Лабораторная работ №2 (Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Быстрое преобразование Фурье) (834487), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для абсолютной погрешностиинтегрирования введём обозначение E:1E i=∫ f i ( x) dx− P i ( x ) ,−1гдеi∈ [ 0,6 ](21)- степени полиномов.Тогда для каждого полинома получим значение абсолютной погрешностиинтегрирования:1E 0 = ∫ f 0 ( x ) dx− P 0 ( x)=666− 666=0−11E 1=∫ f 1 ( x) dx− P 1 ( x )=522−522 =0−11E 2 =∫ f 2 ( x) dx− P 2 ( x )=880.7 −880.7=0−11E 3= ∫ f 3 ( x )dx− P 3 ( x)=1683.3 −1683.3= 0−11E 4 =∫ f 4 ( x )dx− P 4 ( x )=6297.7 −6297.7= 0−11E 5 = ∫ f 5 ( x )dx− P 5 ( x)=14105.7 −14105.7 =0−11E 6 = ∫ f 6 ( x ) dx− P 6 ( x)=4088.6 −4043.1 =0−1На основании полученных результатов можем сделать вывод, чтовыведенная квадратура Гаусса, имеющая степень точности 5, вычисляетинтеграл без погрешности для полиномов степени 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Но привычислении интеграла для полинома степени 6 и выше появляется значительнаяпогрешность. Графическое отображение результатов приведено на рисунке 3.17Рис. 3: График зависимости абсолютной погрешности интегрирования E отстепени полинома m.183. Быстрое преобразование ФурьеБыла разработана функция fft_coeff(y_nodes), которая вычисляет ивозвращает комплексные коэффициенты тригонометрического полинома,интерполирующего узлы y_nodes, равномерно распределенные на отрезке[−; ] (см. рисунки 4, 5).Рис.
4: Значения вещественных частей комплексных коэффициентов a^k(ось ординат) в зависимости от коэффициента k частоты интерполирующеготригонометрического полинома(ось абсцисс) при аппроксимации функцииf 1 ( x )=5+ 4 cos (2 x)+2 sin (3 x)−cos( 4 x ) . Удвоенная вещественная часть каждогокоэффициента a^k является амплитудой для соответствующей функции a k⋅cos( kx).19Рис. 5: Значения мнимых частей комплексных коэффициентов a^k (осьординат) в зависимости от коэффициента k частоты интерполирующеготригонометрического полинома(ось абсцисс) при аппроксимациифункции f 1 ( x )=5+ 4 cos (2 x)+2 sin (3 x)−cos( 4 x ) .
Удвоенная мнимая частькаждого коэффициента a^k является амплитудой для соответствующейфункции a k⋅sin (kx ) .Разработана функция trigonometric_interpolant(x, coeffs), котораявычисляет значение тригонометрического полинома с коэффициентами coeffs вточке x.Функция использовалась для интерполяции тестовых функцийf 2( x )=|x| ,f 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{,заданных на интервале x ∈ [−π; π].20Рис. 6: Интерполяция тригонометрическими полиномами функции f 2(x )=|x| дляk = 2, где k - коэффициент для функций cos(kx), sin(kx).Рис. 7: Интерполяция тригонометрическими полиномами функции f 2(x )=|x| дляk = 4, где k - коэффициент для функций cos(kx), sin(kx).21Рис.
8: Интерполяция тригонометрическими полиномами функции f 2(x )=|x| дляk = 8, где k - коэффициент для функций cos(kx), sin(kx).22Рис. 9: Интерполяция тригонометрическими полиномами функции f 2(x )=|x| дляk = 16, где k - коэффициент для функций cos(kx), sin(kx).Рис. 10: Интерполяция тригонометрическими полиномами функции f 2(x )=|x|для k = 32, где k - коэффициент для функций cos(kx), sin(kx).23Рис. 11: Интерполяция тригонометрическими полиномами функции f 2(x )=|x|для k = 64, где k - коэффициент для функций cos(kx), sin(kx).Рис. 12: Интерполяция тригонометрическими полиномами функции f 2(x )=|x|для k = 128, где k - коэффициент для функций cos(kx), sin(kx).24Рис.
