит от формы этого пути внутри области Ω и равенразности значений потенциала U:B∫ (F ⋅ dl ) = U ( B) − U ( A);A3) если поле F потенциально в области Ω, то циркуляцияполя F по любому замкнутому контуру С, расположенному внутриΩ, равна нулю: v∫ ( F ⋅ dl ) = 0.CСвойства безвихревого векторного поля на плоскости.
Пустьвекторное поле F является безвихревым в области Ω. Тогда:1) если два ориентированных пути L1 и L2 (оба из точки А вточку В или оба замкнутые) эквивалентны относительно области Ω, то ∫ ( F ⋅ dl ) = ∫ ( F ⋅ dl );L1L22) если замкнутый контур С стягиваем в точку относительнообласти Ω, т.
е. область, ограниченная контуром С, целиком лежитв области Ω, то циркуляция поля F по этому контуру равна нулю:∫ ( F ⋅ dl ) = 0;C3) если область Ω на плоскости односвязна, то поле F потенциально в Ω.Нахождение потенциала безвихревого поля в односвязнойобласти на плоскости. Потенциал U ( x, y ) безвихревого векторного поля F = P ( x, y )i + Q( x, y ) j в односвязной области можнонайти двумя способами:∂U= P ( x, y ) следует восстановитьа) сначала из условия∂xU ( x, y ), т. е. проинтегрировать функцию P( x, y ) по х (при постоянном у), получим некоторую функцию Φ ( x, y ) и некоторую произвольную постоянную (зависящую от у):U ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dxy = constа функцию C ( y ) найдем из условия= Φ ( x, y ) + C ( y ),∂U= Q( x, y );∂y53б) выберем произвольную точку отсчета M ( x0 ; y0 ), в которойпотенциал U будет равен нулю, тогдаMU ( x, y ) =∫M( F ⋅ dl ) =M0∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy.M0В силу потенциальности поля путь из точки M 0 в M ( x; y )можно выбирать произвольно, в частности, это может быть ломаная M 0 NM , где M 0 N & OX , а NM & OY , т.
е. точка N имеет координаты N ( x; y0 ). Тогда вдоль отрезка M 0 N параметром являетсяx = t , dx = dt , dy = 0, а на отрезке NM y = t , x = const, dx = 0,dy = dt. Получим формулуNU ( x, y ) = U ( M ) =∫M0M( F ⋅ dl ) + ∫ ( F ⋅ dl ) =Nxyx0y0= ∫ P (t , y0 ) dt + ∫ Q( x, t ) dt.(4.6)4.7. Проверить, потенциально ли поле F =1⎞⎛= ( 3e3 x + 2 xy ) i + ⎜ x 2 − ⎟ j в области Ω = {( x, y ) ∈ R 2 y > 0} иy⎠⎝найти его потенциал.∂Q ⎛ 2 1 ⎞′= x − ⎟ = 2 x = ( 3e3 x + 2 xy )′y =Решение.
В нашем случаеy ⎠x∂x ⎜⎝∂P=, следовательно, поле F является безвихревым и, поскольку∂yобласть Ω односвязна, то и потенциальным. Сначала найдем потенциал первым способом:ПримерU ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dxy = const= ∫ (3e3 x + 2 xy )dxy = const= e3 x + x 2 y + C ( y );∂U1= ( e3 x + x 2 y + C ( y ) )′y = x 2 + C ′( y ) = Q( x, y ) = x 2 − ⇒∂yy1⇒ C ′( y ) = − .y54ТакимC ( y ) = − ln yобразом,иокончательноU ( x, y ) == e + x y − ln y.Применим второй способ. Выберем в области Ω точкуM 0 (0;1), получим по формуле (4.6)3x2yx1⎞⎛U ( x, y ) = ∫ ( 3e + 2t ⋅1) dt + ∫ ⎜ x 2 − ⎟ dt =t⎠⎝013t= ( e 3t + t 2 )t=xt =0+ ( x 2t − ln t )t= yt =1== e3 x − 1 + x 2 + x 2 y − x 2 − ln y = e3 x + x 2 y − ln y − 1.Видно, что полученный потенциал на константу (равную –1)отличается от потенциала, найденного первым способом.
