Сборник олимпиадных задач по теоретической механике (841833), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В механической системе рейка массой М находится в зацеплении с шестерней 2 (рис. 34). К рейке 1 прикреплена пружина,имеющая жесткость с. Пружина не деформирована в начальномположении системы. К рейке 1 приложен ударный импульс S,момент инерции шестерни 2 относительно оси вращения равен I.Определить амплитуду колебаний рейки 1 после удара.Рис. 34Решение.
При ударе не учитываем действие силы упругостипружины. Используем общее уравнение механики для удара, чтобы определить скорость рейки после удара:Mu x δr + I ωz δϕ = S δ r ,где возможные перемещения рейки и шестерни связаны соотношением δr = Rδϕ.41При выбранных направлении оси x и положительном отсчетеугловой скорости имеем u x = Rωz , где u x , ωz – проекции скорости рейки и угловой скорости шестерни после удара.SR 2SR, ωz =.Скорости u x =2MR + IMR 2 + IРешение для удара дает начальные условия для дальнейшегодвижения системы.
Составим уравнение свободных колебанийсистемы. Кинетическая энергия системыT=Окончательно T =Mx 2 I ϕ 2+, где x = Rϕ .22x 2 ⎛I ⎞cxδ x=⎜ M + 2 ⎟ , обобщенная сила Qx = −2 ⎝δxR ⎠= −cx.Уравнение колебаний имеет видI ⎞⎛x + cx = 0.⎜ M + 2 ⎟ R ⎠⎝Частота свободных колебанийk=cR 2MR 2 + I.Решение для свободных колебаний x = C1 cos kt + C2 sin kt приначальных условиях t = 0 x = 0, x = u x имеет видx=uxusin kt и A = x .kkЗамечание. Скорость рейки после удара можно определить изобщих теорем динамики при ударе.Используем теорему об изменении количества движения длярейки (рис. 35) и теорему об изменении главного момента количествдвижения материальных точек системы для шестерни (рис.
36):Mu x = S + S x ;I z ω z = − S x R;42I z ωz;RMu x R + I z ωz = SR, u x = ωz R;Mu x = S −ux =SR 2MR 2 + I.Рис. 35Рис. 36Д-10. По стержню массой m, который имеет ось вращения Oz,Gпроизошел удар импульса S (рис. 37). Найти импульс ударнойреакции в шарнире О. Заданы величины l, α, L1, длина стержня L,его момент инерции относительно оси Оz равен I.
Стержень 1 массой не обладает.Решение. Используем теорему об изменении кинетическогомомента относительно оси Oz:GK z − K z(0) = ∑ M z ( S k ( e) ),kгдеK z(0)= 0, если стержень до удара покоился. Из теоремыI z ωz = S cos α L1 + S sin α l = S ( L1 cos α + l sin α ).Из теоремы об изменении количества движения при ударе имеемmuCx = S cos α + S x , muCy = 0 = − S sin α + S y .43Рис. 37Lωz , если стержень однородный, где uCx ,2– проекции скорости центра масс и угловая скоростьКроме того, uCx =uCy , ωzстержня соответственно. Имеемωz =S( L1 cos α + l sin α), S y = S sin α,IS x = muCx − S cos α = mLS( L1 cos α + l sin α) − S cos α =2 ImLl⎛ mLL1⎞= S⎜cos α +sin α − cos α ⎟ .II22⎝⎠Поставим задачу об определении центра удара.
Для этого положим Sx = Sy = 0, тогда должны быть верны равенства α = 0,mLL1= 1.2ImL22Если стержень однородный, то I =, L1 = L.33Д-11. Точка массой m ударяется со скоростью v в точке K ободнородный стержень массой М и длиной l, удар считается абсолютно неупругим (рис. 38). Определить скорость точки после удара, если ОK = l1.44Рис.
38Решение. Определим скорость точки после удара. Из общегоуравнения механики имеемG G Hm(u − v )δ r + I z ωz δϕ = 0,δ r = l1δϕ,m(u x − v)l1 +I z ux= 0,l1u x = ωz l1 ,Iz =mvl1mvl 2Ml 2, ux == 2 1 2 .ml1 + I z l1 ml1 + Ml 33Из общих теорем динамики имеемm(u x − v) = − S , I z ωz = Sl1 ,m(u x − v) = −I z ωz,l1m(u x − v)l1 + I z ωz = 0, m(u x − v)l1 +Izu x = 0.l1В результате получаем скоростьux =mvl12ml12 + Ml 2 3.45Д-12. В механизме толкателю 1 (рис.
