1612135140-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (829506), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Пусть функция K(y) обладаетследующими свойствами:H1 . Функция K(y) определена, непрерывна и имеет частные про∂изводныеK(y) в области ||y|| ≤ R.∂yjH2 . K(0) = 0 и для всех δ > 0 (0 < δ ≤ R) существует такойвектор y = yb[δ] (0 < ||by [δ] || < δ), что K(by [δ] ) ≥ 0.H3 . Непрерывная функцияF(y) = −λK(y) +NXi=1fi (y)∂K(y),∂yiгде λ > 0 - некоторое число, такое, что F(y) > 0 при 0 < ||y|| < Rи F(0) = 0.Ляпуновым была доказана следующая теорема о неустойчивости тривиального решения y0 (t) ≡ 0 системы y 0 = f (y).Лекция №18, НГУ, ММФ, 20103Теорема. Если для системы y 0 = f (y), f (0) = 0 существуетфункция K(y), удовлетворяющая при некотором λ > 0 условиямH1 , H2 , H3 , то тривиальное решение y0 (t) ≡ 0 уравнения y 0 = f (y)неустойчиво по Ляпунову.Будем говорить, что система y 0 = Ay + ϕ(y), где A - постояннаяматрица, является почти линейной, если для всех y : ||y|| ≤ Y :||ϕ(y)|| ≤ q||y||1+ω (q, ω > 0).Ляпуновым доказано, что если собственные значения матрицы Aлежат строго в левой полуплоскости, то нулевое решение y0 (t) ≡ 0системы y 0 = Ay + ϕ(y) асимптотически устойчиво.

Если же средисобственных значений матрицы A существует корень τ0 с Reτ0 > 0,то тривиальное решение y0 (t) ≡ 0 неустойчиво по Ляпунову.Итак, пусть собственные значения матрицы A таковы, чтоReτj (A) < 0, j = 1 < N . Тогда по матрице C = C∗ > 0 (пусть,например, C = IN ) найдем матрицу H = H ∗ > 0, как решениематричного уравнения Ляпунова:HA + A∗ H = −C.Обозначим через H(y) = (Hy, y). Покажем, что для пункции H(y)выполнены условия Λ1, Λ2, Λ3! Выполнение условий Λ1, Λ2 очевидно. Проверим, теперь, выполнение условия Λ3! Вдоль некоторого решения y = y(t) имеемY(y) = −(f, H(y)y ) = −d(Hy, y) =dt= −(H[Ay + ϕ(y)], y) − (Hy, [Ay + ϕ(y)]) == −(HAy, y) − (Hy, Ay) − (Hϕ(y), y) − (Hy, ϕ(y)) == −([HA + A∗ H]y, y) − (ϕ(y), Hy) − (Hy, ϕ(y)) == (Cy, y) + ∆(y),где∆(y) = −(ϕ(y), Hy) − (Hy, ϕ(y)) =Лекция №18, НГУ, ММФ, 20104= −(Hy, ϕ(y)) − (Hy, ϕ(y)) = −2Re(Hy, ϕ(y)).Далее||Hy||||ϕ(y)||↓pp ↓|∆(y)| ≤ 2|(Hy, ϕ(y))| ≤ 2 (Hy, Hy) · (ϕ(y), ϕ(y)) ≤≤ 2α||y|| · ||ϕ(y)|| ≤ 2αq||y||2+ω (||Hy|| ≤ ||H|| · ||y||),где α = ||H||.

