1612135124-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (829504), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Èòàê, åñëè ϕ(y ) òàêîâî, ÷òîϕ(±1) = ∓1, òî îáëàñòü, ãäå ñóùåñòâóåò ãëàäêîå ðåøåíèå, íåñîäåðæèò òî÷êè y = 0, t = 1.Êâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.ty - t = -1y+t=1-110yÐèñ. 1Êâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.Ïðèìåð 2.√∂z∂z(1 + z − x − y ) +=2 ⇒∂x∂y√∂F∂F∂F(1 + z − x − y )++2=0⇒∂x∂y∂z1+√dydzdx==⇒z −x −y12z − 2 y = C1√dz − dy − dx√⇒ y + 2 z − x − y = C21− z −x −y√⇒ Φ(z − 2y , y + 2 z − x − y ) = 0 - îáùåå ðåøåíèå + z = x + ydy=- ñïåöèàëüíîå ðåøåíèå.Ïðèìåð 3.ut + uux= 0, t > 0;α ïðè x < 0;u t=0 =β ïðè x > 0Êâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.α, β - ïîñòîÿííûå, β ≥ α (α < 0, β > α), u - íåïðåðûâíà ïðèt ≥ 0, |x| + t 6= 0 è íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìà âíå ïðÿìûõt = αx , t = βx .tt=x_t=a(a < 0)x_b(b > 0)0xÐèñ.

2Êâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.dt1=u t=0dudtdxdt=0⇒ x − ut = x0 ⇒ u = ϕ(x − ut) ⇒=u= ϕ(x − 0 · t) = α, x < 0dxu=du0⇒α, x − ut < 0, ⇔ t <u=β, t > αx . u x=tα = 1ïðèxαxα = u x=tα = ϕ(tα − αt) ⇒ ϕ(0) = α ⇒ u =ttα ≤ x ≤ tβ .Ÿ31. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Çàäà÷à ÊîøèÐàññìîòðèì óðàâíåíèåF (x, u,∂u∂u, ...,) = 0,∂x1∂xnè ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿíåêîòîðîé îáëàñòè (2n+ 1)Fx = (x1 , ..., xn )(1)ïî âñåì ñâîèì àðãóìåíòàì â- ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà èìååòíåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî è÷òînXi=1Äîïóñòèì, ÷òîu(x)"∂F∂u∂{ ∂x}i#2> 0.(2)- ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), èìåþùååíåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà.Ïîäñòàâèì ýòî ðåøåíèå â óðàâíåíèå (1) è ïîëó÷åííîåòîæäåñòâî ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî êàæäîìóxk , k = 1, ..., n.Ïîëó÷èìnXi=1nX ∂pk∂piPi+ Xk + Upk =Pi+ Xk + Upk = 0,∂xk∂xii=1Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(3)ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ∂F∂F∂u∂F= Xi ,= U,= pi ,= Pi .∂xi∂u∂xi∂piÝòè óðàâíåíèÿ êâàçèëèíåéíû îòíîñèòåëüíîïðîñòðàíñòâåxpk .Ïîñòðîèì âòðàåêòîðèè àâòîíîìíîé ñèñòåìûdxi= Pi , i = 1, ..., n,dtãäå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ âìåñòî u è ps ïîäñòàâëåíîðàññìàòðèâàåìîå ðåøåíèå u(x) è åãî ñîîòâåòñòâóþùèå(4)ïðîèçâîäíûå.Òîãäà óðàâíåíèÿ (3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäådpi= −Xi − Upi ,dtÍàéäåì, íàêîíåö, ïðîèçâîäíóþ îòÏîëó÷èìi = 1, ..., n.u(x)(5)ïî ïàðàìåòðó t .nni=1i=1Xdu X ∂u dxi=·=Pi · pi .dt∂xi dtÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(6)Ñèñòåìà èç óðàâíåíèé (4), (5), (6) îïðåäåëÿåò îäíîçíà÷íîèuxi , piêàê ôóíêöèè îò t , åñëè çàäàòü èõ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ.Òðàåêòîðèè ýòîé àâòîíîìíîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå(x, u, p1 , ..., pn )íàçûâàþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (1).Ïóñòü ïîâåðõíîñòüS,íà êîòîðîé çàäàíû çíà÷åíèÿu , íå èìååòñàìîïåðåñå÷åíèé è çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè xi = xi (v1 , ..., vn−1 ),i = 1, ..., n.

