1612135140-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (829506), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

. . , Φ(N ) , t ,3ïðè ýòîì ãëàäêîñòü ôóíêöèé Φ(i) (y, t) îáåñïå÷èâàåò ãëàäêîñòü ôóíêöèé¡¢Yj Φ(1) , . . . , Φ(N ) , t .Äàëåå¡¢F(y, t) = F(Y, t) = H Φ(1) , . . . , Φ(N ) , tè0 = Ft +NXfj (y, t)Fyj = Ht +j=1NX"HΦ(k)(k)Φt+NX#= Ht = 0,fj (y, t)Φ(k)yjj=1k=1¡¢ò.å. H Φ(1) , . . . , Φ(N ) . Èòàê, åñëè íàì óäàëîñü ïîñòðîèòü N ôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ñèñòåìû y 0 = f (y, t), òî ëþáîé äðóãîéïåðâûé èíòåãðàë ýòîé ñèñòåìû äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå¡¢F(y, t) = H Φ(1) , . . . , Φ(N ) .3) Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà ïðîáëåìå íàõîæäåíèÿ ó ñèñòåìû y 0 = f (y, t)íàáîðà èç N ôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè½ 0y = f (y, t),y|t=t0 = y0(ñì. Ðèñ.1) è ïóñòü y = y(t, y0 ) å¼ ðåøåíèå (ïðè ýòîì ìû ïðåäïîëàãàåì,÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü f (y, t) íåïðåðûâíàÿ è íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿïî yj , j = 1, N ïî âåêòîð-ôóíêöèÿ).

Ïóñòüµ¶∂yj (t, y0 )Y (t) =.∂yi0Òîãäà det Y (t) 6≡ 0 (ïî êðàéíåé ìåðå, â îêðåñòíîñòè t = t0 ).  ñàìîì äåëå,ïîñêîëüêóµ¶ XNd ∂yj∂fj ∂yk=dt ∂yi0∂yk ∂yi0k=1èëèY 0 (t) = fy (y, t)Y (t),y = y(t, y0 ).Îòñþäà tZdet Y (t) = expt0Tr(fy (y(τ, y0 ), τ ))dτdet Y (t0 ).4Ïîñêîëüêó det Y (t0 ) = 1 (Y (t0 ) = IN ), òî det Y (t) 6= 0. Èòàê, âåêòîðôóíêöèÿ y = y(t, y0 ) íåïðåðûâíàÿ, íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïîâñåì ïåðåìåííûì, ïðè÷¼ì ÿêîáèàí det Y (t) 6= 0. Ïî òåîðåìå î íåÿâíîçàäàííûõ âåêòîð-ôóíêöèÿõ ìû ìîæåì îäíîçíà÷íî ðàçðåøèòü ñèñòåìóy(t, y0 ) = yîòíîñèòåëüíî âåêòîðà y0 , ïðè÷¼ì âåêòîð-ôóíêöèÿ y0 = y0 (t, y) áóäåòíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé îòíîñèòåëüíî t, y (â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè t0 , y0 ).

Ïîñêîëüêó âäîëü ëþáîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû y 0 = f (y, t) çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà y0 (t, y) ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè, òîdyj0 (t, y(t, y0 )) = 0 (ñì. Ðèñ.2).dty,ty0,t0Ðèñ. 2Ñëåäîâàòåëüíî, yi0 (t, y), i = 1, N ïåðâûå èíòåãðàëû ñèñòåìû y 0 =f (y, t). Äàëåå, ïîñêîëüê󵶵¶∂yj∂yj0YZ =(t, y0 )(t, y(t, y0 )) = IN ,∂yi0∂yiòî det Z = 0 è {yi0 (t, y)}, i = 1, N ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõïåðâûõ èíòåãðàëîâ.Ïðèìåð.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó½u0 = −v,v 0 = u.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîΦ(1) = u2 + v 2 , Φ(2) = t + arctg uv ïåðâûå èíòåãðàëû.Ôóíêöèèb (1) = u cos(t0 − t) − v sin(t0 − t),Φb 2) = u sin(t0 − t) + v cos(t0 − t),Φòîæå ïåðâûå èíòåãðàëû (îíè ïîëó÷åíû ïîñëå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèu0 = −v, u|t=t0 = u0 ,v 0 = u, v|t=t0 = v05è ðåøåíèÿ ñèñòåìûu = u(t, u0 , v0 ),îòíîñèòåëüíî u0 , v0 ).v = v(t, u0 , v0 )§2.