Далее, т.к.γ||y||2 ≤ (Cy, y) ≤ γ 0 ||y||2 ,то·(Cy, y)|∆(y)| ≤ 2αqγСледовательно¸ 2+ω2=2αq1+ ω2.ω (Cy, y)γ 1+ 22αq1+ ω2=ω (Cy, y)γ 1+ 2·½¸¾ω2αq2αq 0 ω= (Cy, y) 1 − 1+ ω (Cy, y) 2 ≥ (Cy, y) 1 − 1+ ω (γ ) 2 ||y||ω .γ 2γ 2ПустьY,1 µµ¶¶ ω12R = minγγ.γ04αqТогда, при ||y|| ≤ R:Y(y) = (Cy, y) + ∆(y) ≥ (Cy, y) −1−т.е.2αq 0 ω ω 12αq 0 ωω22≥1−≥ ,ω (γ ) ||y||ω (γ ) R2γ 1+ 2γ 1+ 21Y(y) ≥ (Cy, y),2и условие Λ3! выполнено, что и требовалось доказать.Рассмотрим случай, когда у матрицы A существует корень τ0λс Reτ0 > 0. Заметим, что матрица A − IN имеет собственные2Лекция №18, НГУ, ММФ, 20105λзначения τj (A) − .

Подберем такое число λ > 0, чтобы среди2λλτj (A)− были числа с Re(τj (A)− ) > 0 и чтобы для всех i, j : τj +22τ i − λ 6= 0. Пусть C = C∗ > 0 - некоторая матрица (например,C = IN ). Построим матрицу K = K ∗ . как решение следующегоматричного уравнения Ляпунова:λλK(A − IN ) + (A∗ − IN )K = −C22илиKA + A∗ K = λK − C.Понятно, что это уравнение однозначно разрешимо, причем K =λK ∗ не является положительно определенной, ибо матрица A− IN2имеет собственные значения лежащие в правой полуплоскости. Поскольку K не является положительно определенной, то существуетвектор yb (||by || 6= 0) такой, что (K yb, yb) ≤ 0.

В качестве функцииK(y) возьмем функцию вида K(y) = (Ky, y). Убедимся, что выполнены условия H1 , H2 , H3 . Условие H1 выполнено с очевидностью. Условие H2 тоже, поскольку в качестве вектора yb[δ] можновзять векторybyb[δ] = δ;2||by ||δпри этом 0 < ||by [δ] || = < δ.2Проверим, теперь, выполнение условия H3 :F(y) = −λK(y) + (f, Ky ) = λ(Ky, y) +dK(y)=dt= λ(Ky, y) − (K[Ay + ϕ], y) − (Ky, [Ay + ϕ]) == −([KA + A∗ K − λK]y, y) − (Kϕ, y) − (Ky, ϕ) == (Cy, y) + Θ(y),Θ(y) = −2Re(Ky, ϕ).Лекция №18, НГУ, ММФ, 20106Далее,|Θ(y)| ≤ 2|(Ky, ϕ)| ≤ 2||Ky|| · ||ϕ(y)|| ≤ 2β.||y|| · ||ϕ(y)|| ≤ 2βq||y||2+ω (||K|| = β).Ясно, что Θ(y), F(y) определены при ||y|| ≤ Y . Так какγ||y||2 ≤ (Cy, y) ≤ γ 0 ||y||2 ,то|Θ(y)| ≤2βq1+ ω2ω (Cy, y)γ 1+ 2и следовательно2βq1+ ω2=ω (Cy, y)γ 1+ 2½¾½¾ω2βq2βq 0 ωω= (Cy, y) 1 − 1+ ω (Cy, y) 2 ≥ (Cy, y) 1 − 1+ ω (γ ) 2 ||y|| .γ 2γ 2ПустьY,11R = min µ γ ¶ 2 µ γ ¶ ω,γ04βqF(y) = (Cy, y) + Θ(y) ≥ (Cy, y) −то при ||y|| ≤ R:2βq1−γµ 0 ¶ ω2µ 0 ¶ ω2γ2βqγ1||y||ω ≥ 1 −Rω ≥ ,γγγ21т.е.

F(y) ≥ (Cy, y) и условие H3 выполнено.2§19. Критерии устойчивости и неустойчивости.При исследовании на устойчивость тривиального решенияy0 (t) ≡ 0 системы y 0 = f (y), f (0) = 0 широко применяется следующая, принадлежащая Ляпунову теорема о критериях устойчивости и неустойчивости по линейному приближению.Пусть f (y) имеет в окрестности точки y = 0 непрерывные первые и вторые производные.