Òîãäà çàäàííóþ íà S ôóíêöèþ u ìîæíîðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îòv1 , ..., vn−1 .Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèèu(v1 , ..., vn−1 )ïî v1 , ..., vn−1èíåïðåðûâíû âìåñòå ñ èõ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìèäî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî è â êàæäîéòî÷êå ïîâåðõíîñòèìèíîðîâxi (v1 , ..., vn−1 )(n − 1)-ãîSîòëè÷åí îò íóëÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èçïîðÿäêà ìàòðèöû∂x1∂v1∂x1∂vn−1.........∂xn∂v1∂xn∂vn−1.Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(A)Ðàññìîòðèì âîïðîñ î òîì, êàê çàäàíèåçíà÷åíèÿpiíàÅñëè â ðàâåíñòâîv,uíàSîïðåäåëÿåòS.u = u(x)ïîäñòàâèòü âûðàæåíèÿuè÷åðåçxòî îíî îáðàòèòñÿ â òîæäåñòâî.Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî òîæäåñòâî, ïîëó÷èìnXpii=1(çäåñüpiáåðóòñÿ íà∂u∂xi=,∂vk∂vkS ).S äîëæíîÑ äðóãîé ñòîðîíû, íàk = 1, ..., n − 1.(7)âûïîëíÿòüñÿ (1), òî åñòüF (x, u, p1 , ..., pn ) = 0,ãäå âìåñòîx, u(8)ñëåäóåò ïîäñòàâèòü èõ âûðàæåíèÿ ÷åðåçÑîîòíîøåíèÿ (7), (8) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó èçóðàâíåíèé ñ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìèv1 , ..., vn−1 .p1 , ..., pnv.nîò àðãóìåíòîâÏîýòîìó äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû î íåÿâíîéÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿôóíêöèè íåîáõîäèìî, ÷òîáû P1 ∂x1 ∂v1 ∂x1 ∂vn−1P2............∂x2∂v1...∂x2∂vn−1Pn ∂xn ∂v1 6= 0∂xn ∂vn−1ïðè âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèÿõíàv1 , ..., vn−1 ,(9)òî åñòü âñþäóS.Âïðåäü áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàíî òàêæå âûáðàíû çíà÷åíèÿv1 , ..., vn−1 ,S íå òîëüêî äàíî u(v1 , ..., vn−1 ),p1 , ..., pn , íåïðåðûâíî çàâèñÿùèå îòïðè÷åì âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (7) - (9).

Òîãäà èçòåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òîíåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïîp1 , ..., pnèìåþòv1 , ..., vn−1 .Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ñèëó íåëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ (8) ïðèçàäàííîéuíàSçíà÷åíèÿpiíàSîïðåäåëÿþòñÿ, âîîáùåãîâîðÿ, íåîäíîçíà÷íî. Îäíàêî, åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ,ñôîðìóëèðîâàííûå â ïðåäûäóùåì àáçàöå, è åñëèpi(1) (A) = pi(2) (A), i = 1, ..., n,òîpi(1) = pi(2) , i = 1, ..., nÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿâñþäó íàS;ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè â ñèëó óñëîâèÿ(9).Ãåîìåòðè÷åñêè óñëîâèå (9) îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êåx0 ∈ Sïðîåêöèÿ íà ïðîñòðàíñòâîx õàðàêòåðèñòèêè, ïðîõîäÿùåé(x 0 , u 0 , p10 , ..., pn0 ) (u 0 , p10 , ..., pn0 îïðåäåëÿþòñÿ èçíà÷àëüíûõ äàííûõ), íå êàñàåòñÿ S .÷åðåçòî÷êóÈç åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4) - (6) ñëåäóåòåäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1).Ïåðåõîäÿ ê äîêàçàòåëüñòâó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïîâåðõíîñòè÷òîSè çàäàííàÿ íà íåé ôóíêöèÿuS,ïðåäïîëîæèì,óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ(À) è, êðîìå òîãî, óñëîâèÿì (7) - (9).

