Кинетическая теорема современной неравновесной термодинамики (831925), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Из уравнений (1.59) – (1.62) непосредственно следует уравнение(1.42). Из уравнения (1.60) всегда можно, используя (1.62), определить составляющую3∆ Šщей ∆P̂ , *, ?, которая будет использована для построения составляю-матрицы восприимчивостей ∆P , *, ? ; составляющая‰ , *, ? непосредственно известна из эксперимента.∆PРассмотрим увлечение одной части -∆Š l координат -∆Š другой ча-стью -∆Š ll этих координат. Для этого, используя блочное представлениевекторов3∆Š, ∆K , *, ? , и матрицы ∆P̂ , *, ? ,l∆K l , *, ?-∆Š, ∆K , *, ? =-∆Š =,∆K ll , *, ?-∆Š ll∆P̂l , *, ?∆P̂ , *, ? = • ll l∆P̂, *, ?получим согласно (1.61)3∆ Š n∆P̂l , *, ?! nn " = • ll l3∆Š∆P̂, *, ?Согласно (1.65) получим3∆ Š n3∆ Š nn= ∆P̂l= ∆P̂ll, *, ? ∆K llСогласно (1.67) получим∆P̂ll, *, ?3∆Š nn= ∆P̂ll∆P̂l ll , *, ?€,∆P̂ll , *, ?(1.64)∆P̂l ll , *, ?∆K l , *, ?.€∆K ll , *, ?∆P̂ll , *, ?, *, ? + ∆P̂l, *, ? ∆K l(1.63)ll, *, ? + ∆P̂ll, *, ?∆P̂ll59l, *, ? ∆K ll, *, ? ∆K ll, *, ? ∆K l, *, ? ,, *, ? ., *, ? + ∆K ll(1.65)(1.66)(1.67), *, ? ;(1.68)отсюда согласно (1.66) получим-∆Š l= •∆P̂l,+∆P̂l, *, ?ll, *, ? − ∆P̂l∆P̂ll, *, ?ll∆P̂ll, *, ?-∆ Š ll.,, *, ?∆P̂llВведя матрицу увлечения координат -∆гласно [29, 55]:•lŒll‰̂llŽl, *, ? = ∆P̂l, *, ?ll, *, ?,матрицу эквивалентности термодинамических сил ∆K l, *, ? в соответствие с [29, 55]:∆K ll, *, ? = ∆P̂ll, *, ?∆P̂ll, *, ? +координатами -∆l∆P̂ll, *, ? € ∆K lll, *, ?, *, ? ,(1.69)llсо-(1.70)силам(1.71)и матрицу восприимчивостей неувлеченной составляющей [29, 55]:v̂l, *, ? = ∆P̂l•l, *, ? − Œllполучим согласно (1.68) – (1.72):3∆ Š nn= ∆P̂ll3∆ Š n, *, ?‰̂llŽ, *, ? ∆P̂ll, *, ? ∆K l , *, ? + ∆K lll•l, *, ? ∆K l , *, ? + Œ= v̂lПокажем, что матрица v̂l, *, ?ll≡•∆P̂llllla, *, ?∆P̂l , *, ?∆P̂ll l , *, ?v̂l , *, ?•, *, ? − ∆P̂ll, *, ? ,(1.72), *, ? ,(1.73).(1.74)3∆ Š nn, *, ? , вводимая согласно (1.72), положительноопределена.
Согласно (1.70), (1.72) получим•la −Œml•l, *, ? Œ∆P̂l ll , *, ?€•l−Œ∆P̂ll , *, ?mll J, *, ?∆P̂ll, *, ?all J€., *, ?m≡a(1.75)Из (1.75) видно, что в силу положительной определенности матрицы∆P̂ x, y, U матрица• ll∆P̂lv̂l, *, ?, *, ? − ∆P̂ll•l, *, ? Œll J, *, ?положительно определена, а значит и матрица v̂lтельно определена.Представим блочные матрицы ∆P̂l60ll∆P̂llm, *, ?€, *, ? также положи-, *, ? и∆P̂lll, *, ? в виде[29, 55]:∆P̂l∆P̂llˆlгде •llˆl, *, ? − •ˆl, *, ? + •lll•lматрице Œllllˆl•, *, ? = ŒJ, *, ? ∆P̂llllˆl•, *, ? Œ, *, ? = ∆P̂llll J, *, ? ,ˆl•, *, ? - матрица обратимого сопряжения, а Œ, *, ? . Согласно (1.76) получим, *, ? ,ll(1.76), *, ? - мат-рица увлечения несопряженных обратимо составляющих, аналогичнаяllˆl•ll, *, ? = ∆P̂lˆl•Œll, *, ? = ∆P̂ll−∆P̂ll l J, *, ?ll∆P̂ll J, *, ?lJ∆P̂ll, *, ? + ∆P̂ˆl•v, *, ? = ∆P̂lll, *, ? + ∆P̂ll, *, ?ll∆P̂ll∆P̂× ˆl•Œll Ja‘−‘‘ˆl•v•, *, ?am+’aˆl•−•, *, ?llИспользуя (1.76), составляющиегде=3∆Š nнесопр.обр3∆ Š n+3∆Š nсопр.обрсопр.обрˆl=•J,J, *, ? −, *, ? + ∆P̂ll61, *, ?,сопр.обр∆P̂ˆl•=3∆Š nnllllll J, *, ?m.(1.78), *, ? [29,, *, ? .