39, а) массой m сообщенаGскорость V . В соединении толкателя 1 и кулисы 2 имеется зазор(рис. 39, а). Определить угловую скорость кулисы после закрытиязазора. Момент инерции кулисы относительно оси ее вращенияравен I, угол α и высота H заданы.Решение. Используем для системы, состоящей из толкателя икулисы, общее уравнение механики для удара (рис. 39, б)G G GM (u − V )δ r + I z ωz δϕ = 0.абРис. 39Точка А совершает сложное движение: абсолютное движениеее – прямолинейное вместе с толкателем, относительное направлено вдоль кулисы, переносное – вращение кулисы вокруг оси Оz.Тогда по теореме о сложении скоростей для скорости точки Апосле удара имеемG G Gu = ue + u r .Из треугольника скоростей (рис. 40) получим ue = u cos α, такω HHH δϕ, u = z 2 , δr =.как OA =cos αcos αcos 2 αРис.
40Далее имеемG GG GMu δr − MV δ r + I z ωz δϕ = 0.После вычислений получаем угловую скорость46ωz =MVH2H+ I cos 2 αM2cos α.Д-13. В зацеплении рейки, имеющей массу m, и однороднойшестерни 2 имеется зазор (рис. 41). Рейке 1 сообщена скорость v.Определить угловую скорость шестерни 2 после закрытия зазора.Масса и радиус шестерни 2 составляют M и R.Рис. 41Решение.
Запишем общее уравнение механики для системы,состоящей из рейки и шестерни:G G Gm(u − v )δ r + I z ωz δϕ = 0,Gгде u , ωz – скорость рейки и угловая скорость шестерни послеудара соответственно.MR 2, тогда угловая скоКроме того, u x = Rωz , δ r = Rδϕ, I z =2рость2mvωz =.(2m + M ) RvЕсли нет зазора, то угловая скорость ωz = .
Если М → 0, тоRvωz → .RОпределим изменение скорости рейки за время удара:Δ v = ux − v =2m − 2 m − MMv=−v.2m + M2m + M47Произошла потеря скорости рейки, а изменение угловой скорости Δωz = ωz > 0.Замечание: здесь возможные перемещения заданы в системе всоответствии с наложенными связями.Рассмотрим изменение кинетической энергии системыΔ T = T − T0 =где u = Av; A =I ⎞⎤mu 2 I z ω2 mv 2 v 2 ⎡ 2 ⎛+−= ⎢ A ⎜ m + z2 ⎟ − m ⎥ ,2222 ⎣ ⎝R ⎠⎦2m.2m + MПолучаемΔT = −Mm v 2< 0.2m + M 2Д-14. Материальная точка 1 массой m1 ударяет по неподвижной рейке 2 массой m. Рейка находится в зацеплении с шестерней3 (рис.
42, а). Зазор в зацеплении отсутствует. Удар точки 1 абсолютно неупругий (k = 0). Определить скорость рейки после удара.Момент инерции шестерни относительно оси Oz равен I.абРис. 4248Решение. Применяем к системе общее уравнение механики приударе:G G GG Hm1 (u1 − v )δ r + mu δ r + I z ωz δϕ = 0,G Gгде δ r = Rδϕ; u1 = u ; u x = Rωz . Тогдаux =m1vR 2(m1 + m) R 2 + I.Д-15. Условие аналогично условию задачи Д-14, но полагаемk ≠ 0 (рис. 42, б).Решение.
Рассмотрим две фазы удара. Тогда v – скорость точкидо удара; u ′, u1′ , ω′z – соответственно скорость рейки, точки и угловая скорость шестерни в конце первой фазы удара; u1 , u – скорости точки и рейки; ωz – угловая скорость шестерни после удара;G GS1 , S 2 – ударные импульсы в фазах удара.Из теоремы об изменении количества движения при ударе дляточки запишем:m1 (u1 − v) = − S ;m1 (u1′ − v) = − S1 ;m1 (u1 − u1′ ) = − S 2 ;k=S2 u1 − u1′.=S1 u1′ − vПрименяем общее уравнение механики при ударе для тел 2, 3 вконце первой и второй фаз удара:mu ′δ r + I z ω′z δϕ = S1δ r ;m(u − u ′)δ r + I z (ωz − ω′z )δϕ = S2 δ r ;u ′ = u1′ = ω′z R, u = ωz R;S2 m(u − u1′ ) R + I z (ωz − ω′z )=;S1mu ′R + I z ω′zSu − u ′ u − u1′ u − u1== k.k= 2 = 1 1=S1 u1′ − vu′1vk=49Система уравнений имеет окончательный видG G GGGm1 (u1 − v )δ r + m(u − 0)δ r + I z ωz δϕ = 0, u − u1 = kv.Iu x = 0, где u1x = u1 , u x = u.R2Окончательно получаем скоростьТогда m1 (u1x − v) + mu x +ux =m1 (1 + k )vR 2I + (m1 + m) R 2.Д-16.