Áóäåì ïðîâîäèòüäîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.Òîãäà óðàâíåíèå èìååò âèäF (x, y , z, p, q) = 0,p=∂z∂z, q=;∂x∂y(10)ñèñòåìà óðàâíåíèé õàðàêòåðèñòèê (â ïÿòèìåðíîì ïðîñòðàíñòâåÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(x, y , z, p, q))èìååò âèädx= P,dtdp= −X − pZ ,dtdy= Q,dt(11)dq= −Y − qZ ,dt(12)dz= pP + qQ,dt(13)ãäåX =∂F,∂xP=Y =∂F,∂p∂F∂yZ=Q=∂F.∂q∂F,∂zÍà÷àëüíûå óñëîâèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìèy = y (v ), z = z(v ), p = p(v ), q = q(v ),x = x(v ),ïðè÷åì ïåðâûå òðèôóíêöèè äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû èdy 2dx 2( dv) + ( dv) > 0,à ïîñëåäíèå äâå ôóíêöèè íåïðåðûâíîÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿäèôôåðåíöèðóåìû, óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (10),pèdxdydz+q=dvdvdv(14)P ∂x(15)∂v∂y 6= 0.0∂v×òîáû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ïðè ýòèõïðåäïîëîæåíèÿõ äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîñòðîåííûåñîãëàñíî (11) - (13) ïî íà÷àëüíûì äàííûì ðåøåíèÿx(t, v ), y (t, v ), z(t, v ), p(t, v ), q(t, v )(ìû ñ÷èòàåìt=0íà(16)S ) îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.x = x(t, v ), y = y (t, v ) ìîæåò áûòüîäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî t, v â íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè ëèíèè S , ïðè÷åì ðåøåíèÿ èìåþò íåïðåðûâíûåïðîèçâîäíûå ïî x, y .

Òîãäà â ýòîé îêðåñòíîñòè ëèíèè Sâåëè÷èíû t, v ìîãóò áûòü ïðèíÿòû çà êðèâîëèíåéíûå1. Ñèñòåìà óðàâíåíèéêîîðäèíàòû.Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿÒàê êàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ôóíêöèèx(v ), ..., q(v ), çàäàííûå íà S , èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûåv , è òàê êàê ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (11) - (13) èìåþòïîíåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïî âñåì èõ àðãóìåíòàì, òîïîñòðîåííûå ðåøåíèÿ (16) èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïît, v .Ïîýòîìó, åñëè â ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿïîäñòàâèòü âìåñòîïîëó÷èìzt, vèõ âûðàæåíèÿ ÷åðåçêàê ôóíêöèþ îòïðîèçâîäíûå ïîx, y ,z ÷åðåç t, vx, y , òî ìûèìåþùóþ íåïðåðûâíûå ïåðâûåx, y .Ôóíêöèè (16) âñþäó â ðàññìàòðèâàåìîé îêðåñòíîñòèSóäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ (10).p≡∂z,∂xq≡∂z.∂y(17)×òîáû äîêàçàòü ïåðâîå óòâåðæäåíèå, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òîïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ∂x ∂t ∂x∂v∂y ∂t ∂y ∂v|t|äåòåðìèíàíòÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(18)îòëè÷åí îò íóëÿ.