1612135140-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (829506), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда векторфункцияδeiν0 t z0y(t) =2||z0 ||δесть решение системы y 0 = Ay и ||y(0)|| = < δ. С другой стороны2δ ¯¯ iνt ¯¯δ||y(t)|| =e · ||z0 || = = const. Итак, если у матрицы A2||z0 ||2есть хотя бы одно чисто мнимое собственное значение, то нулевоеЛекция №16, НГУ, ММФ, 20105решение системы (2) не является асимптотически устойчивым (поЛяпунову).Пусть у матрицы A есть хотя бы одно чисто мнимое собственное значение τ0 = iν0 , которому отвечает неодномерная жорданова клетка.
Тогда нулевое решение системы (2) будет заведомонеустойчивым по Ляпунову. В самом деле, в этом случае существуют собственный вектор z0 и присоединенный к нему векторz1 , удовлетворяющие соотношениям:Az0 = τ0 z0 , Az1 = τ0 z1 + z0 .Тогдаδδeτ0 t z1 +teτ0 t z02||z1 ||2||z1 ||δесть решение системы (2) и ||y(0)|| = < δ с другой стороны2δ(t||z0 || − ||z1 ||),||y(t)|| ≥2||z1 ||y(t) =т.е. ||y(t)|| → ∞ при t → ∞ и при любых δ (мы воспользовалисьочевидным неравенством||a + b|| ≥ ||a|| − ||b||).Пусть у матрицы A есть собственные значения с µ < 0 и чисто мнимые (с µ = 0), причем жордановы клетки, отвечающиечисто мнимым собственным значениям - одномерны.
Тогда нулевое решение системы (2) устойчиво по Ляпунову. В самом деле,поскольку¶µG1 0−1A=WW, det W 6= 0,0 G0где матрицы G1 , G0 - матрицы порядков N1 , N0 , соответственно(N1 + N0 = N ), причем собственные значения τj = τj (G1 ), j =1, N1 таковы, что Re τj (G1 ) ≤ −σ (σ > 0), а матрицаG0 = diag(iν1 , ..., iνN0 ).Лекция №16, НГУ, ММФ, 2010Тогда6µ¶tG1e0etA = W −1W =0 etG0µ tG¶µ¶e 1 00 0−1−1=WW +WW,0 00 etG0причемetG0 = diag(etiν1 , ..., etiνN0 ).При t > 0:||etA || ≤ ||W −1 || · ||W ||{||etG1 || + ||etG0 ||} ≤| {z }q1½ µ¶¾||G1 ||−1− σ2 t≤ ||W || · ||W || M, N1 e+1 ≤σc.≤ ||W −1 || · ||W ||{M + 1} = MСледовательно,c||y(0)||||y(t)|| ≤ ||etA || · ||y(0)|| ≤ Mпри всех t > 0. Пусть||y(0)|| < δ =ε.cMТогда ||y(t)|| < ε, т.е. нулевое решение системы (2) устойчиво поЛяпунову.Итак, в зависимости от расположения спектра матрицы A накомплексной плоскости можно выделить следующие ситуации τ :I) Re τj (A) ≤ −σ (σ > 0), j = 1, N ;II) Re τj (A) ≤ −σ (σ > 0), j = 1, N1 ;Re τj (A) = 0, j = N1 + 1, N и этим корням отвечаютодномерные жордановы клетки;Лекция №16, НГУ, ММФ, 2010III) Re τj (A) ≤ −σ (σ > 0), j = 1, N1 ;Re τj (A) = 0, j = N1 + 1, N и этим корням отвечаютнеодномерные жордановы клетки;IV) Существует τj0 (A) с Re τj0 (A) > 0.Все эти случаи удобно свести в таблицу:Таблица:IIIIII, IVнулевоенулевое решениерешениесистемы (2) несистемы (2)являетсянулевое решениеасимптотически асимптотическисистемы (2)устойчивоустойчивымнеустойчиво по Ляпуновунулевое решение системы(2) устойчиво по Ляпунову7§17.
