1612135124-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (829504), страница 24
Текст из файла (страница 24)
4.l1P1P1Q1Q1l2C1C2C1RÐèñ. 4Ïðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèÏóñòüK- çàìêíóòàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ êðèâûìèÆîðäàíà:]J1 : P1 P2íàC̃1èP̃1 P1íà l1 ;íàC̃2èQ̃1 Q1íà l2 ._J2 : Q1 Q̃1Êàæäàÿ òðàåêòîðèÿC , íà÷èíàþùàÿñÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè R ,äîëæíà îñòàâàòüñÿ â R ; òàê êàê îáëàñòü R ñâîáîäíà îò îñîáûõòî÷åê, òî ìíîæåñòâî L(C ), ïî òåîðåìå Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíà,äîëæíî áûòü ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèåé â R . Ýòîïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî C1 è C2 ñìåæíûåòðàåêòîðèè.28. Èíäåêñ èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè. Èíäåêñïðîñòîé îñîáîé òî÷êèÏóñòüf = (f1 , f2 )- íåïðåðûâíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ âåêòîð -ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà îãðàíè÷åííîì îòêðûòîì ìíîæåñòâåDïëîñêîñòè(y 1, y2 ),è ïðåäïîëîæèì, ÷òîèìååò òîëüêîèçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè âÏóñòüJ- êðèâàÿ Æîðäàíà âîñîáóþ òî÷êóD.D , íåfïðîõîäÿùàÿ íè ÷åðåç îäíóf.Åñëè∆Q - ïîëíîå èçìåíåíèå óãëà θ, îáðàçóåìîãî âåêòîðîìf (y1 , y2 ) ñ íåêîòîðûì ôèêñèðîâàííûì íàïðàâëåíèåì, êîãäàòî÷êà (y1 , y2 ) ïðîáåãàåò îäèí ðàç J â ïîëîæèòåëüíîìíàïðàâëåíèè, òî èíäåêñîì êðèâîé J îòíîñèòåëüíî f íàçûâàåòñÿ∆θ÷èñëî 2π , îáîçíà÷àåìîå ÷åðåç If (J).
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ÷èñëîöåëîå.Òåîðåìà 1.ÅñëèJ- êðèâàÿ Æîðäàíà âD,íå ñîäåðæàùàÿ íà ñåáå èëèâíóòðè ñåáÿ îñîáûõ òî÷åê âåêòîðàf,òî If (J)= 0.Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åêÍàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà.Òàê êàêf- íåïðåðûâåí, òî îí ðàâíîìåðíî íåïðåðûâåí íàêàæäîì êîìïàêòíîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâàD.Òàêèìîáðàçîì, ñóùåñòâóåòδ > 0 òàêîå, ÷òî íà êàæäîé êðèâîéJδ , êîòîðàÿ ìîæåò áûòü çàêëþ÷åíà â êâàäðàò ñîñòîðîíîé δ â D , ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå óãëà âåêòîðà f îòåãî çíà÷åíèÿ â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå íà Jδ ìåíüøå ïîàáñîëþòíîé âåëè÷èíå, ÷åì 2π .
