Сборник олимпиадных задач по теоретической механике (841833), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Прямолинейное поступательное движение стержняописывается одним дифференциальным уравнением mx = − F , гдеF = Fmax = f N1.Кроме того, имеем два условия равновесия для сил:∑ Fky = N1 + N 2 − mg = 0 и ∑ M C = N1L − fN1h − N 2 x = 0,x, где δ = L − f h > 0.x+δДифференциальное уравнение движения стержня приводится квидуdVxx = Vx x = − fgdxx+δоткуда, исключая N2, найдем N1 = mgи имеет общее решение V 2 = − 2 fg [ x − δ ln( x + δ)] + C , в которомконстанта интегрирования в соответствии с начальными условиями x = x0 и Vx = V0 равна C = V02 + 2 fg [ x0 − δ ln( x0 + δ) ]. Тогда⎛x+δ ⎞V = V02 + 2 fg ⎜ x0 − x + δ ln⎟.x0 + δ ⎠⎝Д-6 (МГТУ, 2001).
Однородный цилиндр 1 массой m и радиусом R катится без скольжения по плите 2 массой М, находящейсяна гладкой горизонтальной плоскости. Ось С цилиндра скользитв пазах вилки 3, ось А вращения которой закреплена на плите нарасстоянии l от опорной плоскости катка. Вилка связана с плитойспиральной пружиной 4, имеющей жесткость с; пружина не напряжена при вертикальном положении вилки.
В начальный момент система находилась в покое, затем вилку отклонили от вертикального положения на угол φ0 и отпустили без начальнойскорости (рис. 30).Определить угловое ускорение вилки и ускорение плиты в начальный момент, а также скорость плиты в момент, когда вилказаймет вертикальное положение. Массой вилки пренебречь, принять M = 3m, R = 3l, φ0 = π /6 рад.32Рис. 30Решение. Данная система имеет две степени свободы: четырекоординаты s, x, ϕ и ψ связаны двумя уравнениями связиs = ( R + l ) tg ϕ = Rψ.
В качестве независимых (обобщенных) координат примем координаты x и s. Из уравнений связи имеем следующие кинематические соотношения:ψ=( R + l )(ϕ + 2ϕ2 tg ϕ)sR+lи, s=ϕs=.Rcos 2 ϕcos 2 ϕПервый способ решения – с помощью общих теорем динамики.Внешние для системы силы: силы тяжести катка 1 и плиты 2, атакже нормальная реакция гладкой опорной плоскости – не имеютпроекций на ось x, и, следовательно, действует закон сохраненияпроекции количества движенияQx = MVx + mVCx = Mx + m( s + x) = Qx (0).При начальных условиях Vx (0) = VCx (0) = 0, Qx (0) = 0, и тогда( M + m) x = − ms, или x = − ks,(*)где k = m ( M + m ) = 1 4 .Работа внешних сил системы равна нулю, из внутренних силработу совершают только силы упругости спиральной пружины,которые являются потенциальными.
Таким образом, действует закон сохранения механической энергии системы, имеющий вид: винтегральной форме – Т– Т0 = П0 – П, а в дифференциальной –d (T + П) dt = 0.33Кинетическая энергия системы(T = Mx 2 + mVС2 + I C ψ 2)2 = ( M + m ) x 2 2 + mxs + 3ms 2 4с учетом уравнения (*) принимает вид1⎛m3⎞Т = ⎜−+ ⎟ ms 2 = as 2 2 = Ax 2 2,2⎝ M + m 2⎠где a = ( 3 2 − k ) m = 5m 4 : A = a k 2 .Потенциальная энергия П =сϕ2. Тогда2⎛ ( R + l )2⎞2⎟ = 0. (**)d (T + П) dt = ass + cϕϕ = ϕ ⎜ aϕ+2ϕtgϕ+cϕ⎜ cos 4 ϕ⎟⎝⎠()В начальном положении системы ϕ(0) = ϕ0 , ϕ(0) = 0, ϕ(0) == ε z (0). Начальное значение проекции углового ускорения вилкинаходим из (**):cϕ cos 4 ϕ027π cε z (0) = − 0=−.2640 mR 2a(R + l)Тогда s (0) =R+l163π cϕ(0) = Rε z (0) = −, ax (0) = x(0) =2940 mRcos ϕ03π c.160 mRУчитывая, что T0 = 0, П 0 = cϕ02 2, П= − ks (0) =ϕ=0= 0, Tϕ= 0= AV22 2,πc (5m).12Второй способ.