(1.79)m€×, *, ?, *, ?(1.77)“.(1.80)можно разложить на обра3∆ Š nn,несопр.обр3∆Š nnll, *, ?m3∆Š n 3∆ Š nn3∆Š nмо сопряженные составляющие3∆Š nm3∆ Š nтимо сопряженные составляющиественноJˆ•l, *, ? Œ, *, ? ∆P̂llllСогласно (1.64), (1.76), (1.79) получимˆŒ•x, y, U ,ll∆P̂ll, *, ? , аналогичную матрице v̂lˆl•, *, ? − Œ, *, ? = am, *, ?∆P̂, *, ?, *, ? + ∆P̂lˆl•Также введем матрицу v55]:J,3∆ Š nnнесопр.обр, *, ? ∆K llсопр.обри необрати-несопр.обр+, *, ? ,3∆Š nnсоответ-сопр.обр, (1.81)(1.82)3∆Š n3∆ Š nnнесопр.обр3∆Š nn= ∆P̂lсопр.обр, *, ? ∆K lˆl•= −•llJˆl•, *, ? + Œнесопр.обр= ∆P̂ll, *, ?ˆ•lŒнесопр.обрˆl•−Œ, *, ?3∆Š nnнесопр.обр=, *, ? ∆K l , *, ? ,ll, *, ? ∆P̂ll, *, ? ∆K lll J, *, ? ∆K ll, *, ? + ∆K llСогласно (1.79) уравнения (1.81) – (1.85) примут вид3∆Š n3∆Š nn3∆Š n3∆Š nnнесопр.обрнесопр.обрll=3∆Š nˆl−•3∆Š nnˆ•lŒ, *, ?= ∆P̂ll•l+ˆllllJнесопр.обрll J, *, ? ∆Kˆl•−Œ3∆ Š nnˆl•цы vˆl•−Œllll, *, ?ˆl, *, ? •= ∆P̂llll, *, ?3∆Š nnJˆl−•, *, ? ∆K llll, *, ? , (1.84), *, ? .
(1.85), *, ? ,, *, ? + ∆K ll, *, ?,(1.86), *, ? ., *, ? ∆K llˆl•, *, ? ∆K l , *, ? = v‰̂llŽ, *, ? ∆K l, *, ? ,Согласно (1.71), (1.76), (1.86) получим3∆ Š nˆl•=v, *, ? ∆K lll(1.83), *, ? −, *, ? ∆K l , *, ? ,, *, ? ∆K l , *, ? + ∆K ll, *, ?.(1.87)Из уравнения (1.80) видно, что матрица ∆P̂ , *, ? положительноопределена тогда и только тогда, когда положительно определены матри, *, ? и ∆P̂ll, *, ? .
Выше и в работах [18, 19] было доказано, чтоматрица восприимчивостей, входящая в потенциально-потоковые уравнения, может быть построена положительно-определенной тогда и толькотогда, когда произведение термодинамических сил на скорости протеканиянеравновесных процессов положительно. Положительность этого произведения гарантируется вторым началом термодинамики, отсюда матрицавосприимчивостей положительно определена. Отсюда, для того, чтобыматрица восприимчивостей ∆P̂ , *, ? была положительно определенной,необходимо и достаточно выполнения условий:∆K l , *, ? ;‰̂llŽJl3∆ Š nнесопр.обр, *, ? ∆Klˆl•−Œll, *, ? + ∆K62, *, ?ll3∆ Š nn, *, ?Jнесопр.обр3∆Š nn≥ 0,≥ 0, (1.88)(1.89)причем знак равенства относится к случаям ∆K lсоответственно.‰̂llŽ, *, ? ∆K ll, *, ? + ∆K ll, *, ? = 0 и, *, ? = 0Рассмотрим термодинамический смысл неравенств (1.88) и (1.89).ˆl•Составляющая Œ3∆ Š n3∆ Š nнесопр.обрнесопр.обр, *, ?ll3∆ Š nn3∆Š nnувлекаемая,, равная3∆ Š nнесопр.обрнесопр.обрˆl•−Œесть составляющая скоростинесопр.обр, *, ?llувлекается термодинамической силой ∆K lотсюда,3∆ Š nnнесопр.обрсоставляющая,, *, ? , а значит, согласно вто-рому началу термодинамики, не может быть направлена против этой силы.Отсюда вытекает неравенство (1.88) – следствие второго начала термодинамики.