Линейное однородное уравнение первого порядка.Квазилинейные уравнения с частными производными.Уравнение Гамильтона-Якоби.1. Линейное однородное уравнение первого порядка.(1) Lu = ut +nXfk (t, x)uxk = 0k=1или(1) Lu = ut + (f, ∇u) = 0,∂(t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 , L =+ (f, ∇).∂tЗдесь:µ f = (f1 , ..., f¶n ); fk (t, x) - некоторые известные функции,∂∂, ...,∇=, u = u(t, x) - искомое решение.∂x1∂xnСопутствующая система обыкновенных диф. уравнений:dx= f (t, x) (c.c.)dt©ªПусть Φ(i) (t, x), i = 1, n - какая-либо система функциональнонезависимых первых интегралов системы (∗).Замечание. 1) Функция Φ(t, x) - называется первым интегралом системы (∗), если она тождественно не равна константе, нов то же время эта функция постоянна вдоль каждого решенияx = x(t) системы (∗).2) Интегральные кривые системы (∗) x = x(t) называются характеристиками уравнения (1).3) Об одном теоретическом способе нахождения системы функционально независимых первых интегралов.

Пусть x = x(t, x0 ) (∗)1Лекция №2, НГУ, ММФ, 20102решение задачи Коши dx = f (t, x),dtx|t=t0 = x0 , x0 = (x10 , ..., xn0 ).По теореме о неявно заданных функциях векторное уравнение x =x(t, x0 ) может бытьотносительно x0 : x0 =© однозначно разрешеноªx0 (t, x) и система xi0 (t, x), i = 1, n может быть взята в качествесистемы функционально независимых первых интегралов векторного уравнения (∗).Общееуравнения (1).© решениеª(1)u = F Φ (t, x), ..., Φ(n) (t, x) , F - произвольная функция (достаточно гладкая).Свойство любого решения уравнения (1): вдоль характеристикирешение u постоянно. Далее уравнение (1) можно еще переписатьтак:dud= 0, где= L - полная производная от u вдоль характериdtdtстики.Задача Коши для уравнения (1):(Lu = 0,(2)u|t=t0 = ϕ(x),где ϕ(x) - некоторая гладкая функция.Формализмпостроения решения задачи Коши (2):(1)(1)Φ(t,x)=Φ,0а) ... (n)(n)Φ (t0 , x) = Φ .Из этой системы находим зависимость(1)(n)x = X(Φ , ..., Φ ).б) Тогда решение задачи Коши (2) записывается так:u = ϕ(X(Φ(1) (t, x), ..., Φ(n) (t, x))).Лекция №2, НГУ, ММФ, 20103du= 0 - полdtная производная от u в силу системы (∗) равна 0.

Это означает,что вдоль характеристики функция u постоянна.Рассмотрим вместо уравнения (1) более общее уравнение:Замечание. Уравнение (1) можно трактовать так:(10 ) f0 (t, x)ut + (f, ∇u) = 0.Рассмотрим два предельных случая.1-ый предельный случай.Если f0 6= 0, то (10 ) перепишется в виде (1)µ¶100f, ∇u = 0,(1 ) ut +f0характеристики которого определяются из соп. системы:(∗∗)dx1= f.dtf0Удобно ввести параметр s:ds1= , s|t=t0 = 0.dtf0Тогда система (∗∗) перепишется так:dt= f0 (t, x),ds dx = f (t, x).dsЗаметим, что вектор fe = (f0 , f ) = (f(0 , f1 , ..., fn ) определяет векx = x(s),тор, касательный к характеристикеуравнения (10 ).s = s(t)Говорят, что этот вектор задает характеристическое направлениев точке (t, x).

Если мы решаем задачу Коши для уравнения (10 )((100 )) с данными при t = t0 : u|t=t0 = ϕ(x), то гиперплоскостьt = t0 ни в одной точке не имеет хар. направления.Лекция №2, НГУ, ММФ, 201042-ой предельный случай.Если f0 (t, x) ≡ 0, то (10 ) перепишется так:(1000 ) (f (t, x), ∇u) = 0,характеристики которого находятся из системы:dt= 0,ds dx = f,dsт.е. при t = const характеристики расположены в гиперплоскости t = const. Поскольку вдоль каждой такой характеристики uпостоянно, то следовательно задача Коши((f, ∇u) = 0,u|t=t0 = ϕ(x)разрешима не при любой функции ϕ(x).