Связи системы – идеальные, и можно применить уравнение Лагранжа второго рода. Вычислим производныекинетической энергии T = ( M + m ) x 2 2 + mxs + 3ms 2 4 :найдем значение скорости плиты V2 = xϕ= 0= ϕ0 c A =dd( ∂ T ∂x ) = ( M + m ) x + ms , ( ∂ T ∂s ) = mx + 3ms 2,dtdt34∂ T ∂ x = ∂ T ∂ s = 0.Найдем обобщенные потенциальные силы:Qx = −cos 2 ϕ∂П∂П∂ П ∂ϕ.= 0, Qs = −=−= −cϕR+l∂x∂s∂ϕ ∂ s3s ⎞сϕ cos 2 ϕ⎛Получим уравнения ( M + m ) x + ms = 0 и m ⎜ x + ⎟ = −.2⎠R+l⎝Первое из них выражает представленный выше закон сохранения проекции количества движения x = −ks, второе уравнение спомощью первого приводится к виду2сϕ cos ϕсϕϕ⎛3⎞.=−⎜ − k ⎟ ms = as = −R+ls⎝2⎠Оно выражает также представленный выше закон сохранения механической энергии в дифференциальной форме.Д-7 (МГТУ, 2001).
Однородная идеально гибкая цепь длинойL = L1 + L2 лежит на шероховатой поверхности стола так, что участок цепи длиной L1 свешивается с края стола. Коэффициент трения цепи о стол равен f (рис. 31, а).абРис. 31Какому условию должны удовлетворять длины L1 и L2, чтобыцепь пришла в движение из состояния покоя? Полагая, что условие равновесия не выполняется, определить скорость цепи в момент, когда правый конец опустится на величину H (H < L2).
Размером звеньев и трением в шарнирах цепи пренебречь, движениеучастков цепи считать поступательным и прямолинейным.35Решение. Определим положение цепи координатой x левогоконца (рис. 31, б). Из принципа возможных перемещений следуетP1 − Fтр = 0 и N 2 = P2 .Цепь будет находиться в покое, если выполняется условие непроскальзывания Fтр < Fтрmax = f N 2 , или P1 < f P2 , откуда находим L2 > L1 f .Обозначим как ρ = m ( L1 + L2 ) погонную массу (массу единицы длины) цепи.По теореме об изменении кинетической энергии T − T0 = ∑ Akцепи имеемT = ρ( L1 + L2 )V 2 2, T0 = 0,где V=V(x) – скорость, приобретенная цепью; A=A(x) – работа,совершаемая силами тяжести и трения. Она равнаHH00∑ Ak = ∫ ρg ( L1 + x)dx − ∫ f ρg (L2 − x)dx =H⎞H ⎞⎫⎧⎛⎛= ρ gH ⎨⎜ L1 + ⎟ − f ⎜ L2 − ⎟ ⎬ .2⎠2 ⎠⎭⎝⎩⎝Отсюда находим скоростьV2 =gH {2 L1 + H − f (2 L2 − H )}.L1 + L2Д-8.
В механизме зубчатая рейка 1 массой М находится в зацеплении с шестерней 2 массой m и радиусом r (рис. 32). К шестерневдоль ее радиуса приварен стержень 3 массой m1 и длиной 2l. Крейке 1 прикреплены пружина 4 жесткости с и демпфер 5, имеющий коэффициент вязкости μ. Шестерню и стержень считать однородными телами; пружина линейна, сила сопротивления демпфера пропорциональна скорости рейки.В положении, указанном на рисунке, система находится в покое, перпендикулярно стержню в центре масс его приложен ударный импульс S .36Рис. 32Определить максимальное отклонение рейки от положения покоя для линеаризованного уравнения движения. При ударе величины с и μ остаются постоянными.