Составляющую‰̂llŽl3∆ Š nnнесопр.обр, *, ? ∆K lдвижет результирующая сила, *, ? + ∆K ll, *, ? ,работа которой в силу положительной определенности матрицы восприимчивостей, следующей из второго начала термодинамики [18, 19], всегдаположительна. Отсюда, неравенство (1.89) – следствие второго началатермодинамики. Согласно (1.86) неравенство (1.88) примет вид:∆K l , *, ? ;ˆl•−Œll, *, ? •ˆlМатрицы •J3∆ Š n3∆Š nnllˆl−•ˆl+•ˆl•, *, ? , ŒllJllll, *, ? ∆K ll, *, ? ∆Kl, *, ? −, *, ? €“ ≥ 0., *, ? можно определить, используяуравнения (1.70), (1.71), (1.77), (1.78), в соответствие сˆl•ll‰̂ll− Ž•l, *, ? = Œl, *, ?Jll∆P̂ll, *, ? ∆P̂ll , *, ?J, *, ?∆P̂llJ(1.90)∆P̂llJ, *, ? + ∆P̂ll , *, ?, *, ? + ∆P̂ll , *, ?63∆P̂ll∆P̂ll , *, ? ,J, *, ? −(1.91)ˆl•Œll× ∆P̂ll J, *, ? + ∆P̂llУчитывая тождество≡ ∆P̂ll‰̂ll, *, ? Ž, *, ? = ’ ∆P̂ll∆P̂ll, *, ?≡ ∆P̂llJ, *, ? − ∆P̂ll, *, ?∆P̂ll, *, ?получим согласно (1.91)ˆl•ll× ∆P̂ll•l, *, ? = •Œ, *, ?∆P̂∆P̂llllll J., *, ?J•l+Œ, *, ? + ∆P̂llJ, *, ?lJ∆P̂llll, *, ?, *, ? + ∆P̂llJ, *, ? + ∆P̂ll‰̂ll, *, ? − Ž, *, ? + ∆P̂lll, *, ?, *, ?, *, ?, *, ? ∆P̂ll∆P̂llJ, *, ?∆P̂llJ€×∆P̂ll J, *, ? “ ×, *, ? ≡∆P̂ll(1.92), *, ? ≡, *, ? ,, *, ? .(1.93)Из уравнения (1.87) видно, что построение матрицы восприимчиво-стей ∆P̂ , *, ? простой подсистемы сложной системы сводится к построˆl•ению матриц v, *, ? , ∆P̂ll, *, ? , порядок которых ниже порядка мат-рицы ∆P̂ , *, ? .
Причем, если порядок системы векторов -∆Š l равен одному, то согласно (1.87) имеем–˜l̅, *, ? =•n™∆š›œnnˆ n%nn ,*,? ∆K nn ,*,?ˆ n%nn ,*,? ™∆ Š•Œ•›œ∆• n ,*,?ˆ n%nn ,*,? ∆• n ,*,?ˆ n%nn ,*,? ••Œ; (1.94)если порядок системы векторов -∆Š ll равен одному, то согласно (1.87)имеем∆ž̃ll, *, ? =‰̂nn%n ,*,?Ž•nn™∆š›œ∆K n ,*,?†∆• nn ,*,?.(1.95)Таким образом, имея скорости, термодинамические силы, а такжематрицы увлечения координат состояния и матрицы эквивалентности термодинамических сил, для каждого блочного разбиения матрицы (1.64),можно, используя уравнения (1.87), (1.92) – (1.95) разработать методикупостроения матрицы восприимчивостей простой подсистемы сложной системы.
Условия (1.89) и (1.90) гарантируют положительную определен64ˆl•ность матриц v, *, ? , ∆P̂ll, *, ? , а значит, и матрицы восприимчиво-стей ∆P̂ , *, ? . Матрицы увлечения координат состояния и матрицы эк-вивалентности термодинамических сил можно идентифицировать, анали-зируя термодинамические силы и скорости протекания неравновесныхпроцессов в простой подсистеме. Использование матриц увлечения однихкоординат другими и матриц эквивалентности термодинамических силпозволяет свести задачу построения матрицы восприимчивостей к задачепостроения матрицы восприимчивостей более низкого порядка – алгоритмпостроения матрицы восприимчивостей получается рекуррентным.Выше рассматривались матрицы восприимчивостей потенциальнопотоковых уравнений (1.24), (1.42), (1.54), описывающие неравновесныепроцессы как в сложных системах, так и в простых подсистемах, т.к.
впредыдущих пунктах анализировались характеристики обратимой и необратимой составляющей неравновесных процессов. В этом пункте настоящего параграфа будут использованы потенциально-потоковые уравнения(1.54), описывающие динамику неравновесных процессов в простых подсистемах сложной системы. Для потенциально-потоковых уравнений (1.24)в силу их аналогичности (1.43) справедливы описанные выше алгебраические преобразования.Как было показано выше для построения матрицы восприимчивостейпростых подсистем необходимо вектор независимых приращений -∆x декомпоновать на -∆x∆Kx∆Pxlи -∆xll, а также и термодинамические силы, *, ? декомпоновать на ∆Kxl , *, ? и ∆Kxll, *, ? соответственно., *, ? простой подсистемы. Связь главных блоков с перекрестнымиНа соответствующие блоки декомпонуется и матрица восприимчивостейдается матрицами увлечения координат состояния и матрицами эквивалентности термодинамических сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
