Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (841918), страница 6
Текст из файла (страница 6)
41Пример 3.6. Вычислить поток Фвекторного поля F = xi − zj черезчасть сферы: x 2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0,y ≤ 0, нормаль обращена наружусферы (рис. 3.13).Решение. Параметризуем поверхность σ (часть сферы радиусомR = 2 ):x = 2cos θ cos ϕ, y = 2cos θ sin ϕ,πz = 2sin θ, 0 ≤ θ ≤ , −π ≤ ϕ ≤ 0.2Рис.
3.13ТогдаF = 2cos θ cos ϕ ⋅ i − 2sin θ ⋅ j .Находимrθ = xθ′ i + yθ′ j + zθ′ k == −2sin θ cos ϕ i − 2sin θ sin ϕj + cos θk ,rϕ = xϕ′ i + yϕ′ j + zϕ′ k = −2cos θ sin ϕ i + 2cos θ cos ϕ j.Их смешанное произведение2cos θ cos ϕ−2sin θ0( Frθ rϕ ) = −2sin θ cos ϕ −2sin θ sin ϕ 2cos θ =−2cos θ sin ϕ 2cos θ cos ϕ0= 8cos 2 θ sin θ sin ϕ − 8cos3θ cos 2 ϕ.Векторы rθ и rϕ являются касательными к сфере и направленытак: первый вдоль меридиана сферы в сторону возрастания широты θ, а второй вдоль параллели в сторону увеличения долготы, поэтому вектор нормали п и два эти вектора вместе образуют левуютройку (n, rθ , rϕ ).
Следовательно, искомый потокπ/ 200−πΦ = − ∫ d θ ∫ ( Frθ rϕ ) d ϕ =42π/ 200−π= − ∫ d θ ∫ (8cos 2 θ sin θ sin ϕ − 8cos3θ cos 2 ϕ) d ϕ =π/ 20π/ 200−π0−π= −8 ∫ cos 2 θ sin θ d θ ∫ sin ϕ d ϕ + 8 ∫ cos3 θ d θ ∫ cos 2 ϕ d ϕ =12 π 16 + 8π= −8 ⋅ ⋅ (−2) + 8 ⋅ ⋅ =.33 2316 + 8πОтвет: Φ =. 3Пример 3.7. Вычислить поток электрического поля точечногозаряда Q через сферу радиусом R с центром в этой точке, нормальнаправлена наружу.Решение. Пусть заряд Q находится в начале координат.
Какизвестно, напряженность электрического поля в произвольнойkQточке М E = 3 r , где r = OM — радиус-вектор точки М, r = r ;rk — постоянный коэффициент (зависящий от системы единиц).1Единичная нормаль в любой точке М сферы n = r , поэтому проrекция вектора поля Е на вектор нормали в любой точке сферы бу⎛ kQ 1 ⎞ kQ ⋅ r 2 kQдет ( E ⋅ n) = ⎜ 3 r ⋅ r ⎟ == 2 = const = C (поскольку r = R⎝rr ⎠r4Rна сфере).
Следовательно, поток равен произведению этой конkQ2станты на площадь сферы: Φ = w∫∫ ( E ⋅ n)dS = C Sсферы = R 2 ⋅ 4πR =σ= 4πkQ, т. е. не зависит от радиуса сферы.Ответ: Φ = 4πkQ . 3.3. Задачи для самостоятельного решения∫∫3.1. Вычислить поверхностный интеграл первого родаf ( x, y, z )dS от функции f ( x, y, z ) по данной поверхности σ:σа) f ( x, y, z ) = x 2 − y + 2 z , σ естьA(1; 0; 0), B (1;1; 0), C (0; 0;1);треугольниксвершинами43б) f ( x, y, z ) = x 2 y 2 z ,σестьчастьповерхностицилиндраy + z = 4, z ≥ 0, −1 ≤ x ≤ 1;22в) f ( x, y , z ) =x2 z, σ есть полусфера x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0.1+ x + y3.2.
Найти ньютонов потенциал сферы радиусом R с равномерно распределенной массой М в точке, удаленной от центра сферына расстояние d. Рассмотреть два случая: а) d > R; б) d < R.3.3. Найти силу притяжения между точечной массой т, расположенной на расстоянии d от центра сферы радиусом R и массой М, распределенной по сфере равномерно. Рассмотреть дваслучая: а) d > R; б) d < R.3.4. Вычислить поток векторного поля F ( x, y, z ) через даннуюповерхность с указанным направлением нормали:а) F = yi + zj − xk , σ есть треугольник с вершинами A(2; 2; 0),B (0; 2; 0), C (0; 0;1), нормаль образует острый угол с осью OZ;22б) F = − yi + xj + zk , σ — боковая поверхности конуса x 2 + y 2 == z 2 , 0 ≤ z ≤ 1, нормаль внешняя;в) F = yi + xj + zk , σ — параболоид z = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1, нормальобразует острый угол с осью OZ.44Глава 4.