Вычисление работы потенциального поля. Если полеF = P ( x, y )i + Q( x, y ) j потенциально, то криволинейный интегралB∫ ( F ⋅ dl )не зависит от формы пути, ведущего из А в В, и его мож-Aно вычислить двумя способами.1. Найти потенциал U ( x, y ) (способом а) и тогдаB∫ ( F ⋅ dl ) = U ( B) − U ( A).A2. Выбрать наиболее удобный для вычисления путь L из А в В,параметризовать его и вычислить непосредственно:B∫ ( F ⋅ dl ) = ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy.AL1⎞⎛Пример 4.8.
Найти работу поля F = ( 3e3 x + 2 xy ) i + ⎜ x 2 − ⎟ jy⎠⎝вдоль пути от точки A(2; 3) до точки B (0; 6).Решение. 1-й способ. Поскольку данное поле потенциально(см. пример 4.7) и его потенциал U известен U ( x, y ) == e3 x + x 2 y − ln y , искомая работа W равна разности потенциалов:55BW = ∫ ( F ⋅ dl ) = U ( B ) − U ( A) = ( e3 x + x 2 y − ln y )AB (0; 6)=A(2; 3)= 1 − ln 6 − e6 − 12 + ln 3 = −11 − e6 − ln 2.2-й способ. Так как искомая работа векторного поля не зависитот формы пути, можно выбрать любой путь, проще всего ломануюАСВ со звеньями, параллельными осям координат, где C (0; 3)(рис.
4.8). На отрезке АС применим такую параметризацию: x = tизменяется от 2 до 0, dx = dt , y = 3, dy = 0, а на отрезке СВ x = 0,dx = 0, y = t изменяется от 3 до 6. ТогдаW=C (0; 3)B (0; 6)A (2; 3)C (0; 3)∫ ( F ⋅ dl ) + ∫ ( F ⋅ dl ) =061= ∫ ( 3e3t + 6t ) dt − ∫ dt =t23= ( e3t + 3t 2 )t=0t=2− ln tt=6t=3== 1 − e6 − 12 − ln 6 + ln 3 = −11 − e6 − ln 2.Рис.
4.8Ответ: W = −11 − e6 − ln 2 . Циклические постоянные безвихревого поля на плоскости.Если векторное поле F является безвихревым во всей плоскости,за исключением конечного числа особых точек M 1 , M 2 , ..., M n , тодля этих точек M i , i = 1, ..., n однозначно определены постоянныеCi ∈ R, i = 1, ..., n (циклические постоянные), такие, что циркуляция векторного поля F по произвольному замкнутому контуру:а) равна нулю, если контур не охватывает ни одну из этих точек M i ;б) равна Ci , если контур охватывает только точку M i один раз(в положительном направлении);в) равна k1C1 + ... + kn Cn , если контур охватывает каждую из точек M i ровно ki раз ( ki ∈ Z ), i = 1, ..., n ( ki < 0 при обходе точкиM i в отрицательном направлении, т.
е. по часовой стрелке).56Пример 4.9. Векторное полеF ( x, y ) =yxi− 2j2x +yx + y22определено в области Ω = R 2 \{0} и является там безвихревым.В самом деле,⎛x ⎞′ ⎛ y ⎞′x2 − y 2y 2 − x2rotF = ⎜ − 2−=+= 0.⎜ 22 ⎟2 ⎟22 2( x 2 + y 2 )2⎝ x + y ⎠x ⎝ x + y ⎠ y ( x + y )Однако это векторное поле не является потенциальным, так какего циркуляция C по замкнутому контуру Г, охватывающемуначало координат, не равна нулю. Действительно, возьмем контурГ — окружность радиусом 1, ее параметризация x = cos t , y = sin t ,t изменяется от 0 до 2π.
Получим dx = − sin t dt , dy = cos t dt иC = v∫Гydx − xdy=x2 + y 22π∫02πsin t (− sin t ) − cos t cos tdt = − ∫ dt = −2π.cos 2 t + sin 2 t0Это и есть циклическая постоянная, соответствующая особойточке O(0; 0).Тем не менее в любой односвязной подобласти областиΩ = R 2 \{0},например, в правой полуплоскостиΩ2 == {M ( x; y ) x > 0} поле F является потенциальным. В самом деле,легко проверить, что скалярное поле U = − arctg ( y/x) определено вэтой области Ω 2 и его градиентy ⎞′y ⎞′⎛⎛gradU = ⎜ − arctg ⎟ i + ⎜ − arctg ⎟ j =x ⎠x ⎝x ⎠y⎝yx= 2i− 2j = F.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