Матричное уравнение Ляпунова.Пусть мы имеем матрицу Tτ1 a2... ...T =τN −10вида0 = (Tkj ), k, j = 1, N ,aN τNкоэффициенты которой Tkj = τk δkj + aj δj−1,k (полагаем для определенности a1 = 0) - комплексные числа. Рассмотрим так называемое матричное уравнениеXT + T ∗ X = −D(1)для определения неизвестной матрицы X = (Xkj ). Здесь праваячасть D = (Dkj ) - произвольная матрица. В покомпонентном видеуравнение (1) перепишется так:NX(Xik Tkj + T ki Xkj ) = −Dij , i, j = 1, N .k=1С учетом формулы для элементов матрицы T получаем:Xij τj + Xij τ i + aj Xi,j−1 + ai Xi−1,j = −Dij , i, j = 1, Nили в более детальном виде:(τj + τ i )Xij + aj Xi,j−1 + ai Xi−1,j = −Dij , i, j ≥ 2; (τ + τ )X + a X1j1jj 1,j−1 = −D1j , i = 1, j ≥ 2;(τ i + τ1 )Xi1 + ai Xi−1,1 = −Di1 , j = 1, i ≥ 2;(τ1 + τ 1 )X11 = −D11 .1(2)Лекция №17, НГУ, ММФ, 20102Пусть τi + τ j 6= 0 при всех i, j = 1, N .
Тогда матричное уравнение(1) однозначно разрешимо при любой правой части D. В самомделе, из (2) последовательно находим:D11,X11 = −τ1 + τ 11X1j = −{D1j + aj X1,j−1 }, j ≥ 2,τ 1 + τj1{Di1 + ai Xi−1,1 }, i ≥ 2.Xi1 = −τ i + τ1Затем определяем1X22 = −{D22 + a2 X21 + a2 X12 },τ2 + τ 21X2j = −{D2j + aj X2,j−1 + a2 X1j }, j ≥ 3,τj + τ 21Xi2 = −{Di2 + a2 Xi1 + ai Xi−1,2 }, i ≥ 3τ2 + τ iи т.д. Ясно, что если Dij = 0, i, j = 1, N , то Xij = 0.Пусть A = W −1 T W, det W 6= 0, где матрица T описана вышеи пусть τi + τ j 6= 0 для всех i, j = 1, N .
Рассмотрим матричноеуравнениеHA + A∗ H = −C,(3)где правая часть C - произвольная матрица. Перепишем (3) в виде(1):XT + T ∗ X = −D.(1)ЗдесьD = (W −1 )∗ CW −1 ,X = (W −1 )∗ HW −1 .Последнее уравнение однозначно разрешимо, значит однозначноразрешимо и уравнение (3).Заметим, теперь, что любая матрица A может быть записанав виде A = W −1 T W , причем τj = τi (A), j = 1, N - собственныеЛекция №17, НГУ, ММФ, 20103значения матрицы A; a2 , ..., aN либо 0, либо 1; det W 6= 0.
Итак,справедлива Теорема Ляпунова 1: Если собственные значенияτj (A) удовлетворяют условию:τi + τ j 6= 0, для всех i, j = 1, N ,то матричное уравнение (3) однозначно разрешимо при любой правой части C (Уравнение (3) называется матричным уравнением Ляпунова).Замечание 1. Если A, C - вещественные матрицы, то матрицаH тоже вещественная. В самом деле, так какHA + A∗ H = −C (A∗ = AT )иHA + A∗ H = −C (H - матрица с комплексно-сопряженнымиэлементами).
Поэтому H = H.Замечание 2. Если C = C∗ , то H = H ∗ , т.е. H - эрмитоваматрица. В самом делеHA + A∗ H = −C,H ∗ A + A∗ H ) = −C∗ = −C, т.е. H = H ∗ .Замечание 3. Если A, C - вещественные матрицы, C = CT симметрическая матрица, то H = H T - симметрическая и вещественная матрица.Теорема Ляпунова 2. Если Reτj (A) < 0, j = 1, N , то матричное уравнение (3) однозначно разрешимо при всех C = C∗ иего решение будет эрмитова матрица H = H ∗ .Пусть, теперь, C = C∗ > 0 и Reτj (A) < 0.Теорема Ляпунова 3. H = H ∗ > 0.Доказательство.
