Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (841918), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е. проекция этого вектора на вектор нормали.Из определения ясно, что поверхностный интеграл второго рода определяется и, следовательно, может быть вычислен через поверхностный интеграл первого рода. Тем не менее есть и другие(прямые) способы его вычисления.Физический смысл поверхностного интеграла второго рода.Пусть векторное поле V ( x, y, z ) — скорость стационарного (не зависящего от времени) потока жидкости в точке M ( x; y; z ) , тогдаповерхностный интеграл∫∫ (V ⋅ ds )равен объему жидкости, кото-σрая протекает в единицу времени через воображаемую мембрану σв направлении выбранной нормали (рис. 3.6) (положительный знак34этого интеграла означает совпадение направлений потока жидкостии нормали).Свойстваповерхностногоинтеграла второго рода.а) при смене ориентации поверхности на противоположную,т.
е. при замене направления нормали к поверхности, поверхностный интеграл второго рода меняРис. 3.6ет знак3, т. е. если поверхность σ1отличается от поверхности σтолько ориентацией, символически σ1 = −σ, то для любого векторного поля G∫∫ (G ⋅ ds) = −∫∫ (G ⋅ ds);−σσб) аддитивность. Если ориентированная поверхность σ разбита на две ориентированные поверхности σ1 и σ2 с той же ориентацией, не пересекающиеся или пересекающиеся по некоторойлинии — их общей границе или ее части (символическиσ = σ1 + σ2 ), то∫∫σ1 +σ 2(G ⋅ ds ) = ∫∫ (G ⋅ ds ) + ∫∫ (G ⋅ ds );σ1σ2в) линейность.
Для любых чисел α, β∈ R и векторных полейF и G справедливо равенство∫∫ ( (α⋅ F + β⋅G ) ⋅ ds ) = α⋅ ∫∫ ( F ⋅ ds ) + β⋅ ∫∫ (G ⋅ ds ).σσσЕсли поверхностный интеграл второго рода вычисляется черезполную поверхность σ некоторого тела, то его обозначаюткружочком: w∫∫ ( F ⋅ ds ).σ—————3Напомним, что поверхностный интеграл первого рода по поверхности σ независит от ее ориентации.35Вычисление потока векторного поля.
Существует три способа вычисления поверхностного интеграла второго рода.1. Проецирование на одну координатную плоскость. Если ориентируемая поверхность σ задана явно уравнением z = z ( x, y ),( x; y ) ∈ D, и F ( x, y, z ) = P ( x, y, z )i + Q( x, y , z ) j + R( x, y, z )k — заданное векторное поле, то∫∫ ( F ⋅ ds ) = ± ∫∫ [ − P( x, y, z ( x, y )) z′x − Q( x, y, z ( x, y)) z′y +σD+ R( x, y, z ( x, y )) ] dxdy,(3.1)где перед формулой выбирается знак «плюс» («минус»), еслинормаль к поверхности образует с осью ОZ острый (тупой) угол.Аналогично выглядит формула для вычисления поверхностного интеграла второго рода, когда поверхность задана уравнением x = x( y, z ) или y = y ( x, z ),соответствующая формула получается из (3.1) циклической перестановкой переменных x →→ y → z → x.2.
Проецирование на все трикоординатные плоскости. Пустьориентированная поверхность σтакова, что известны все три проекции на координатные плоскости: DYZ , DXZ и DXY (рис. 3.7) —и σ задается любым из следующих уравнений:x = x( y, z ), ( y, z ) ∈ DYZ ;y = y ( x, z ), ( x, z ) ∈ DXZ ;z = z ( x, y ), ( x, y ) ∈ DXY .Рис. 3.7Тогда∫∫ ( F ⋅ ds ) = ± ∫∫ P( x( y, z ), y, z )dydz ± ∫∫ Q( x, y( x, z ), z )dxdz ±σD YZDXZ± ∫∫ P( x, y , z ( x, y )) dxdy.DXY36(3.2)Здесь перед первым (вторым, третьим) двойным интегралом выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, острый или тупой угол нормали к поверхности σ с осью ОХ (OY, OZ соответственно)4.Формула (3.2) оправдывает форму записи поверхностного интеграла второго рода в виде∫∫ ( F ⋅ ds ) = ∫∫ P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dxdz + R( x, y, z )dxdy.σ(3.3)σ3.