Принять l = 2r, M = 2m,mggm1 = 1,5m, с = 13,5, μ = 36m.rrРешение.1. Удар. Используем для системы (рис. 33) общее уравнениединамики:Muδ x + I Oz ωδϕ − S δ rC = 0, u = ω r , I Oz = I Oz2 + I Oz3 ,где u, ω – скорость рейки и угловая скорость тел 2, 3 после удара;Рис. 3337mr 2 m1 4l 2++ m1 (l + r )2 = 16mr 2 ;212I Oz ⎞S (r + l )S⎛; 18mu = 3S ; u =.⎜ M + 2 ⎟u =r6mr ⎠⎝δ rC = (r + l )δϕ; δ x = r δϕ; I Oz =2. Движение после удара. Начальные условия движения: приt = 0 x = 0 и x = u.Применим уравнение Лагранжа второго рода:d ⎛ ∂ T ⎞ ∂T= Qx ,⎜⎟−dt ⎝ ∂ x ⎠ ∂ xгде T =ω = ϕ.IMx 2 I Oz ω2 x 2 ⎛+= ⎜ M + Oz222 ⎝r2⎞2⎟ = 9mx ;⎠x = r ϕ; vx = x = r ω;∂T ∂T d ⎛ ∂T ⎞,,⎜⎟ , Qx:∂ x ∂ x dt ⎝ ∂ x ⎠(l + r )x18mx = −μ x − cx − m1 gsin ϕ, где sin ϕ ≈ ϕ = ;rrВычисляем18mx + μ x + [c + m1 g (l + r ) / r 2 ]x = 0, x + 2nx + k 2 x = 0;c1 = c +n=m1 g (l + r )μ=2a2rg,rcg= 18m , a = 18m, k = 1 =raполучаем, что k = n, поэтому= (C1 + C2t ) exp(− nt ).Определим постоянныерешениеg,rимеетвидx = − n(C1 + C2t ) exp(− nt ) + C2 exp( − nt ),C1 = 0, C2 = u ,x = (ut ) exp(− nt ).Определим xmax : x = u (1 − nt ) exp(− nt ) = 0, откуда t1 = 1 n .38x=Таким образом xmax = x=St1uS= exp(− 1) =6mnrexp(− 1) =gr/(16,3m).gЗадачи по теории ньютоновского удараЗадачи ньютоновского удара являются весьма содержательными и хорошо отражают физическую сущность механики.
Такиезадачи рассматривались в работах [2–4].Кроме того, при малых относительных скоростях соударенийтел при абсолютно неупругом ударе приближенная теория ударадает неплохие результаты в сравнении с практикой для стесненного удара без учета трения.Удар тел может быть вызван действием ударного импульса илимгновенным наложением или снятием связей (например, столкновение тела с неподвижным телом). За время удара скорости точектела изменяются на конечную величину, а в опорах возникают импульсы ударных сил реакций.
Определение импульсов ударныхсил реакций, скоростей точек тел после удара необходимо для исследования дальнейшего движения тела или системы тел, дляопределения прочности элементов конструкций.В качестве модели удара выбрана модель Гюйгенса–Ньютона,в которой интегрально учитываются потери энергии при появлении местных упругопластических деформаций.При этом связи в механической системе при ударе можноклассифицировать следующим образом:1) связи, существующие до удара, во время и после него;2) связи, не существующие до удара и возникающие во времяудара и сохраняющиеся после удара;3) связи, существующие до удара, сохраняющиеся во времяудара и не сохраняющиеся после удара;4) связи, существующие только во время удара, но не сохраняющиеся после него.Первые два типа связей можно назвать сохраняющимися, а остальные два – несохраняющимися.Для определения скоростей точек тел после удара применяютобщие теоремы динамики при ударе.39Теорема об изменении количества движения системы приударе имеет видNNk =1k =1Q − Q0 = ∑ S ke или M ( uC − vC ) = ∑ S ke ,где М – масса системы материальных точек; Q0 , Q – количестводвижения механической системы соответственно до и после удара;uC , vC – скорости центра масс после и до удара соответственно;N∑ Ske – главный вектор импульсов внешних ударных сил.k =1При непоступательном движении тел используют теорему обизменении главного момента количеств движения системыпри ударе:NK 0 − K (0)= ∑ M 0 ( Ske ),0k =1где K 0 , K (0)0 – главные моменты количеств движения системы после и до удара соответственно;N∑ M 0 ( S ke )– главный моментk =1внешних ударных импульсов.Для определения скоростей тел после удара для систем с идеальными связями удобно применять общее уравнение механикипри ударе:N∑ (S (ka) −mk Δ vk )δrk = 0,k =1где S k( a ) – ударный активный импульс, приложенный в точке Мk;Δ vk = uk − vk – изменение скорости точки Мk при ударе.Для механических систем из N точек, на которые наложены голономные связи до и после удара, можно применять уравнениеЛагранжа второго рода:∂TΔ= Si (i = 1, 2, …, n) ,∂ qiгде T – кинетическая энергия механической системы; Si – обобщенный ударный импульс, соответствующий обобщенной координате qi; n – число степеней свободы механической системы.40При этом обобщенные ударные импульсы можно находить также, как обобщенные силы, вычисляя элементарную «работу»ударных импульсов на возможных перемещениях системы и определяя в полученном выражении коэффициенты при вариациях соответствующих координат.При связях, наложенных на систему и не меняющихся при ударе, возможные перемещения определяются обычным способом.Если при ударе возникают новые связи, то удобно выбирать возможные перемещения для системы с наложенными идеальнымисвязями.Особое значение при изучении удара имеет определение центраудара, так как при приложении в этой точке ударного импульса вопорах не возникают ударные реакции.Определение скоростей точек тел после удара необходимо дляисследования дальнейшего «послеударного» движения системы.Такие задачи также рассмотрены в данной работе.Д-9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