Òàê êàê ýëåìåíòû äåòåðìèíàíòà íåïðåðûâíû ïît, v ,òî íàìäîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò äåòåðìèíàíò îòëè÷åí îò íóëÿ íàñàìîé ëèíèèS,à ýòî ñëåäóåò èç (15) è (11).Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî íà ëèíèèíà÷àëüíûå çíà÷åíèÿpèqS,ïðè ýòîììû âûáèðàåì òàê, ÷òîáû îíèóäîâëåòâîðÿëè óðàâíåíèþ (10).×òîáû äîêàçàòü, ÷òî íå òîëüêî íà ëèíèèíî è ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ|t|S,òî åñòü ïðèt = 0,âûïîëíÿåòñÿ ýòî ñîîòíîøåíèå,ïîêàæåì, ÷òî åñëè â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (10) ïîäñòàâèòüâìåñòîx, y , z, p, qðåøåíèå (16) ñèñòåìû (11) - (13), òîðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè íå áóäåò çàâèñåòü îò t .Äåéñòâèòåëüíî,dxdydpdqdzdF=X+Y+P+Q+Z .dtdtdtdtdtdtdxdzÏîäñòàâëÿÿ âìåñòî dt , ..., dt ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (11) (13), ïîëó÷èì íóëü.Âìåñòî òîãî, ÷òîáû äîêàçûâàòü òðåòüå óòâåðæäåíèå, òî åñòüÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(17), ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî âî âñåé îêðåñòíîñòè ëèíèè∂z∂x∂y−p−q= 0,∂v∂v∂vS∂z∂x∂y−p−q= 0.∂t∂t∂t(19)Âòîðîå ñîîòíîøåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî∂x= P,∂t∂y=Q∂tè ïîýòîìó óðàâíåíèå (19) ñîâïàäàåò ñ (13).Î ïåðâîì óðàâíåíèè (19) íàì èçâåñòíî ïîêà òîëüêî, ÷òî îíîñïðàâåäëèâî ïðèSt = 0:íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿp, qíà ëèíèèìû âûáðàëè òàê, ÷òîáû ñîîòíîøåíèå (14) âûïîëíÿëîñü.×òîáû äîêàçàòü, ÷òî (19) âûïîëíÿåòñÿ è ïðè äðóãèõ t ,ïîëîæèìU≡∂z∂v∂x− p ∂v− q ∂y∂vdUè íàéäåì dt .∂2z∂p ∂x∂q ∂y∂2x∂2ydU=−−−p−q.dt∂v ∂t∂t ∂v∂t ∂v∂v ∂t∂v ∂tÏðîäèôôåðåíöèðóåì òåïåðü òîæäåñòâî∂z∂x∂y−p−q≡0∂t∂t Íåëèíåéíûå∂tóðàâíåíèÿ(20)ïîv.Ïîëó÷èì∂2z∂p ∂x∂q ∂y∂2x∂2y−−−p−q= 0.∂t∂v∂v ∂t∂v ∂t∂t∂v∂t∂v(21)Âû÷èòàÿ (21) èç (20), íàõîäèìdU∂p ∂x∂q ∂y∂p ∂x∂q ∂y=+−−.dt∂v ∂t∂v ∂t∂t ∂v∂t ∂vÈëè â ñèëó (11) è (12):dU∂p∂q∂x∂y=P+Q+(X + Zp) +(Y + Zq).dt∂v∂v∂v∂vÄèôôåðåíöèðóÿ òîæäåñòâîF (x, y , z, p, q) ≡ 0ïîv,íàõîäèìX∂y∂p∂q∂z∂x+Y+P+Q+Z= 0.∂v∂v∂v Íåëèíåéíûå∂v óðàâíåíèÿ∂v(22)Âû÷èòàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå èç (22), ïîëó÷èìdU∂z∂x∂y= −Z (−p− q ) = −ZU.dt∂v∂x∂vÑëåäîâàòåëüíî, Z tZdt .U(t) = U(0) exp −0Òàê êàêU(0) = 0,òî ïðè âñåõ äðóãèõtÈòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî â îêðåñòíîñòè∂z∂x∂y≡p+q ,∂v∂v∂vâåëè÷èíàU(t) = 0.S∂zdxdy≡p+q .