Сборник олимпиадных задач по теоретической механике (841833)
Текст из файла
Îáëîæêà 1/1Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåòèìåíè Í.Ý. ÁàóìàíàÓ÷åáíîå ïîñîáèåÑáîðíèê îëèìïèàäíûõ çàäà÷ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêåÈçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý. Áàóìàíà×åðíàÿ êðàñêàМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаСборник олимпиадных задачпо теоретической механикеПод редакцией В.В. ДубининаРекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э.
Бауманав качестве учебного пособияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2006УДК 531.2+531.8(076.1)ББК 22.21С23Рецензенты: К.И. Романов, Т.И. ЧукановаС23Сборник олимпиадных задач по теоретической механике:Учеб. пособие / В.В. Дубинин, Г.М. Тушева, Н.Л. Нарская и др.;Под ред. В.В. Дубинина. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,2006. – 56 с.: ил.ISBN 5-7038-2882-1Приведены условия и решения типовых задач, представленных наолимпиадах по теоретической механике.
Задачи охватывают все основныеразделы механики (статика, кинематика и динамика). В последнем разделерассмотрены задачи по динамике точки и механической системы.Для аспирантов, студентов, участников олимпиад по теоретическоймеханике и преподавателей кафедр теоретической механики.Ил. 50. Библиогр. 4 назв.УДК 537.2+531.8(076.1)ББК 22.21Учебное изданиеВладимир Валентинович ДубининГалина Михайловна ТушеваНаталия Лазаревна НарскаяГалина Ивановна ДубровинаЮрий Сергеевич СаратовСБОРНИК ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕРедактор А.В.
СахароваКорректор Р.В. ЦареваКомпьютерная верстка Е.В. ЗимаковаПодписано в печать 20.07.2006. Формат 60х84/16. Бумага офсетная.Печ. л. 3,5. Усл. печ. л. 3,26. Уч.-изд. л. 2,95. Тираж 300 экз.Изд № 127. ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана105005, Москва, 2-я Бауманская, 5ISBN 5-7038-2882-1©МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006В данном сборнике приведены условия и решения типовыхзадач, представленных на внутренних олимпиадах МГТУим. Н.Э.
Баумана, московских олимпиадах, проведенных в последние годы МГТУ им. Н.Э. Баумана, и олимпиадах Уральского государственного технического университета (УГТУ–УПИ). Использованы задачи из сборника [1]. Задачи охватывают все основныеразделы механики: статика, кинематика и динамика. В последнемразделе рассмотрены задачи по динамике точки и механическойсистемы.Особый интерес представляют задачи по теории ньютоновского удара, так как в учебных курсах этому разделу механикиуделено незаслуженно мало времени.
В приведенных задачахрассматривается удар в механической системе. При определениискоростей после удара используют общие теоремы динамики, атакже общее уравнение механики и уравнение Лагранжа второгорода при ударе.31. СТАТИКАПри решении задач статики прежде всего надо выбрать телоили систему тел, равновесие которых рассматриваем. Затем необходимо определить, является ли задача статически определимой.Необходимым условием статической определимости являетсяравенство нулю числа степеней свободы S. Число степеней свободы определяется формулойS=N∑ k i − m − n,i =1где N – число составляющих тел; ki – число независимых уравнений равновесия для каждого тела в зависимости от вида системысил, действующих на тело; m, n – число неизвестных составляющих реакций внешних и внутренних связей, наложенных на систему тел соответственно. Если S > 0, то механическая система является механизмом; при S < 0 задача статически неопределима.В задачах статики прежде всего необходимо понять, каким методом будет решаться задача, – методом геометрической (посредством уравнений равновесия для систем сил) или аналитической(принципом возможных перемещений) статики.Основой метода геометрической статики являются расчетныесхемы, на которых показаны тела или совокупности тел, освобожденные от связей.
В олимпиадных задачах обычно не требуетсяопределять все неизвестные реакции или уравновешивающие силы, поэтому высокой оценки могут заслуживать решения, в которых минимальным числом действий определены только указанныев условии искомые величины. При решении задачи, применив аксиому о затвердевании, можно рассматривать систему тел илиравновесие одного из тел, не составляя при этом лишних уравнений равновесия. Выбирая удачным образом точку или ось для составления уравнения моментов и ось для уравнения проекций сил,можно получить минимальное число уравнений для решения задачи.
При действии на тело уравновешенной плоской системы трехнепараллельных сил можно применить теорему о трех силах.Очень внимательно нужно относиться к арифметическим вычислениям и тригонометрическим преобразованиям.4Если систему сил, приложенных к телу, удается свести к трем,эффектное решение достигается путем применения теоремы о трехсилах.Основой аналитической статики является принцип возможныхперемещений (принцип Лагранжа), позволяющий из одного уравнения определить неизвестную величину. Его применяют для систем, находящихся в равновесии, на которые наложены идеальныесвязи.