Промежуточный случайбудет рассмотрен далее на примере.До сих пор мы рассматривали данные Коши на гиперплоскостиt = t0 . Рассмотрим теперь так называемую обобщенную задачуЛекция №2, НГУ, ММФ, 20105Коши, которая ставится так:(f0 ut + (f, ∇u) = 0,(3)u|γ = ϕ(t, x), (t, x) ∈ γ.Здесь γ - гладкая гиперповерхность с уравнениемΨ(t, x) = 0,¯e ¯¯ 6= 0, ∇Ψe = (Ψt .Ψx , ..., Ψx ) = (Ψt , ∇Ψ). Сделаемпричем |∇Ψ|1nγв задаче (3) замену независимых переменных:(x = x,(+)ξ = Ψ(t, x), u(t, x) = ue(ξ, x);при этом:т.е.∂u ∂eu∂u∂eu∂eu=Ψt ,=+Ψx ,∂t∂ξ∂xk∂xk ∂ξ k∇u = ∇eu+∂eu∇Ψ.∂ξЛекция №2, НГУ, ММФ, 20106>0=0<0Следовательно задача (3) перепишется так:([f0 Ψt + (f, ∇Ψ)]euξ + (f, ∇eu) = 0,(30 )ue|ξ=0 = ϕ(t, x), t = t(0, x)(заметим, что из (+) следует, что t = t(ξ, x), если Ψt |γ 6= 0, например).Задача (30 ) однозначно разрешима, если[f0 Ψt + (f, ∇Ψ)] |γ 6= 0,eeт.е.

(fe, ∇Ψ)|γ 6= 0, f = (f0 , f ).Это означает, что вектор fe не лежит в касательной гиперплоскости к гиперповерхности γ (иными словами, ни в одной точкеповерхность γ не имеет характеристического направления).Примеры:1) xut − (t + 1)ux = 0, x ∈ R1 ;dxt+1уравнение характеристик:=−,dtxт.е. общее решение: u = F(x2 + (t + 1)2 ).Найдем решение задачи Коши при t > 0 с начальным условием:Лекция №2, НГУ, ММФ, 20107u|t=0 = x.Однако простые рассуждения показывают, что начальное условиеможно задавать либо при x < 0, либо при x > 0 (на всей оси t =0 начальное условие задавать нельзя!).

Если начальное условиезадается при x < 0, то решение имеет вид:pu = − x2 + (t + 1)2 − 1, t > 0.Причина того, почему начальное условие нельзя задавать приt(f0 ,f1 )0x-1всех x, заключается в том, что в точке (0, 0) линия t = 0 имеетхарактеристическое направление.2) ut + ux = 0, u = F(x − t), Ψ = x − t, f0 Ψt + f1 Ψx = 0.2.

Квазилинейные уравнения с частными производными.(4) Luk = gk (t, x, u), k = 1, m;∂L=+ (f, ∇), f = (f1 , ..., fn ),∂tЛекция №2, НГУ, ММФ, 20108fk = fk (t, x, u), k = 1, n,; u = (u1 , ..., um ).Система (4) называется квазилинейной. Если f = f (t, x), тосистема называется почти линейной.а) Нахождение общего решения.dx= f (t, x, u),dt(5) du = g(t, x, u), g = (g1 , ..., gm )dt(соп. сист. об. диф. уравнений).dx= f (t, x, u) называются харакdtтеристиками системы (4).

Но в отличии от лин. уравнения (1),в квазилинейном случае нельзя найти характеристики, не знаяduрешения u = u(t, x). Каждое уравнение системы= g(t, x, u)dtназывается соотношением на характеристике. Пусть {Φ(i) (t, x, u),i = 1, n + m} - какая-либо функционально независимая системапервых интегралов системы (5). Тогда общее решение системы (4)дается в следующем виде: no(1)(n+m)F1 Φ (t, x, u), ..., Φ(t, x, u) = 0,........no Fm Φ(1) (t, x, u), ..., Φ(n+m) (t, x, u) = 0,Интегральные кривые системыт.е.

Характеристики

Список файлов лекций