Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (841918), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Вычислить работу постоянного векторного поля F = i + 2 jвдоль кривой, заданной в полярных координатах r = 1 + cos ϕ сначалом ϕ = 0 и концом ϕ = π.2.7. Вычислить интеграл второго рода от векторного поляF ( x, y, z ) вдоль указанного пути L:а) F ( x, y, z ) = ( y − z )i + ( z − x) j + ( x − y )k , путь L задан параметрив) параболы 4 x = 3 y 2 ;г) эллипсачески: x = et , y = e −2t , z = e3t , t изменяется от 0 до 1;б) F ( x, y, z ) = − z 3 yi + z 3 xj + ( x 2 + y 2 + z 2 )k , путь L задан параметрически: x = cos3t , y = sin 3t , z = t , t изменяется от 0 до 1.2.8. Вычислить непосредственно (т. е. не используя формулуГрина) циркуляцию векторного поля F ( x, y ) по заданному замкнутому контуру С на плоскости:а) F = yi + xyj , контур С состоит из части графика y = log 2 x и отрезков прямых x = 2, y = 0, направление обхода A(1; 0) →→ B (2;1) → C (2; 0) → A;б) F = ( x + y )i + ( y − x) j , контур С состоит из дуги окружностиx 2 + y 2 = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 и ее хорды, обход — против часовойстрелки.2.9.
Вычислить непосредственно:а) v∫ ( x 2 + 2 y )dx + ( x − y )dy, контур С есть треугольник АВС, гдеCA(0; 0), B (1;1), C (2; 0), обход против часовой стрелки;б)v∫ ( x − 2 y)dx + ( y + x)dy,С есть треугольник АВС, где A(0;1),CB (0; 2), C (−1; 0), обход — по часовой стрелке;в)v∫ (2 x − y)dx + (3x + 4 y )dy,контур С есть окружность радиусом 3Cс центром в точке C (2; − 1), обход — против часовой стрелки;27г)v∫ ydx + 2 xdy, контур С есть эллипсC( x − 1) 2+ ( y − 3) 2 = 1, обход4против часовой стрелки.2.10. Вычислить непосредственно циркуляциюv∫ ydx + zdy − xdz,Cгде:а) С есть треугольник АВС: A(1; 3; 4), B (2;1;1), C (3; 2; 2), обходA → B → C → A;б) С есть линия пересечения сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 и плоскостиx − y + z = 1 , обход A(1; 0; 0) → B (0; − 1; 0) → C (0; 0;1) → A.28Глава 3.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫПоверхностный интеграл — это интеграл от скалярной иливекторной функции нескольких переменных, т. е. от скалярногоили векторного поля, вычисленный по некоторой поверхности впространстве.3.1. Поверхностные интегралы первого родаФорма записи и основные свойства поверхностного интеграла первого рода. Будем считать известными определение исвойства поверхностного интеграла первого рода, т. е.
интегралаот скалярной функции f ( x, y , z ) по кусочно-гладкой поверхностиσ, расположенной в пространстве, обозначаемого∫∫ f ( x, y, z )dS.σОтметим лишь два его свойства:а) линейность:∫∫ ( α f ( x, y, z ) + β g ( x, y, z ) ) dS = α ∫∫ f ( x, y, z ) dS + β ∫∫ g ( x, y, z ) dS ;σσσб) аддитивность: если поверхность σ есть объединение двухповерхностей σ1 и σ2 , не пересекающихся или пересекающихсяпо некоторой линии — их общей границе или ее части(σ = σ1 ∪ σ2 ), то∫∫σ1 ∪σ2f ( x, y , z )dS = ∫∫ f ( x, y, z )dS + ∫∫ f ( x, y , z )dS .σ1σ2Вычисление поверхностного интеграла первого рода:а) пусть поверхность σ задана явно, т. е.
уравнениемz = z ( x, y ), ( x; y ) ∈ D, где D — некоторая плоская область; тогда∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z ( x, y))σ1 + ( z ′x ) 2 + ( z ′y ) 2 ⋅ dxdy;D29б) пусть поверхность σ задана параметрически: x = x(u , v),y = y (u , v), z = z (u, v), (u , v) ∈ D; тогда∫∫ f ( x, y, z)dS = ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ⋅ J (u, v) ⋅ dudv,σDгде J (u , v) = EG − F 2 , E = ( xu′ ) 2 + ( yu′ ) 2 + ( zu′ ) 2 , G = ( xv′ ) 2 + ( yv′ ) 2 ++ ( zv′ ) 2 , F = xu′ xv′ + yu′ yv′ + zu′ zv′ .В частности, если поверхность — сфера радиусом R с центромв начале координат и положение точки M ( x, y, z ) на сфере задается двумя числами ϕ и θ, имеющими тот же смысл, что и для сферической системы координат (рис. 3.1), т. е.
x = R cos θ cos ϕ,y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ (единственное отличие здесь R == const), то J = R 2 cos θ. Если представить сферу как модель земного шара радиусом R, а начало координат — в его центре, ось OZсовпадающей с осью вращения Земли, ось ОХ проходящей через нулевой меридиан, то координаты ϕ иθ — это в точности географическиекоординаты точки М — долгота иширота, причем положительные(отрицательные) значения угла ϕсоответствуют восточной (западной)долготе, а положительные (отрицательные) значения угла θ — северРис.
3.1ной (южной) широте. На рис. 3.1точка А имеет координаты ϕ = θ = 0.Ньютонов потенциал поверхности. Если на поверхности σзадана плотность μ( x, y, z ) , то ньютоновым потенциалом этойповерхности в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) называют поверхностный интегралμ ( x, y , z )U σ ( M 0 ) = ∫∫dS ,defMM 0σгде MM 0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 — расстояние от точкиМ0 до произвольной точки M ( x; y; z ) на поверхности σ.30Пример 3.1. Заряд Q равномерно распределен на полусфере σрадиусом R с центром в точке О. Точка M 0 удалена от центра полусферы на расстояние d, причем отрезок OM 0 перпендикуляренплоскости границы полусферы, а точка M 0 расположена от этойплоскости по ту же сторону, что и полусфера.