В статических конструкциях, число степеней свободы которых равно нулю, применяют прием последовательного снятия связей с добавлением в систему активных сил соответствующих реакций.Особое внимание следует обратить на задачи с трением скольжения и качения. В этих задачах из уравнений предполагаемогоравновесия надо найти силу трения скольжения Fтр или моменттрения качения Мтр, используя при этом законы трения:0 ≤ Fтр ≤ Fтр max , 0 ≤ M тр ≤ Мтр max ,где Fтр max = f N ; M тр max = δ N ; N – нормальное давление на поверхность в точке контакта; N > 0; Fтр – сила трения.Подставляя значения Fтр, Мтр, найденные из уравнений равновесия, исследуем эти неравенства.
При выполнении этих неравенств равновесие в какой-то области изменения исследуемых величин не нарушено, нет отрыва, скольжения или качения. Если этинеравенства не выполняются, то равновесие тела невозможно.Для плоских задач статики можно графически построить область равновесия: это геометрическое решение основано на томусловии, что полная реакция плоскости находится внутри конусатрения.С-1. (Космодемьянский В.А., МГТУ, 2001) Два однородныхстержня (рис. 1) одинаковой длины 2L, соединенные шарнирно,расположены в вертикальной плоскости и проходят через шарнирно закрепленные на неподвижных опорах втулки А и В.Найти симметричные формы равновесия системы при условииАВ = L.В положении равновесия точке О сообщается малая скоростьпо вертикали ε и система начинает движение.
Дайте качественный анализ дальнейшего движения системы. Устойчива ли найденная форма равновесия?5Решение методом геометрической статики. Из условий равновесия системы (рис. 2, а) имеемN 2 = N1 = N = P / cos α.Рис. 1Из условий равновесия любого из стержней имеемG∑ M O ( Fk ) = NOA − PL cos α = 0,где OA =L; N = 2 P cos 2 α.2cos αабРис. 2 (начало)6вРис. 2 (окончание)1, что соответствует значениям уг2лов α1 = 37,5 ° и α1 = − 37,5 ° .Решение методом аналитической статики (следствие изпринципа Лагранжа при потенциальных силах). Потенциальнаяэнергия системы (нулевой уровень выбран на горизонтали АВ)Следовательно, cos α =3L ⎞⎛П = − 2 Рh = − 2 PАC1 sin α = − 2 P ⎜ L −⎟ sin α =2cos α ⎠⎝= − PL(2sin α − tg α).∂П1 ⎞⎛= − PL ⎜ 2cos α −⎟ = 0 полу∂αcos 2 α ⎠⎝чаем те же значения для угла α , что и найденные выше. Условиятеоремы Лагранжа выполняются для α = α1 :Из условия экстремума∂2 П∂α 2α=α1⎛1 ⎞= 2 PL sin α1 ⎜ 1 +> 0.⎜ cos3 α ⎟⎟⎝1⎠Следовательно, данная форма отвечает устойчивому равновесию (рис.
2, б). При α = α 2 потенциальная энергия не имеет минимума, однако она является аналитической функцией, и в соответствии с теоремой Н.Г. Четаева равновесие неустойчиво(рис. 2, в).С-2 ([1]). В стержневой системе, расположенной в вертикальной плоскости, АС= ОС; стержни 1 и 2 однородны и имеют вес Р1и Р2 соответственно. Определить силу натяжения пружины, если вположении системы, изображенном на рис. 3, ∠ ABO = 90 °,∠ OAB = α, точки О, С и А лежат на одной прямой.7Рис.
3Решение методом геометрической статики.Из уравнения равновесия стержня АВ (рис. 4, а)− P2 ( AB 2 ) = 0 находим YB = P2 2 .∑ M A = YB AB −( OC = CA = l ) верно ∑ M С =2 − X B l sin α = 0 → X B = ( P1 + P2 ) ctg α 2Для системы стержней CАВ= YB l cos α + P1 l cos α(рис. 4, б).Для стержня OB′ верно равенство∑ M O = X BOB − F ( OB 2 ) == 0 → F = 2 X B = ( P1 + P2 ) ctg α (рис. 4, в).абвРис. 4Решение методом аналитической статики (принцип возможных перемещений). Проекции возможных перемещений точек А иВ на прямую АВ равны, и, следовательно, возможное перемещениеδϕ2 2l sin α = δϕ1l sin α, откуда 2δϕ2 = δϕ1.Кроме того, мгновенный центр возможных перемещений звена 2 на рис.
3 совпадает с шарниром О, и δϕ2 = δϕ3 . Тогда изуравнения работ (рис. 5)8Рис. 5∑ δAk = − P1kl cos αδϕ1− P2l cos αδϕ2 + Fl sin αδϕ3 = 02находимF = ( P1 + P2 )ctg α.С-3 (УГТУ–УПИ). Брусок весом 100 Н находится на верхнейграни другого бруска весом 200 Н, который в свою очередь располагается на горизонтальной плоскости. На верхний брусок под углом 30° к горизонту действует сила, равная 60 Н. Коэффициентытрения между брусками и между нижним бруском и опорнойплоскостью равны 0,5 и 0,2 соответственно.Определить, будут ли бруски двигаться относительно друг друга и относительно плоскости.Решение. Полагаем, что бруски неподвижны; тогда можноприменить уравнения статики. Из уравнений равновесия верхнегобруска (рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
