Лабораторная работ №2 (Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Быстрое преобразование Фурье) (834487)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования и науки Российской ФедерацииФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования«Московский государственный технический университетимени Н.Э. Баумана(национальный исследовательский университет)»(МГТУ им. Н.Э. Баумана)ФАКУЛЬТЕТРобототехники и комплексной автоматизацииКАФЕДРАСистемы автоматизированного проектирования (РК-6)ОТЧЕТ О ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫСтудентЖилин Павел ВладимировичГруппаРК6-63Тип заданиялабораторная работаТема лабораторной работыЧисленное дифференцирование.

Численноеинтегрирование. Быстрое преобразование Фурье.СтудентЖилин П.В.подпись, датаПреподавателифамилия, и.о.Першин А. Ю.подпись, датафамилия, и.о.Соколов А. П.подпись, датафамилия, и.о.Оценка __________________________________Москва, 2018 г.1ЗаданиеЗадача 3 (численное дифференцирование) Дана функцияf ( x )= x⋅e x,и узел x0 = 2.Требуется:1.Вывести общую центральную формулу численного дифференцирования4-го порядка вместе с остаточным членом, аппроксимирующую первуюпроизводную по 5 узлам:f ' ( x 0)≈ Af ( x 0 −2h)+ Bf ( x 0−h)+Cf ( x 0 )+ Df ( x 0 +h)+ Ef ( x 0+ 2h)Продемонстрируйте, что формула действительно имеет 4-й порядокточности.2.Написать функцию diff2(x_0, h, f ), которая возвращает значение первойпроизводной функции f на основе центральной формулы численногодифференцирования 2-го порядка в точке x0 для шагадифференцирования h.3.Написать функцию diff4(x_0, h, f ), которая возвращает значение первойпроизводной функции f на основе центральной формулы численногодифференцирования 4-го порядка в точке x0 для шага дифференцированияh.4.Рассчитать производную g′(x) в точке x0 = 2 для множества значений h ∈ [10 −16 ; 1] сначала с помощью функции diff2, а затем с помощью функцииdiff4 .

Для обоих случаев постройте log-log графики зависимостиабсолютной погрешности численного дифференцирования от шагадифференцирования. Для каждого случая ответьте на следующиевопросы:2 Каким образом на log-log графике можно увидеть порядок формулыдифференцирования? Докажите это формульно и продемонстрируйтена графике по аналогии с лекциями. Совпадает ли порядок выведенной формулы дифференцирования наlog-log графике с ее действительным порядком? Каков оптимальный шаг дифференцирования, при котором абсолютнаяпогрешность минимальна? С чем связано существование такогоминимума? Обоснуйте свой ответ, ссылаясь на данные log-log графика.5.Сравните оптимальный шаг дифференцирования и соответствующуюминимально достижимую погрешность для формул 2-го и 4-го порядка.Как вы думаете, чем обоснована разница между ними?Задача 4 (численное интегрирование) Дана функция2g ( x ) = x ⋅sin (3 x )заданная на интервале,x∈[0; π ].Требуется:1.Написать функцию composite_simpson(a, b, n, f ) численногоинтегрирования функции f на интервале [a; b] по n узлам с помощьюсоставной формулы Симпсона.π2.Рассчитать интеграл∫ g(x )dx0с помощью составной формулыСимпсона для множества значений n ∈ [3; 9999].

Постройте log-logграфик зависимости абсолютной погрешности численногоинтегрирования от шага интегрирования. Как и в предыдущем задании,объясните, каким образом по полученному графику можно3определить порядок точности формулы. Сравните порядок формулы,полученный с помощью графика, с аналитическим порядком точностисоставной формулы Симпсона. Существует ли оптимальный шагинтегрирования для данной формулы, минизимирующий достижимуюпогрешность? Обоснуйте свой ответ.3.С помощью теоремы о корнях многочленов Лежандра, доказанной влекциях, вывести квадратуру Гаусса, имеющую степень точности 5.Сколько узлов необходимо для использования такой квадратуры?4.Написать функцию gauss_quad5(f ) численного интегрирования функции fс помощью квадратуры Гаусса пятой степени точности.5.Доказать, что квадратура Гаусса имеет степень точности 5, с помощьюследующего вычислительного эксперимента: постройте последовательность полиномов P0(x), P1(x), P2(x), P3(x),P4(x), P5 (x), P6(x), имеющих степени соответственно 0, 1, 2, 3, 4, 5 и6, используя случайно сгенерированные значения коэффициентовполиномов; проинтегрируйте их на интервале [0; 2] аналитически и с помощьювыведенной квадратуры Гаусса; посчитайте абсолютную погрешность и сделайте вывод о степениточности выведенной квадратуры; все выкладки и посчитанные значения должны быть в отчете.4Задача 5 (БПФ) Даны функцииf 1 ( x )=5+ 4 cos (2 x)+2 sin (3 x)−cos( 4 x ),f 2( x )=|x| ,f 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{заданные на интервале x ∈ [−π; π].Требуется:1.Используя алгоритм Кули–Тьюки, написать функцию fft_coeff(y_nodes),которая вычисляет и возвращает комплексные коэффициентытригонометрического полинома, интерполирующего узлы y_nodes,равномерно распределенные на отрезке [−π; π].2.Протестировать корректность результатов работы функцииfft_coeff(y_nodes) с помощью БПФ для функции f1(x).