Рассмотрим систему y 0 = Ay. Тогда y(t) =::::::::::::::::::::::σetA y(0) и ||y(t)|| ≤ M e− 2 t ||y(0)||. Далее(Cy, y) ≤ ||C|| · ||y||2 ≤ M 2 ||C|| · e−σt · ||y(0)||2 .С другой стороны(Cy, y) = (CetA y(0), etA y(0)) =∗= (etA CetA y(0), y(0)) ≤ M 2 ||C||e−σt ||y(0)||2 .Лекция №17, НГУ, ММФ, 20104СледовательноZ∞Z∞∗(Cy(t), y(t))dt = (etA CetA y(0), y(0))dt =0Z∞= etA∗00M 2 ||C||Ce dt y(0), y(0) ≤||y(0)||2 ,σtAт.е.
матрицаZ∞b=H∗etA CetA dt0b = Hb ∗ (C = C∗ !). Покажем теперь, что Hb > 0.определена и HДействительно, т.к. C > 0, то(Cy(t), y(t)) ≥ γ||y(t)||2 (γ > 0).С другой стороныy(0) = e−tA y(t)и||y(0)|| ≤ et||A|| ||y(t)||,т.е.||y(t)|| ≥ e−t||A|| ||y(0)||.Тогда∗(etA CetA y(0), y(0)) ≥ γ||etA y(0)||2 ≥ γe−2t||A|| ||y(0)||2 .Интегрируя это неравенство получимγbb > 0.(Hy(0),y(0)) ≥||y(0)||2 , т.е. H2||A||Далее:b ∆A y(0), e∆A y(0)) = (e∆A∗ Heb ∆A y(0), y(0)) =(HeЛекция №17, НГУ, ММФ, 20105Z∞∗∗= (e∆A etA CetA e∆A y(0), y(0))dt =0Z∞Z∞∗∗(e(∆+t)A Ce(∆+t)A y(0), y(0))dt = (etA CetA y(0), y(0))dt.=0∆т.е.Z∞b ∆A =e∆A He∗∗etA CetA dt.∆Продифференцируем обе части полученного равенства по ∆ и устремим далее ∆ → 0:∗b ∆A + e∆A∗ HAeb ∆A = −e∆A∗ Ce∆AA∗ e∆A Heиb + A∗ Hb = −C,HAследовательно в силу теоремы Ляпунова существует единственноеb матричного уравнения (3) и решение это допусрешение H = Hкает следующее интегральное представлениеZ∞∗etA CetA dt, H = H ∗ > 0.H=0Оказывается, справедливо обратное утверждение.Теорема Ляпунова 4.
Если эрмитовы матрицы H, C > 0 связаны уравнением (3), то все собственные значения τj = τj (A), j =1, N таковы, чтоReτj (A) ≤ −σ (σ > 0)(т.е. тривиальное решение системы y 0 = Ay асимптотически устойчиво).Доказательство. В самом деле, из H, C > 0 следует::::::::::::::::::::::ρ0 (y, y) ≥ (Hy, y) ≥ ρ(y, y),Лекция №17, НГУ, ММФ, 20106γ 0 (y, y) ≥ (Cy, y) ≥ γ(y, y),где ρ, ρ0 , γ, γ 0 > 0 - некоторые постоянные. Рассмотрим функциюh(t) = (Hy(t), y(t)), где y(t) - решение системы y 0 = Ay. Тогдаdh(t)= (Hy 0 , y) + (Hy, y 0 ) = (HAy, y) + (Hy, Ay) =dt= ([HA + A∗ H]y, y) = −(Cy, y) ≤ −γ(y, y) ≤γγ≤ − 0 (Hy, y) = − 0 h(t).ρρТак как ||y(t)|| ≥ e−t||A|| ||y(0)||, то для всех t ≥ 0, ||y(0)|| 6= 0:h(t) > 0.