Параметрическое задание поверхности. Пусть ориентированная поверхность σ задана параметрически: x = x(u , v), y == y (u , v), z = z (u , v) , (u , v) ∈ D, где u, v — внутренние координаты(параметры) поверхности; D — двумерная область их изменения.Тогда∫∫ ( F ⋅ ds ) = ± ∫∫ ( Fru rv ) dudv.σ(3.4)DВ правой части стоит обычный двойной интеграл по области D,его подынтегральная функция — смешанное произведение (в указанном порядке) трех векторов: вектора поля F ( x, y, z ), вектораru = xu′ i + yu′ j + zu′ k и вектора rv = xv′ i + yv′ j + zv′ k . Перед формулой выбирается знак «плюс» («минус»), если три вектора (нормальк поверхности п, векторы ru и rv ) в указанном порядке образуютправую (левую) тройку. Следует иметь в виду, что вектор ru (вектор rv ) направлен по касательной линии v = const ( u = const ) наповерхности σ в сторону возрастания параметра u (соответственнопараметра v).Частные случаи.
В некоторых случаях поверхностный интеграл второго рода вычисляется очень просто. Например, если проекция вектора поля F на нормаль n к поверхности σ во всех ееточках есть постоянная величина С, то поток поля F через эту поверхность равен произведению этой константы на площадь поверхности σ:—————4Если нормаль к поверхности σ в каждой ее точке образует с некоторойосью, например OZ, прямой угол, то поверхность σ плоская, параллельная этойоси, ее проекция на плоскость XOY имеет площадь нуль и поэтому в формуле (3.2) может не учитываться.37∫∫ (F ⋅ ds) = C ⋅ S (σ).σВ частности, это справедливо, если векторное поле F постоянно (по модулю и направлению), а поверхность σ плоская. В особомслучае, когда поле F постоянно и поверхность представляет собойпараллелограмм ABCD, поток равен смешанному произведениютрех векторов: вектора поля F и двух векторов, на которых построен параллелограмм, например AB и AD:∫∫ ( F ⋅ ds ) = ± ( F AB AD ).ABCDПри этом если вектор заданной нормали к параллелограмму ABCD сона-Рис.
3.8правлен с вектором [ AB × AD] , то передсмешанным произведением выбираемзнак «плюс», а если антинаправлен, тознак «минус» (рис. 3.8).Упражнение 3.1. Напишите формулу для потока постоянного векторногополя F через плоский треугольник АВС.Ответ: ∫∫ ( F ⋅ ds ) = ± 1 F AB AC .2ΔABC()Пример 3.3. Векторное поле F постоянно по длине, F = 12 , итаково, что в любой точке поверхности σ образует с нормальюугол 30°, где σ — часть сферыx 2 + y 2 + z 2 = 9, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≤ 0, нормаль к поверхности направлена наружу (рис.
3.9). Найтипоток векторного поля F черезповерхность σ.Решение. В нашем случаеPrn ( F ) = F cos30° = 6 3,площадь одной восьмой части сферы4 ⋅ 9π 9π= ,радиусом 3 S (σ) =82поэтому искомый потокРис. 3.938∫∫ (F ⋅ ds) = 63 ⋅ S ( σ) = 6 3 ⋅σ9π= 27 3 ⋅ π. 2Пример 3.4. Найти поток постоянного векторного поляF = 3i + 4 j − 2k через плоскую поверхность, представляющую собой треугольник ABC, нормаль согласована с направлением обходаA → C → B → A, координаты вершин известны: A(2; −1; 3),B (3; 5; 6), C (4; 2;1).Решение. По условию направление нормали сонаправлено с векторным произведением ⎡⎣ AC × AB ⎤⎦ , где AB{1; 6; 3}, AC{2; 3; −2},поэтому искомый поток равен половинедения:3Φ = ∫∫ ( F ⋅ n) dS = 1 F AC AB = 1 222σ1()смешанного произве4 −2133 −2 = .