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗАНА ПЛОСКОСТИ4.1. Векторно-дифференциальные операции над скалярнымии векторными полями на плоскостиПроизводной по направлению s{ p; q} ≠ 0 скалярного поляU ( x, y ) в точке M ( x0 ; y0 ) называется предел∂UU ( x0 + pt , y0 + qt ) − U ( x0 , y0 ).( M 0 ) = tlim→0+∂st⋅ sВ частности, если s — единичный вектор, образующий с осью ОХугол α, то∂UU ( x0 + t cos α, y0 + t sin α) − U ( x0 , y0 ).( M 0 ) = tlim→+0∂stГрадиентом скалярного поля U ( x, y ) на плоскости называетсявекторное поле∂U∂Ui+j.gradU =(4.1)∂x∂yКак известно из курса дифференциального исчисления функций нескольких переменных, производная поля U по направлению s равна проекции градиента поля U на это направление:∂U= Pr s ( gradU ) .∂sДивергенцией векторного поля F = P ( x, y )i + Q( x, y ) j на плоскости называется скалярное поле∂P ∂Q+div F =.(4.2)∂x ∂y45Ротором (или вихрем) векторного поля F = P ( x, y )i + Q( x, y ) jна плоскости называется скалярное5 поле∂Q ∂P− .(4.3)rot F =∂x ∂yЛапласианом скалярного поля U ( x, y ) называется скалярноеполеΔU = div grad U =∂ 2U ∂ 2U+.∂x 2 ∂y 2(4.4)Замечание 4.1.
Определения градиента, дивергенции и ротора(а следовательно, и лапласиана) нами были даны в конкретнойпрямоугольной системе координат с помощью формул (4.1)—(4.4).Можно дать другие, инвариантные относительно системы координат определения градиента, дивергенции и ротора, и затем вывести(4.1)—(4.3) как формулы для их вычисления.Вот, например, инвариантное от системы координат определение ротора векторного поля на плоскости в точке M 0rot F ( M 0 ) = limD →M 0v∫ ( F ⋅ dl )∂( D)S ( D),где запись D → M 0 означает, что плоская область D стягиваетсяк точке M 0 , т.
е. M 0 ∈ D, а диаметр области D стремится к нулю.Можно также сохранить формулы (4.1)—(4.3) как определенияи затем доказать инвариантность этих формул, т. е. доказать, чтоформулы (4.1)—(4.3) сохраняют свой вид в любой другой прямоугольной системе координат.Пример 4.1. Найти:а) градиент скалярного поля U = x3 + sin( xy 2 ) − arctg y;б) дивергенцию и ротор векторного поля F = ( x 2 + 2 y ) i ++ (3xy + y 3 ) j;в) лапласиан скалярного поля U = x3 − 3 xy 2 + y 3 .—————5В трехмерном пространстве ротор векторного поля представляет собой ужевекторное поле.46Решение:а) gradU =∂U∂Ui+j = ( x3 + sin( xy 2 ) − arctg y )′x i +∂x∂y1 ⎞⎛+ ( x3 + sin xy 2 − arctg y )′y j = ( 3x 2 + y 2 cos xy 2 ) i + ⎜ 2 xy cos xy 2 −j;1 + y 2 ⎟⎠⎝б) div F = ( x 2 + 2 y )′ + ( 3xy + y 3 )′ = 2 x + 3x + 3 y 2 = 5 x + 3 y 2 ;xyrot F = ( 3xy + y 3 )′x − ( x 2 + 2 y )′y = 3 y − 2;в) ΔU = ( x 3 − 3 xy 2 + y 3 )′′xx + ( x 3 − 3 xy 2 + y 3 )′′yy == 6 x + (−6 x + 6 y ) = 6 y.
Пример 4.2. Доказать, что если U ( x, y ) — скалярное поле наплоскости с непрерывными частными производными второго порядка, то rot ( gradU ) = 0.Решение:∂U⎛ ∂Ui+rot ( gradU ) = rot ⎜∂y⎝ ∂x⎞ ⎛ ∂Uj⎟ = ⎜⎠ ⎝ ∂y⎞′ ⎛ ∂U⎟ − ⎜⎝ ∂x⎠x⎞′ ∂ 2U ∂ 2U−= 0,⎟ =⎠ y ∂x∂y ∂y∂xпоскольку смешанные производные второго порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны (если они непрерывны).