Пусть¯∂f1 ¯¯∂f1 ∂y . . . ∂y ¯1N ¯¯A = fy (0) = ......¯ . ∂fN∂fN ¯¯...∂y1∂yN ¯y=0Тогда, если Reτj (A) < 0 , j = 0, N , то решение y0 (t) ≡ 0 асимптотически устойчиво. Если же есть хотя бы один корень τj0 сReτj0 > 0, то тривиальное решение y0 (t) ≡ 0 неустойчиво по Ляпунову.Это утверждение получается как простое следствие соответствующих утверждения для почти линейного уравнения (см. §18):y 0 = Ay + ϕ(y),||ϕ(y)|| ≤ q||y||1+ωпри ||y|| ≤ Y (q, ω, Y > 0 - некоторые постоянные). В самом деле,если f (y) имеет в некоторой окрестности точки y = 0 непрерывные первые и вторые производные, которые можно предполагатьограниченными и если эта окрестность звездна относительно точки y = 0, то в этой звездной окрестности можно воспользоваться1Лекция №19, НГУ, ММФ, 20102формулой Тейлораfj (y) = fj (0) +N1 X ∂ 2 fj(0)yk +(a)yk yl =∂yk2∂yk ∂ylNX∂fjk=1=k,l=1NXAjk yk + ϕj (y),k=1где a = ρy, 0 ≤ ρ ≤ 1.В силу очевидного неравенства¯¯ NN¯X¯X¯¯yi yj ¯ ≤ N|yj |2¯¯¯i,j=1имеемi=1¯ 2¯ N¯ ∂ fj¯XN|ϕj (y)| ≤max ¯¯(a)¯¯|yj |2 ≤2 ||y||≤Y ∂yk ∂yli=1≤ const||y||2 .Итак, при ||y|| ≤ Y :f (y) = Ay + ϕ(y),причем||ϕ(y)||≤ q||y||2 .ksNP|ϕj (y)|2j=1Это обстоятельство позволяет переписать уравнение y 0 = f (y) ввиде y 0 = Ay + ϕ(y), где ϕ(y) при ||y|| ≤ Y удовлетворяет оценке ||ϕ(y)|| ≤ q||y||2 .

В этой записи уравнение y 0 = f (y) являетсяпочти линейным (ω = 1 > 0), и следовательно, мы можем воспользоваться критериями устойчивости и неустойчивости из §18.Пример. Рассмотрим систему(y10 = sin(y1 + y2 ),y20 = cos(y1 − y2 ).Лекция №19, НГУ, ММФ, 2010Точка равновесия y1 = a1 , y2 = a2 определяется из равенств:(à !sin(a1 + a2 ) = 0a1, y=,cos(a1 − a2 )a2т.е. a1 + a2 = mπ, a1 − a2 = π( 1 + n), m = 0, ±1, ...; n = 0, ±1, ...;2или1 π a1 = (m + n + ) ,2 2 a2 = (m − n − 1 ) π .2 2Матрица A имеет вид:Ã! µ¶cos mπcos mπ(−1)m (−1)mA==,11(−1)n+1 (−1)n− sin(n + )π sin(n + )π22при этом характеристическое уравнение имеет видdet(A − λI2 ) = λ2 − λ[(−1)m + (−1)n ] + 2(−1)m+n = 0.При( различных n, m получаем:n − четное,1)m − четное;(2)(2)λ2 − 2λ + 2 = 0 : λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i.n − четное,m − нечетное;√λ2 − 2 = 0 : λ1,2 = ± 2.n − нечетное,m − четное;√λ2 − 2 = 0 : λ1,2 = ± 2.31Ÿ20.