Пользуясьвыкладками из лекций, объясните, как связаны возвращаемыекомплексные коэффициенты (и их индексы) с исходной функцией.3.Написать функцию trigonometric_interpolant(x, coeffs), которая вычисляетзначение тригонометрического полинома с коэффициентами coeffs в точкеx.4.Используя функции trigonometric_interpolant и fft_coeff, произвеститригонометрическую интерполяцию функции f2(x) для N = 2n , гдеn ∈ 1, . . . , 8 и вывести результаты в виде графиков. Проанализируйтенепрерывность функции f2(x) и исходя из графиков сделайте вывод осходимости подобного приближения: является ли сходимость равномерной? является ли сходимость среднеквадратической?5.Повторите те же шаги для функции f3(x) и ответьте на те же вопросы.

Вчем по вашему мнению причина различий?5ОглавлениеЦель выполнения лабораторной работы......................................................................................................7Задачи, выполненные в процессе реализации.............................................................................................7лабораторной работы.....................................................................................................................................71.

Численное дифференцирование.............................................................................................................102. Численное интегрирование.....................................................................................................................143.

Быстрое преобразование Фурье..............................................................................................................19Заключение...................................................................................................................................................31Список использованных источников...........................................................................................................326Цель выполнения лабораторной работыЦель выполнения лабораторной работы — реализовать на языкепрограммирования Python соответствующие алгоритмы: численноедифференцирование, численное интегрирование, метод наименьших квадратов,тригонометрические полиномы, быстрое преобразование Фурье.Задачи, выполненные в процессе реализациилабораторной работыЧисленное дифференцирование:1.

Выведена общая центральная формула численного дифференцирования4-го порядка вместе с остаточным членом, аппроксимирующая первуюпроизводную по 5 узлам:f ' ( x 0)≈ Af ( x 0 −2h)+ Bf ( x 0−h)+Cf ( x 0 )+ Df ( x 0 +h)+ Ef ( x 0+ 2h)Продемонстрировано, что формула действительно имеет 4-й порядокточности.2. Написана функция diff2(x_0, h, f ), которая возвращает значение первойпроизводной функции f на основе центральной формулы численногодифференцирования 2-го порядка в точке x0 для шагадифференцирования h.3. Написана функция diff4(x_0, h, f ), которая возвращает значение первойпроизводной функции f на основе центральной формулы численногодифференцирования 4-го порядка в точке x0 для шага дифференцированияh.4.

Рассчитана производная g′(x) в точке x0 = 2 для множества значений h ∈ [10 −16 ; 1] сначала с помощью функции diff2, а затем с помощью функцииdiff4 . Для обоих случаев построены log-log графики зависимостиабсолютной погрешности численного дифференцирования от шагадифференцирования .75. Сравнили оптимальный шаг дифференцирования и соответствующуюминимально достижимую погрешность для формул 2-го и 4-го порядка.Численное интегрирование:1.

Написана функция composite_simpson(a, b, n, f ) численного интегрирования функции f на интервале [a; b] по n узлам с помощьюсоставной формулы Симпсона.π2. Рассчитан интеграл∫ g(x )dx0с помощью составной формулыСимпсона для множества значений n ∈ [3; 9999]. Построен loglog график зависимости абсолютной погрешности численного интегрирования от шага интегрирования. Сделано объяснение того, какимобразом по полученному графику можно определить порядок точностиформулы. Выполнено сравнение порядка формулы, полученной спомощью графика, с аналитическим порядком точности составнойформулы Симпсона.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лабораторной работы