Поэтому, при ||y(0)|| 6= 0:d ln h(t)1γ= h0 ≤ − 0dthρт.е.γh(t) ≤ h(0)e− ρ0 t ,(в случае, если y(0) = 0, то y(t) ≡ 0 и выписанное неравенствосправедливо). Далееγ11(y(t), y(t)) ≤ (Hy(t), y(t)) ≤ (Hy(0), y(0))e− ρ0 t ≤ρρρ0 − ργ0 t≤ e (y(0), y(0)),ρт.е.sρ0 − 2ργ 0 t||y(t)|| ≤e||y(0)||.ρr1 ρ0Для всех ε > 0 возьмем δ =ε. Тогда если ||y(0)|| < δ, то2 ρsρ0 − 2ργ 0 tε||y(t)|| ≤e||y(0)|| < < ε.ρ2Кроме того, при t → ∞ : ||y(t)|| → 0, т.е. обоснована асимптотическая устойчивость и тем самым показано, что собственныезначения матрицы A лежат строго в левой полуплоскости.Лекция №17, НГУ, ММФ, 20107Упражнения к §171.Aω= 25x25 −1 10 −10ω0001 0......0,−1 1 0 .
. . . . . . . . . . . . . . . 0 −1det(Aω − λI25 ) = (−1 − λ)25 + 1024 ω = 0,det A0 = −1,ω0 = 10−24 → det Aω0 = 0.Между тем, матрицы A0 и Aω0 на БЭСМ-6 неотличимы.§18. Функции Ляпунова.При изучении решений системы y 0 = f (y) широко используютсятак называемые функции Ляпунова (вкратце мы уже познакомились с ними в §11).Определение. Функция H(y) называется функцией Ляпунова для системы y 0 = f (y), которая имеет точку равновесияy = 0, если она обладает следующими свойствами:Λ1. Функция H(y) определена при ||y|| ≤ R и является в этойобласти непрерывной функцией, имеющей непрерывные частныепроизводные∂H(y), j = 1, N .∂yjΛ2. H(y) ≥ 0 в области ||y|| ≤ R, а именно: H(0) = 0, H(y) > 0при 0 ≤ ||y|| ≤ R.Λ3. Непрерывная функция Y(y), определяемая какY(y) = −NXi=1fi (y)∂H(y) = −(f, Hy ),∂yiт.е.
полная производная в силу системы от функции H(y) со знаdком “-”: − H(y) (= −(f, Hy )) удовлетворяет неравенству Y(y) ≥ 0dtв области ||y|| ≤ R.Λ3!. (Усиленный вариант свойства Λ3.) Y(y) > 0 при 0 < ||y|| ≤R.Ляпуновым была доказана следующаяТеорема. Если для системы y 0 = f (y) (f (0) = 0), существуетфункция Ляпунова H(y), удовлетворяющая условиям Λ1, Λ2, Λ3,то тривиальное решение y0 (t) ≡ 0 системы y 0 = f (y) устойчивопо Ляпунову.1Лекция №18, НГУ, ММФ, 20102Пример.
Рассмотрим линейную систему y 0 = Ay.Пусть H(y) = (Hy, y), Y(y) = (Cy, y), где матрицы H, C связаныматричным уравнением Ляпунова[HA + A∗ H] = −C.ТогдаdH(y)= −Y(y) = −(Cy, y).dtСледовательно, если (Hy, y) > 0, (Cy, y) ≥ 0, то функция H(y) =(Hy, y) и функция Y(y) = (Cy, y) удовлетворяют условиям Λ1,Λ2, Λ3. Если же (Cy, y) > 0. то выполнено условие Λ3! При этомбудет иметь место асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения y 0 = Ay, откуда следует, что для всех собственныхзначений τj = τj (A), j = 1, N выполнены неравенства:Reτj (A) < 0.Ляпуновым были введены, также, вспомогательные функцииK(y), для того, чтобы с их помощью доказать при некоторых предположениях о правой части f (y) системы y 0 = f (y) неустойчивостьтривиального решения y0 (t) ≡ 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