Ïåðâûå èíòåãðàëû îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÍà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèÿ Φ(y, t) = Φ(y1 , . . . , yN , t) íàçûâàåòñÿ ïåðâûìèíòåãðàëîì ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéy 0 = f (y, t), åñëè Φ(y, t) 6≡ const, íî â òî æå âðåìÿ Φ(y, t) ïîñòîÿííà âäîëüëþáîãî ðåøåíèÿ y = y(t) ñèñòåìû y 0 = f (y, t).Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ Φ(y, t) áûëà ïåðâûìèíòåãðàëîì ñèñòåìû y 0 = f (y, t) íåîáõîäèìî, ÷òîáû:NPà) (Φt )2 + (Φyi )2 6≡ 0 â îáëàñòè Ω;i=1á)dΦ(y, t)dt= Φt +NPi=1Φyi fi (y, t) = 0,ò.å. ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèè Φ(y, t) â ñèëó ñèñòåìû y 0 = f (y, t)(ò.å.

âäîëü ëþáîãî ðåøåíèÿ y = y(t) ñèñòåìû y 0 = f (y, t)) ðàâíà íóëþ(ñì. Ðèñ.1).0t00tÐèñ. 1Äàëüíåéøèé õîä ðàññóæäåíèé ðàçîáú¼ì íà íåñêîëüêî ÷àñòåé.1) Åñëè {Φ(i) (y, t)}, i = 1, K ïåðâûå èíòåãðàëû ñèñòåìû y 0 = f (y, t),òî ëþáàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ îò íèõ ÿâëÿåòñÿ òîæå ïåðâûìèíòåãðàëîì ñèñòåìû y 0 = f (y, t).  ñàìîì äåëå, ïóñòüF(y, t) = F (Φ(1) (y, t), . . . , Φ(K) (y, t)).ÒîãäàFt +NXi=1Fyi fi (y, t) =KXj=1(j)FΦ(j) Φt +NXi=1fi (y, t)(KXj=1)FΦ(j) Φ(j)yi=2=KX(FΦ(j)(j)Φt +j=1NX)fi (y, t)Φ(j)yi= 0.i=1Îïðåäåëåíèå 2. Áóäåì íàçûâàòü ïåðâûå èíòåãðàëû Φ(i) (y, t),i = 1, Kôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûìè â íåêîòîðîé îáëàñòè ïåðåìåííûõ y , t, åñëè â ýòîé îáëàñòè ìàòðèöà ßêîáèµ (i)¶∂Φ(y, t) , i = 1, K, j = 0, N∂yj(ìû ïîëàãàåì äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè y0 = t) ïðè j > 1 èìååò ðàíã K .Óæå èç Îïðåäåëåíèÿ 2 ÿñíî, ÷òî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâñèñòåìû y 0 = f (y, t): 6 N + 1.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêóNX∂Φ(i)∂Φ(i)∂Φ(i)==−fj (y, t),∂y0∂t∂yjj=1òî íà ñàìîì äåëå ÷èñëî ôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâäëÿ ñèñòåìû y 0 = f (y, t): 6 N .

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé y 0 = f (y, t) ñóùåñòâóåò ðîâíî Nôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.2) Ïóñòü {Φ(i) (y, t)}, i = 1, N íàáîð íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâñèñòåìû y 0 = f (y, t) è ïóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòè ïåðåìåííûõ y , t ÿêîáèàíµ (i)¶∂Φdet(y, t) 6= 0, i, j = 1, N .∂yjÏóñòü F(y, t) åù¼ êàêîé-ëèáî ïåðâûé èíòåãðàë òîé æå ñèñòåìûy 0 = f (y, t):NXFt +Fyj fj (y, t) = 0.j=1Ïîñêîëüêóµdet¶∂Φ(i)(y, t) 6= 0∂yjâ íåêîòîðîé îáëàñòè Ω, òî ïî òåîðåìå î íåÿâíîé âåêòîð-ôóíêöèè ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè(y0 , t0 ) ∈ Ω ñóùåñòâóþò ïðåäñòàâëåíèÿ:¡¢yj = Yj Φ(1) , .

Характеристики

Список файлов лекций