26 3Пример 3.5. Вычислить двумя способами поток векторногополя F = xi − zj через часть параболоида x 2 + y 2 + z = 4, x ≥ 0,z ≥ 0, нормаль обращена наружу (рис. 3.10).Рис. 3.10Рис. 3.11Решение. П е р в ы й с п о с о б: проецирование на одну координатную плоскость, скажем, ОXY. Тогда z ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 , проекция этой поверхности на эту плоскость ОXY — полукругD : x 2 + y 2 ≤ 4, х ≥ 0 (рис.
3.11), нормаль образует острый угол сосью OZ. Здесь P = x, Q = − z , R = 0. Находим39∂z= −2 x,∂x∂z= −2 y.∂yТогда по формуле (3.1)Φ = ∫∫ ( F ⋅ ds ) = ∫∫ [ − xz ′x + z ( x, y ) z ′y ] dxdy =σD= ∫∫ ⎡⎣ − x(−2 x) + (4 − x 2 − y 2 )(−2 y ) ⎤⎦ dxdy =D= ∫∫ ⎡⎣ 2 x 2 − 8 y + 2 y ( x 2 + y 2 ) ⎤⎦ dxdy =D⎧переходим к полярным координатам ⎫⎨⎬222⎩ x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, x + y = r⎭=π/ 2∫−π / 2=2d ϕ∫ ( 2r 2 cos 2 ϕ − 8r sin ϕ + 2r 3 sin ϕ ) rdr =0π/ 26464⎛⎞2⎜ 8cos ϕ − sin ϕ + sin ϕ ⎟ d ϕ =35⎝⎠−π / 2∫π/ 2π/ 200= 16 ∫ cos 2 ϕ d ϕ = 8 ∫ (1 + cos 2ϕ ) d ϕ = 4π.Мы воспользовались тем, что если функция f (t ) четная, аg (t ) нечетная, тоaa−a0∫ [ f (t ) + g (t )] dt = 2∫ f (t )dt.В т о р о й с п о с о б: проецирование на все три координатныеплоскости.Проекция на YOZ, Dyz : y 2 + z ≤ 4, z ≥ 0, уравнение поверхности x = 4 − y 2 − z , нормаль образует острый угол с осью ОХ.Проекция на ХOZ, Dxz : x 2 + z ≤ 4, z ≥ 0, x ≥ 0 (рис.
3.12), поверхность σ проецируется на нее дважды, уравнение первой половины поверхности y = + 4 − x 2 − z , нормаль к ней образует ост40Рис. 3.12рый угол с осью ОY, уравнение второй половины поверхностиy = − 4 − x 2 − z , нормаль к ней образует тупой угол с осью ОY.Проекция на XOY не нужна, так как третья компонента векторного поля равна нулю: R = 0.ТогдаΦ = ∫∫ ( F ⋅ ds ) = + ∫∫ x( y, z )dydz + ∫∫ (− z )dxdz − ∫∫ ( − z ) dxdz =σDYZ=DXZ2∫∫4 − y 2 − z dydz =∫ dy ∫−2DYZ2= − 2 ∫ dy ( 4 − y 2 − z )3 −2DXZ4− y223/ 2 z = 4 − yz =04 − y 2 − z dz =023/ 2= 4 ∫ ( 4 − y 2 ) dy =30{ y = 2sin t ⇒ dy = 2cos tdt}π/ 2= 4 ⋅ 16 ∫ cos 4t dt = 4π.30На последнем этапе мы дважды воспользовались формулойпонижения16cos 4 t = 4 ( 2cos 2 t ) = 4 (1 + cos 2t ) = 4 + 8cos 2t + 4cos 2 2t =22= 4 + 8cos 2t + 2(1 + cos 4t ) = 6 + 8cos 2t + 2cos 4t.Ответ: Φ = 4π.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