13: Интерполяция тригонометрическими полиномами функции f 2(x )=|x|для k = 256, где k - коэффициент для функций cos(kx), sin(kx).На представленных рисунках (рис. 8 — рис. 15) исходная функцияпредставлена пунктирной линией, интерполянт представлен сплошной линией.По рисункам можно сделать вывод о том, что сходимость является равномернойи среднеквадратичной.Также была проведена интерполяция функцииf 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{спомощью функции trigonometric_interpolant(x, coeffs), результаты работыпредставлены на рисунках .25Рис.
14: Интерполяция тригонометрическими полиномами ф-цииf 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{для k = 2, где k - коэффициент для функций cos(kx),sin(kx).Рис. 15: Интерполяция тригонометрическими полиномами ф-цииf 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{для k = 4, где k - коэффициент для функций cos(kx),sin(kx).26Рис. 16: Интерполяция тригонометрическими полиномами ф-цииf 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{для k = 8, где k - коэффициент для функций cos(kx),sin(kx)Рис. 17: Интерполяция тригонометрическими полиномами ф-цииf 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{для k=16, где k - коэффициент для функций cos(kx),sin(kx)27Рис.
18: Интерполяция тригонометрическими полиномами ф-цииf 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{для k=32, где k - коэффициент для функций cos(kx),sin(kx)Рис. 19: Интерполяция тригонометрическими полиномами ф-цииf 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{для k=64, где k - коэффициент для функций cos(kx),sin(kx)28Рис. 20: Интерполяция тригонометрическими полиномами ф-цииf 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{для k=128, где k-коэффициент для ф-ций cos(kx), sin(kx)29Рис. 21: Интерполяция тригонометрическими полиномами ф-цииf 3 ( x)= −1, − π≤ x≤01, 0≤ x≤ π{для k=256, где k-коэффициент для ф-ций cos(kx), sin(kx)На представленных рисунках (рис. 14 — рис.
21) исходная функцияпредставлена пунктирной линией, интерполянт представлен сплошной линией.По рисункам можно сделать вывод о том, что сходимость являетсясреднеквадратичной и не является равномерной, так как существуют места, гдепоявляются паразитные осцилляции.30Заключение1. Формулы численного дифференцирования являются неустойчивыми, таккак при постоянном уменьшении шага дифференцирования погрешностьне уменьшается постоянно. Погрешность начинает расти после того , какшаг становится меньше оптимального. По этой причине на практикестараются заменять операцию численного дифференцирования наоперацию численного интегрирования, которая является устойчивой ипри уменьшении шага интегрирования, погрешность будет уменьшатьсявплоть до машинного эпсилон.2.
На практике появляются случаи, когда необходимо определить видсигнала по входному набору данных, при этом необходимо учитывать,чтобы входные данные будут с помехами. Для такой задачи отличноподходит алгоритм дискретного преобразования Фурье, которыйвозможно реализовать с минимальным использованием машинныхресурсов, если использовать алгоритм Кули-Тьюки.3. При аппроксимации функции тригонометрическими полиномами длябыстрого и эффективного получения коэффициентов ak необходимовоспользоваться алгоритмом Кули-Тьюки.---------------------------------------------------------------------------------------------Вы писали: «Равномерная и одновременно среднеквадратичнаясходимость будет наблюдаться только для определенных функций -укажите, для каких именно», не нашёл ответ на данный вопрос :( .31Список использованных источников1.
Першин А.Ю. Лекции по вычислительной математике (черновик) /Учебная литература. Кафедра РК6 (Системы автоматизированногопроектирования) МГТУ им. Н.Э. Баумана, г. Москва, 2018. – 72 с.32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