Çíà÷èò, èíäåêñ ëþáîé òàêîéêðèâîé îòíîñèòåëüíî âåêòîðà f ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíåÆîðäàíàìåíüøå åäèíèöû, òî åñòü ðàâåí íóëþ.Ïðîöåññ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî èíäåêñ çàäàííîé êðèâîéÆîðäàíàJðàâåí ñóììå èíäåêñîâ íåêîòîðîãî ÷èñëà áîëååìåëêèõ êðèâûõ Æîðäàíà, êàæäàÿ èç êîòîðûõ òèïàJδ ,èçâåñòåíèç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Êîøè è çäåñü îïóñêàåòñÿ. Ñïîìîùüþ ýòîãî ïðîöåññà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî If (J) = 0.Èç ýòîãî ðåçóëüòàòà ëåãêî ñëåäóåò ïðè ïîìîùè îáû÷íûõìåòîäîâ òåîðèè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, ÷òî åñëèJ1- êðèâàÿ Æîðäàíà, ñîäåðæàùàÿñÿ âíóòðè äðóãîé êðèâîéÆîðäàíàJ2 ,è åñëè ìåæäóJ1èJ2íåò îñîáûõ òî÷åê, òîÈíäåêñû îñîáûõ òî÷åêIf (J1 ) = If (J2 ).Îïðåäåëåíèå 1.Èíäåêñîì èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êèfPîòíîñèòåëüíî âåêòîðàíàçûâàåòñÿ èíäåêñ ëþáîé êðèâîé Æîðäàíà, ñîäåðæàùåéâíóòðè ñåáÿ òî÷êóâåêòîðàPè íå ñîäåðæàùåé äðóãèõ îñîáûõ òî÷åêf.Ýòîò èíäåêñ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç If (P).Òåîðåìà 2.Åñëèòî÷åêJ- êðèâàÿ Æîðäàíà, îêðóæàþùàÿ êîíå÷íîå ÷èñëî îñîáûõP1 , P2 , ..., Pnâåêòîðàf,òî If (J)=nPIf (Pi ).i=1Äîêàçàòåëüñòâî.Îêðóæèì êàæäóþ òî÷êóPiäîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòüþñîäåðæàùåé âíóòðè ñåáÿ åäèíñòâåííóþ îñîáóþ òî÷êóñäåëàåì ðàçðåçû, êàê óêàçàíî íà Ðèñ.
1.Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åêPi ,èCi ,JP2P1P3Ðèñ. 1Òåîðåìà 3.ÅñëèJ- êðèâàÿ Æîðäàíà â ïëîñêîñòèâðàùàþùèìñÿ êàñàòåëüíûì âåêòîðîì(y1 , y2 ) ñ íåïðåðûâíîν , êîòîðûé íà J íèãäåíåîáðàùàåòñÿ â íóëü, òîIν (J) = 1.Äîêàçàòåëüñòâî.ÅñëèP,u(P)- åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð êðèâîéòî, î÷åâèäíî, Iu (J)= Iν (J),äîêàçàòü òåîðåìó äëÿ âåêòîðày2 ≥ 0â òî÷êåè, ñëåäîâàòåëüíî, äîñòàòî÷íîu.ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êðèâàÿïîëóïëîñêîñòèJÁåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòèJ öåëèêîì ëåæèò âP íà J çàäàþòñÿ ïðèè ÷òî òî÷êèÈíäåêñû îñîáûõ òî÷åêïîìîùèâåêòîðàα1 (t), α2 (t) , 0 ≤ t ≤ 1.00Òàêèì îáðàçîì, ν(t) = α1 (t), α2 (t) è äàëåå ìîæíîïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîëîæèòåëüíàÿ y1 -ïîëóîñü êàñàåòñÿ êðèâîéJ â òî÷êå P0 = P(0), òî åñòü ÷òî âåêòîð ν(0) èìååò òî æåíàïðàâëåíèå, ÷òî ïîëîæèòåëüíàÿ y1 ïîëóîñü, ñì. Ðèñ.
