лекция Додонов (832089), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Лекция 20

Пример:

Граф состояния системы

Рисунок 1

Состоит из 4х состояний системы

S_i – состояние системы

Техническая система S состоит из 2х больших основных узлов (ГПМ токарный): станок, робот

Система из 2х узлов может иметь состояния:

S0 - станок и робот исправны (все работает)

S1 – ремонтируется станок

S3 – ремонтируется робот

S4 – ремонтируется и робот, и станок

По дугам можно перейти из одного состояния в другое (но нету вертикальных линий, т.к. одновременная поломка маловероятна и ею пренебрегаем)

Размеченный граф состояний

- Интенсивность перехода из одного состояния в другое по причине ненадежности станка и робота

– интенсивность восстановления

Зная интенсивности перехода можно определить вероятности нахождения системы в каждом из этих состояний

Для обозначения характеристик систем массового обслуживания используются символы М, D, E, G, обозначающие экспоненциальное распределение (М), регулярное распределение (D), эрландовское распределение (Е), произвольное распределение (G).

М / М / 1 – экспоненциальное распределение входящего потока, экспоненциальное распределение времени обслуживания.

1 – обслуживающий прибор/станок

Кроме этих есть еще 4 и 5 позиция . 4 – максимальнаядлина очереди (число мест для ожидания, емкость магазина). Обозначается r = 0…∞. Если r=0 – система без ожидания, если r=∞ - неограниченная очередь. 5 разряд описывает приоритет заявок.

Надо знать характеристики входящего потока (заготовок, заявов), как описывается закон обслуживания заявок обработки детали – тогда есть много формул, по которым можно рассчитать какой накопитель взять, какое среднее время и разброс обработки, производительность, сколько времени затратится на ремонт, какое количество деталей в системе.

Основные элементы системы массового обслуживания

Типовые конфигурации систем массового обслуживания.

СМО – объект, в котором осуществляется последовательность элементарных операций

Станок – это обслуживающий прибор (на нем происходит обработка)

Реально операции могут выполняться лишь тогда, когда возникнет требование (заявка) на ее выполнение.

Типы СМО

1 – однолинейная система с ожиданием

Рисунок 2

1 – обслуживающий прибор (станок, робот)

Треугольник – накопитель, магазин, место для размещения заготовок перед обслуживающим прибором

Кружочек с о – источник требований к заявкам

а – поток требований от источника к накопителю

б – поток обслуживания заявок

описанная система массового обслуживания – это модель станка с магазином заготовок

2 – система с ограниченной очередью или система с конечным накопителем. В системе одновременно могут находится не более N требований, включая одно требование в обработке. Емкость накопителя N-1. Если в накопителе уже находится N-1, то последующее требование покидает накопитель (ситуация С). Если требование переход когда накопитель занят, то эта деталь покидает систему необслуженной.

Рисунок 3

3 – система с потерями (отказами). В системе нет накопителя. Ожидание требований не допускается. Если прибор занят, то следующая заявка сразу покидает систему. Является частным случаем предыдущей системы при N = 1.

Рисунок 4

4 – Многолинейная система с общей очередью (общим накопителем) // где быстрей освободится – туда и поступает

Рисунок 5

5 – многолинейная система с потерями и ограниченной очередью

Рисунок 6

Марковские случайные процессы

Марков – русский ученый, математик

Аналогично закону нормального распределения

Рисунок 7

S – технологическая система – имеет неопределенное поведение

Аналитический учет неопределенности поведения технической системы часто бывает затруднен. Однако в некоторых случаях удается построить (создать) необходимую для расчета модель, если исследуемая операция поведения технической системы представляет собой марковский случайный процесс.

S – техническое устройство, состоящее из ряда узлов, которое время от времени выходит из строя и заменяется или восстанавливается.

Процесс изменения состояния S безусловно случаен

Интересно перейдет ли система в дальнейшем в другие состояния S1, S2. Состояния будут характеризоваться производительностью системы.

Случайный процесс, протекающий в системе называется марковским, если для любого момента времени to вероятностной характеристикой процесса в будущем зависит только от его состояния в данный момент времени to и не зависит от того когда и как система С пришла в это состояние (So). Нас интересует будущее системы при t больше to. Можем ли мы его предсказать? В точности – нет. Наш процесс случайны, а значит непредсказуемый. НО определенной вероятностной характеристикой процесса (системы) в будущем мы можем определить аналитически. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S1 или сохранится в S0, какова будет средняя производительность системы S с учетом ее возможных состояний S0, S1, S2… Sn.

Рисунок 8

So – все станки работают.

S1 – отказал один станок.

S7 – отказали все семь станков.

В исследовании случайных процессов (операций) широко используются марковские случайные процессы с дискретными состояниями So, S1, S2 и непрерывным временем.

Размеченные графосостояния системы – когда определены все параметры и .

Потоки событий

Потоком событий называют последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные периоды времени.

В отмеченные времена происходит поступление заготовки на обработку

- случайные события (поломка инструмента)

Простейший поток событий (проще расчитывать) – должен обладать определенными свойствами.

Свойства простейшего потока:

1. Ординарность

Рисунок 9

1. Стационарность – его распределение параметров не зависит от времени

1. Отсутствие последействия – вляние каких-то факторов на поток

Регулярный поток – событие происходит через определенный промежуток времени.

Лекция 21

Потоки событий

Поток событий – последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени.

Рисунок 1

Поток однородный – если происходят одни и те же события

Одна из разновидностей потока – регулярный поток. Расстояние между событиями строго постоянное. (но это бывает редко)

Типичным для систем массового обслуживания является случайный поток.

Простейший поток обладает тремя свойствами: ординарность, стационарность и отсутствие последействия. (Пуассоновский поток)

Рисунок 2

Внизу состояния системы, а вверху вероятность. Внутри интервала не работает (целочисленные значения)

а – положительная величина, которая называется параметром закона Пуассона

- математическое ожидание

- дисперсия

При суммировании, взаимном наложении большого числа ординарных (стационарных) потоков получается закон близкий к простейшему – пуассоновскому закону.

М / М / 1

1 – один обслуживающий прибор

М – входной поток заготовок

М – поток обслуживания

Рисунок 3

Теория массового обслуживания позволяет рассчитать практические любые интересующие вас характеристики работы автоматизированной станочной системы, если вы знаете характеристики входного потока заявок и характеристики потока обслуживания и характеристики обслуживающего прибора.

Можно рассчитать используя аппарат теории массового обслуживания: суммарная производительность системы, время нахождения детали на обработке, максимальная длина очереди перед обслуживающей системой, процент простоя (коэффициент использования системы)

Венцель. Теория вероятности.

Пример 1

Рисунок 4

ГПМ – станок и обслуживающий робот (возможны 4 состояния)

S0 – полностью исправная система

S1 – отказ станка

S2 – отказ робота

S3 – оба отказа

– Поток выхода из строя

– Поток восстановления

*

- время обслуживания

Рисунок 5

Правила составления алгебраических выражений *

Финальные вероятности – вероятности устойчивого состояния системы

Финальная вероятность данного состояния: слева умножается на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного постояния, справа сумма произведений интерсивности всех потоков, входящих в нулевое состояние, умноженных на вероятности этих состояний.

Нормировочное условие:

Характеристики

Список файлов лекций