Напомним некоторые известные факты:а) градиент скалярного поля U в каждой точке показываетнаправление, в котором поле U растет быстрее всего;б) градиент скалярного поля на плоскости в каждой точкеперпендикулярен к линии уровня этого поля, проходящей через этуточку.4.2. Связные и односвязные плоские множестваМножество D плоскости (или пространства) называется связным (точнее, линейно связным), если две любые его точки А и Вможно соединить непрерывной линией, целиком находящейся вмножестве D. Плоское множество D называется односвязным, если оно связно и любой замкнутый контур внутри него ограничивает некоторое множество, целиком лежащее в области D.47Пример 4.3.
Множество плоскости XOY, заданное неравенством xy ≤ 2 (рис. 4.1), связно, а неравенством xy > 2 — несвязно(рис. 4.2). Каждое из множеств x 2 + y 2 ≤ 9 и x 2 + y 2 ≥ 9 связно, нотолько первое из них односвязно (рис. 4.3 и 4.4). Рис. 4.1Рис. 4.2Рис. 4.3Рис. 4.4Определение 4.3. Пусть на плоскости или в пространстве данаобласть Ω. Два пути L 1 и L 2 , ведущих из точки А в точку В, называют эквивалентными относительно Ω, если с помощью непрерывной деформации путь L 1 можно преобразовать в L 2 , не выходя за пределы области Ω.
Аналогично два замкнутых контура C1 иC2 , лежащие в области Ω, называют эквивалентными относительно Ω, если с помощью непрерывной деформации контур C1можно преобразовать в C2 , не выходя за пределы области Ω. Замкнутый контур С называется стягиваемым в точку относи-48тельно области Ω, если с помощью непрерывной деформацииего можно, не выходя за пределы области Ω, преобразовать в точку, принадлежащую этой области, т. е. равносильно тому, чтоплоская область D, ограниченная этим контуром, целиком лежит вобласти Ω.Пример 4.4. Относительно плоской области Ω = R 2 \{0} нарис. 4.5 контур C1 стягиваем в точку, а контур C3 — нет. Относительно той же области Ω пути L1 и L2 эквивалентны, а пути L1 иL3 — нет.
На рис. 4.5 замкнутые контуры C1 и C 2 эквивалентны,а контуры C2 и C3 не эквивалентны. Рис. 4.5Предложение 4.1. Область Ω на плоскости является односвязной тогда и только тогда, когда: а) для любых двух точек А иВ этой области всякие два пути, ведущие из А в В, эквивалентныотносительно Ω; б) любой замкнутый контур в области Ω стягиваем в точку.4.3. Теорема ГринаТеорема 4.1. Пусть на плоскости дана односвязная замкнутаяобласть D, ограниченная замкнутым кусочно-гладким ориентированным контуром Γ (символически Γ = ∂ ( D) ), причем при обходеконтура Γ область D остается слева (т.
е. обход контура происходит против часовой стрелки (рис. 4.6). Пусть далее компо-49ненты P ( x, y ) и Q( x, y ) плоского векторного поля G ( x, y ) = P ( x, y )i + Q( x, y ) j и ихчастные производные по у и по х соответственно непрерывны в области D.Тогда справедлива формула (формулаГрина)v∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy =∂DРис. 4.6⎛ ∂Q ∂P ⎞= ∫∫ ⎜−dxdy.∂x ∂y ⎟⎠D ⎝(4.5)Учитывая определение (4.3), эту формулу можно кратко записать еще и так:v∫ ( F ⋅ dl ) = ∫∫ rot F dxdy.∂DDПример 4.5. Вычислить циркуляцию J = v∫ ydx + x 2 dy по заГмкнутому контуру Г, состоящему из дуги АOВ параболы y = x 2 иотрезка прямой ВА, где A(−1;1), B (3; 9), направление обхода А→→O→В→А (рис.
4.7).Решение. Сначала вычислим этот интеграл непосредственно:J = v∫ ydx + x 2 dy =Г∫ +∫.AOBBAВ первом интеграле путь АOВ задается уравнением y = x 2 , параметромявляется переменная х, изменяющаясяот x = −1 до x = 3 , тогда dy = 2 xdx,поэтому∫3ydx + x 2 dy =−1AOB(= 1 x3 + 1 x 43250∫ (x)x =3x =−1=2+ x 2⋅ 2 x ) dx =28148.+ 40 =33Рис. 4.7Во втором интеграле интегрирование ведется по отрезку ВА,где B (3; 9), A(−1;1) , параметризация задается по формулам (2.2)уравнениями x = 3 − 4t , y = 9 − 8t , параметр t изменяется от t = 0(точка В) до t = 1 (точка А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