Рейки 1 и 2 массами m1 и m2 соответственно могут двигаться по параллельным прямолинейным направляющим, приводяв движение шестерню С массой М и радиусом r (рис. 43). Механизм расположен на гладкой горизонтальной плоскости. К рейке 2приложен ударный импульс S. Определить скорости реек и угловую скорость шестерни после удара. Шестерню принять за однородный диск. До удара система находилась в покое. Поверхностиреек и направляющих гладкие.Рис. 43Решение.
Рассмотрим механическую систему, состоящую изреек 1 и 2 и диска (рис. 44). Составим уравнения Лагранжа второгорода при ударе. Вычислим кинетическую энергию системы:T=50m1 x12m2 x22 I Cz ω2 MVc2,++2222x + xx − xVC = 1 2 , ω = 1 2 ,22r+T=m1 x12 m2 x2 2 Mr 2 ( x1 − x2 ) 2 M ( x1 + x2 ) 2+++=2284 ⋅ 4r 2x 2x 2Mx1 x2 .= 1 (3M + 8m1 ) + 2 (3M + 8m2 ) +16168Рис.
44Обобщенные импульсы QSx2 = SДобавляем Δδ x2= S и QSx1 = 0.δ x2∂T(i = 1, 2) в уравнения Лагранжа:∂ xit1M ⎫M ⎫∂T ⎧ x1⎧ xx2 ⎬ = ⎨ 1 (3M + 8m1 ) +x2 ⎬ = 0,Δ= ⎨ (3M + 8m1 ) +8 ⎭0 ⎩ 88 ⎭t∂ x1 ⎩ 81Δ∂T ⎧ x2M ⎫x1 ⎬ = S .= ⎨ (3M + 8m2 ) +∂ x2 ⎩ 88 ⎭t1В результате получаем скоростиMS,M + 3M (m1 + m2 ) + 8m1m2S (3M + 8m1 )x2 = 2,M + 3M (m1 + m2 ) + 8m1m2x1 = −ω=−22 S ( M + 2m1 )r {M + 3M ( m1 + m2 ) + 8m1m2 }2.Решим задачу с помощью общих теорем динамики (рис. 45–47).51Рис. 45Рис. 46Рис.
47Рис. 48Применим для реек 1, 2 и шестерни 3 с рис. 43 теоремы об изменении количества движения и кинетического момента системыпри ударе:52SτD = S τD′ , S nD = SnD′ , S τE = S τE ′ , S nE = SnE ′ ,m1 ( x1 − 0) = S τD′ , m2 ( x2 − 0) = − S τE ′ + S ,x1 + x2= SτE − SτD ,2I Cz (ω − 0) = − S τE r − S τD r ,x + xM 1 2 + m1 x1 + m2 x2 = S .2M (uC − 0) = SτE − SτD , MРешая уравнения, получаемx2 =(3M + 8m1 ) S2M + 3M (m1 + m2 ) + 8m1m2.Д-17.
В задачу Д-16 введем пружину жесткости c, соединяющую рейку с неподвижной стенкой (рис. 49).Рис. 49Решение. Из решения задачи об ударе Д-16 находим скоростиреек после удара, которые являются начальными для последующего движения системы:MSx1 = − 2,M + 3M (m1 + m2 ) + 8m1m2x2 =S (3M + 8m1 )2M + 3M (m1 + m2 ) + 8m1m2.При тех же обобщенных координатах составим уравнение Лагранжа второго рода для движения системы после удара. Начальные условия:при t = 0 x1 = 0, x1 = u1 , x2 = 0, x2 = u2 .53Кинетическая энергия системы имеет видm1 x12 m2 x22 MVC2 ICz ω2+++,2222x + xx − xMr 2VC = 1 2 , ω3 = 1 2 , I Cz =.22r2T=Вычислим обобщенные силы:δ x1 ≠ 0, δ x2 = 0, Qx1 = −cx1 ,δ x2 ≠ 0, δ x1 = 0, Qx2 = 0.Тогда запишем уравнения Лагранжа второго рода8m1 + 3MMx2+ + cx1 = 0,888 m + 3MMx1 + x2 2= 0.88x1Решая эту систему уравнений, получаемx1 + k 2 x1 = 0,где k 2 =c(8m2 + 3M )3M (m1 + m2 ) + 8m1m2 + M 2.Решение уравнения имеет видx1 = C1 cos kt + C2 sin kt ,где произвольные постоянные С1 и С2 определяют из начальныхусловий С1 = 0, C2 = u1 k .u1sin kt.kДля определения x2 получаем уравнениеТогда x1 =x2 =54Mu1ksin kt.8m2 + 3MС использованием начальных условий получаем⎛Mu1 ⎞Mu1x2 = t ⎜ u2 +sin kt ,⎟−8m2 + 3M ⎠ k (8m2 + 3M )⎝ux1 = 1 sin kt.kСкорости тел u1 и u2 определены ранее:u1 = −S (3M + 8m1 )MS, u2 = 2.M + 3M (m1 + m2 ) + 8m1m2M + 3M (m1 + m2 ) + 8m1m22Д-18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
