1612135140-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (829506), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

функции uk , k = 1, m определяются неявно.б) Решение задачи Коши(Lu = g,(6)u|t=t0 = ϕ(x) = (ϕ1 (x), ..., ϕm (x)),Лекция №2, НГУ, ММФ, 2010строится так:9(1)(1) Φ (t0 , x, u) = Φ ,........(n+m) (n+m)Φ(t0 , x, u) = Φ;т.е.(1)x = X(Φ , ...),(1)u = U (Φ , ...).Тогда решение задачи Коши (6) дается в виде:U (Φ(1) (t, x, u), ...) = ϕ(X(Φ(1) (t, x, u), ...)),т.е. определяется в неявном виде.Пример.ut + uux = 0;dx= u → x − ut = const,dtс.с.об.ур. du = 0 → u = const.dt(Φ(1) = x − ut,Φ(2) = u,F(x − ut, u) = 0 - общее решение.

Задача Коши:(ut + uux = 0,u|t=0 = ϕ(x)имеет решение:(8) u = ϕ(x − ut).До сих пор, при построении решений того или иного уравнения, мынеявно предполагали, что строим гладкие решения, т.е. решениянепрерывно дифференцируемые до некоторого порядка.Так задача Коши: ut + ux = 0, u|t=0 = ϕ(x) имеет гладкое решение при всех t > 0, x ∈ R1 , если функция ϕ(x) непрерывноЛекция №2, НГУ, ММФ, 201010дифференцируема. Однако в случае задачи Коши (7) дело обстоит сложнее.

Оказывается, далеко не всегда можно построить гладкое решение этой задачи при всех t > 0 (даже, если ϕ(x) - гладкая функция). Итак, гладкое решение перестает существовать, какtt=(x0 )t+x0t=-1u=u=1,1,x-x=x+-11-11x0xтолько характеристики пересеклись. Из (8) легко получаемϕ0 (x0 )ux (t, x) = ux (t, x0 + ϕ(x0 )t) =.1 + tϕ0 (x0 )Следовательно, гладкое решение задачи Коши (7) существует привсех t > 0, если ϕ0 (x0 ) ≥ 0. Если же в некоторой области ϕ0 (x0 ) <0, то гладкое решение задачи (7) существует при 0 < t < tk , где:1tk =sup |ϕ0 (x0 )|x0(sup берется в той области, где ϕ0 (x0 ) ≤ 0).x0При t ≥ tk гладкое решение перестает существовать.

Явлениенеограниченного роста градиентов основных величин (например,ux ) получило название градиентной катастрофы.3. Уравнение Гамильтона-Якоби.(9) ut + H(t, x, ∇u) = 0,Лекция №2, НГУ, ММФ, 201011H(·) - гладкая функция своих аргументов.Обозначим: p = ∇u, Hp = (Hp1 , ..., Hpn ),∂+ (Hp , ∇).Hx = (Hx1 , ..., Hxn ), L =∂tТогдаdx= Hp (t, x, p),dt -канонич. ур-ния Гамильтона;dpLp = −Hx → (10)= −Hx (t, x, p),dt du = −H(t, x, p) + (p, Hp ).dtЗадача Коши:(ut + H(t, x, ∇u) = 0,(11)u|t=0 = ϕ(x),при условии, что решение ее существует и является гладкой функцией, то это решение может быть найдено путем решения задачиКоши для (10) с начальными данными: x|t=0 = x0 ,(++)p|t=0 = ∇ϕ(x0 ),u|t=0 = ϕ(x0 ).Справедливо и обратное утверждение: если u, p - решение задачиКоши для (10), то∇u = p, ut = −H(t, p, ∇u).Задачи.1) Найти решение задачи Коши:(ρt + (∇ω, ∇ρ) = −ρ∆x ω,ρ|t=0 = ρ0 (x);ω = ω(t, x) - известная гладкая функция.Лекция №2, НГУ, ММФ, 20102) Найти решение задачи Коши: ω + 1 |∇ω|2 + U (x) = 0,t2 ω| = ω (x), U (x) − известная функция.t=0012.

Характеристики

Список файлов лекций