∂tdtdtÄîêàæåì òåïåðü ñïðàâåäëèâîñòü (17).∂z∂z ∂v∂z ∂t=+,∂x∂v ∂x∂t ∂x∂z∂z ∂v∂z ∂t=+.∂y∂v ∂y∂t ∂yÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ∂z∂zÏîäñòàâëÿÿ ñþäà çíà÷åíèÿ ∂v , ∂t èç ïðåäûäóùèõ òîæäåñòâïîëó÷èì∂x∂y ∂v∂x∂y dt∂z= (p+q )+ (p+q )=∂x∂v∂v ∂x∂t∂t dx=p∂y∂x+q= p.∂x∂x∂zÀíàëîãè÷íî íàõîäèì ∂y .Ïðèìåð 1.Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(∂z 2∂z) + ( )2 − 1 = 0,∂x∂yãðàôèê êîòîðîãî ïðîõîäèò ÷åðåç îêðóæíîñòüÂâåäÿ ïàðàìåòðv,(23)x 2 + y 2 = 1, z = 0.çàïèøåì óðàâíåíèå îêðóæíîñòèx = sin v , y = cos v , z = 0.(24)Óðàâíåíèÿ (11) - (13):dxdydzdpdq===== dt.222p2q2(p + q )00Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(25)Òîãäàp = C1èq = C2 , C1 , C2 ∈ R- âåùåñòâåííûå ïîñòîÿííûå.Äàëåå,x = 2C1 t + C3 ,y = 2C2 t + C4 ,z = 2(C12 + C22 )t + C5 ,C3 , C4 , C5(26)- ïîñòîÿííûå.×òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü (23):C12 + C22 = 1.(27)Ïîýòîìóz = 2t + C5 .Äàëåå, ÷òîáû ëèíèÿ (26) ïðîõîäèëà ÷åðåç òî÷êó, îïðåäåëÿåìóþïàðàìòåðîìvíà îêðóæíîñòè (24) íàäî, ÷òîáû áûëîC3 = sin v ,C4 = cos v ,C5 = 0.Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿÒîãäà óðàâíåíèå èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè óðàâíåíèÿ (23),ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îêðóæíîñòü (24) çàïèøåòñÿ â âèäåx = 2C1 t + sin v ,ãäåtèvy = 2C2 t + cos v ,- ïàðàìåòðû.

×òîáû ïðèñîîòíîøåíèåíàäî, ÷òîáût=0z = 2t,âûïîëíÿëîñüdz∂x∂y=p+q ,dv∂v∂v0 = cos v − q sin v èëè C1 cos v = C2 sin v .Îòñþäà â ñèëó (27) ñëåäóåò, ÷òîC1 = ε sin v ,C2 = ε cos v ,ε = ±1.Èç ñîîáðàæåíèé íåïðåðûâíîñòè ñëåäóåò, ÷òîεïîñòîÿííî âäîëüâñåé êðèâîé. Ñëåäîâàòåëüíî, îêîí÷àòåëüíî ìû ïîëó÷àåì òàêèåïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ èíòåãðàëüíîé ïîâåõíîñòè:x = (2tε + 1) sin v ,Èñêëþ÷àÿtèvy = (2tε + 1) cos v ,z = 2t.íàéäåìx 2 + y 2 = (1 + z)2 .Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(28)Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàëüíûå ïîâåðõíîñòè - äâà êðóãëûõêîíóñà â ïðîñòðàíñòâå(x, y , z),ó êîòîðûõ â îñíîâàíèè ëåæèòîêðóæíîñòü (24) è îáùàÿ îñü ñîâïàäàåò ñ îñüþOZ .Çàìå÷àíèå 1.Óñëîâèå, ÷òî äåòåðìèíàíò (18) îòëè÷åí îò íóëÿ â îêðåñòíîñòèëèíèèS,ñóùåñòâåííî.Íåëüçÿ äóìàòü, ÷òî ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ëèíèþSòðàåêòîðèé ñèñòåìû (11) - (13) íà ïðîñòðàíñòâîïðîåêöèè(x, y , z)îáðàçóþò ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüøèõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà t .

Характеристики

Список файлов лекций