Найти: а) ее ньютонов потенциал в точке M 0 и вычислить его значение при:б) d = 4 R; в) d = 3 R.43Решение. Выберем декартовусистему координат так, чтобыцентр полусферы находился вначале координат, а точка M 0имела координаты M 0 (0; 0; d )(рис. 3.2). Тогда уравнение полусферы σ: x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z ≥ 0 ,и для точки M ( x, y, z ) ∈ σ сосферическимикоординатамиM (ϕ; θ) угол ∠M 0OM = 90° − θ ,поэтомуMM 0 =расстояниеРис. 3.2= d 2 + R 2 − 2dR sin θ. Плотность зарядов в любой точке μ =QQ==. Следовательно, искомый потенциал в точке M 0S (σ) 2πR 2U σ ( M 0 ) = ∫∫σ2ππ/ 2= μ ∫ dϕ ∫0= μ ⋅ 2πR 20π/ 2∫0μd + R − 2dR sin θ22R 2 cos θd 2 + R 2 − 2dR sin θdS =dθ =cos θd 2 + R 2 − 2dR sin θdθ =⎧t = d 2 + R 2 − 2dR sin θ ⇒ dt = −2dR cos θd θ⎫⎪⎪⎨ θ = 0 ⇒ t = d 2 + R 2 , θ = π ⇒ t = (d − R)2 ⎬⎪⎩⎪⎭231d 2 + R2Q ⋅ 2πR 2dt==∫22πR ⋅ 2dR ( d − R )2 t=QdR()d 2 + R 2 − (d − R) 2 =Q( 2d + R2 − d − R ).dRВ частности, если d = 4 R, то3⎛⎜4 R⋅R⎝3Если же d = 3 R,4Q ⎛U=⎜3 R⋅R⎝4U=)(16 R 2 + R 2 − 4 R − R ⎞ = 3Q 5 R − 1 R = Q .⎟933⎠ 4R2 3RQто)(9 R 2 + R 2 − 3 R − R ⎞ = 4Q 5 R − 1 R = 4Q .⎟1644⎠ 3R 2 43R4QQ ( 2Q.
d + R 2 − d − R ) ; б) ; в)R3RdRПоверхностный интеграл первого рода от векторной функции. Пусть задана гладкая поверхность σ. Поверхностный интеграл (первого рода) от векторного поляF ( x , y , z ) = P ( x, y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) kОтвет: а) U =по поверхности σ определяется покомпонентно:∫∫ F ( x, y, z )dS = i ⋅ ∫∫ P( x, y, z )dS + j ⋅ ∫∫ Q( x, y, z )dS + k ⋅ ∫∫ R( x, y, z)dS.σσσσПриложения к физике.
Если G ( x, y, z ) и μ( x, y, z ) — гравитационное (электрическое) поле и плотность массы (заряда) в точкеM ( x, y, z ) поверхности σ соответственно, то со стороны поля на этуповерхность действует сила F == ∫∫ G ( x, y, z )μ( x, y, z ) dS . В частноσРис. 3.332сти, сила притяжения между точечной массой m, расположенной вточке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ), и поверхно-стью σ, на которой распределена плотность μ( x, y, z ) (рис. 3.3),rвычисляется по формуле F = γμ ∫∫ 3 dS , где r = M 0 M = ( x − x0 )i +rσ+ ( y − y0 ) j + ( z − z0 ) k , r = r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ; γ —универсальная гравитационная постоянная; M ( x; y; z ) — произвольная точка поверхности σ.3.2. Поверхностные интегралы второго родаОпределение ориентируемой поверхности и поверхностногоинтеграла второго рода.
Гладкая поверхность σ называется двусторонней, или ориентируемой, если в каждой точке M ( x; y; z )на этой поверхности можно задать векторную функцию единичнойнормали n( x, y, z ) к этой поверхности, причем эта функция непрерывна на σ. Поверхность, не удовлетворяющая этим условиям,называется односторонней.Пример 3.2. Рассмотрим полоску бумаги в виде прямоугольника ABCD. Один конец (CD) этой полоски перекрутим на 180° иконцы полоски склеим: точку А с точкой С, а точку В с точкой DРис. 3.433(рис.
3.4). Полученная поверхность называется листом Мёбиусаи служит примером односторонней поверхности, так как, например, муха легко может переползти с «одной» ее стороны на «другую» (на самом деле, ту же самую), не перебираясь через край. Хорошо вам знакомые плоскости, эллипсоиды, параболоиды, конусы, гиперболоиды и их части — двусторонние поверхности.В дальнейшем всякую двустороннююповерхность будем указывать вместе с одним из двух возможных направлений нормали n ( x, y, z ) . Если поверхность выпуклая, то одно из направлений ее нормалипоказываетнаружу (рис.
3.5), а другое —Рис. 3.5внутрь.Пусть F ( x, y, z ) — векторное поле. Поверхностным интегралом второго рода, или потоком векторного поля F через ориентируемую поверхность σ с нормалью п, называется поверхностный интеграл∫∫ ( F ⋅ ds ) def= ∫∫ ( F ( x, y, z ) ⋅ n ( x, y, z ) ) dS ,σσгде ds = n ⋅ dS (вектор, направленный вдоль нормали n, по модулюравный элементу площади поверхности); интегрируется скалярноепроизведение вектора поля на единичную нормаль к поверхности,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