2.P(t) :y2tP(t)u1P(s)T0Ðèñ. 2P00y1Ðèñ. 3Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åê1SÒåîðåìà áóäåò äîêàçàíà ïðè ïîìîùè ïîñòðîåíèÿâñïîìîãàòåëüíîãî âåêòîðàT :0ũíà çàìêíóòîé òðåóãîëüíîé îáëàñòè≤ s ≤ 1,s≤t≤1â ïëîñêîñòè(s, t) (ñì. Ðèñ. 3).ũ(s, s) = u(s) äëÿ o ≤ s ≤ 1, ũ(0, 1) = −u(0) è äëÿâñåõ äðóãèõ òî÷åê (s, t) â T ïîëîæèì ũ(s, t) ðàâíûìåäåíè÷íîìó âåêòîðó, íàïðàâëåííîìó îò P(s) ê P(t) íà J , ñì.ÎïðåäåëèìÐèñ. 2.Îáîçíà÷èì ÷åðåçθ(s, t) óãîë, îáðàçîâàííûé âåêòîðîì ũ(s, t) ñy1 - ïîëóîñüþ.Î÷åâèäíî, θ(0, 0) = 0, è òàê êàê êðèâàÿ J îñòàåòñÿ â îáëàñòèy2 ≥ 0, òî óãîë θ(0, t) èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî π , êîãäà t èçìåíÿåòñÿïîëîæèòåëüíîéîò íóëÿ äî åäåíèöû.Àíàëîãè÷íî óãîëθ(s, t)èçìåíÿåòñÿ îòπäî 2π , êîãäàèçìåíÿåòñÿ îò 0 äî 1. Èç îïðåäåëåíèÿ âåêòîðàũíåïðåðûâåí íàTèũ 6= 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîB îáëàñòè T , Iũ (B) = 0.ïðèìåíåíîé ê ãðàíèöåũÈíäåêñû îñîáûõ òî÷åêsî÷åâèäíî, ÷òîòåîðåìå 1,Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èçìåíåíèå óãëàθ(s, s),êîãäàsèçìåíÿåòñÿ îò0 äî 1, ðàâíî 2π .Íî ýòî â òî÷íîñòè ðàâíî èçìåíåíèþ óãëà, êîòîðûé âåêòîðîáðàçóåò ñ ïîëîæèòåëüíîéy1ïîëóîñüþ, êîãäà êîíòóðuJîáõîäèòñÿ îäèí ðàç â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.Ñëåäîâàòåëüíî, Iu (J)Òåîðåìà 4.ÅñëèC=1è òåîðåìà äîêàçàíà.- ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ äâóìåðíîé ñèñòåìû (ñì.26), òî If (C )= 1.Äîêàçàòåëüñòâî.ÊðèâàÿCÿâëÿåòñÿ êðèâîé Æîðäàíà è èç åå îïðåäåëåíèÿñëåäóåò, ÷òîf- êàñàòåëüíûé âåêòîð êðèâîéCèf 6= 0íàC.Ñëåäñòâèå 1.Ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿCñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ ïî êðàéíåéìåðå îäíó îñîáóþ òî÷êó.Äîêàçàòåëüñòâî. ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïî òåîðåìå 1, If (C )ïîòèâîðå÷èåì.= 0,÷òî ÿâëÿåòñÿÈíäåêñû îñîáûõ òî÷åêÑëåäñòâèå 2.ÅñëèC- ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ è îñîáûå òî÷êè âåêòîðàèçîëèðîâàíû, òî âíóòðèîñîáûõ òî÷åêf,Cfíàõîäèòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî (≥ 1)ñóììà èíäåêñîâ êîòîðûõ ðàâíà åäåíèöå.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðèìåíÿåì òåîðåìó 2.
Ïóñòüad − bc 6= 0.Ðàññìîòðèì ñíîâàäâóìåðíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ñèñòåìó0y1 = f1 (y1 , y2 ) = ay1 + by2 + g1 (y1 , y2 ),0y2 = f2 (y1 , y2 ) = cy1 + dy2 + g2 (y1 , y2 ),(1)ãäå ôóíêöèèg1 , g2 íåïðåðûâíû â êðóãåy12 + y22 ≤ γ äëÿ íåêîòîðîãî γ .Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî g1 = o(r ), g2 = o(r ) ïðè r → 0.Äëÿ ýòîé ñèñòåìû íà÷àëî (y1 , y2 ) = (0, 0) - èçîëèðîâàííàÿîñîáàÿ òî÷êà âåêòîðà f = (f1 , f2 ) òîãî òèïà, êîòîðûé áûë íàçâàí0≤r ≤√ïðîñòîé îñîáîé òî÷êîé.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èíäåêñ íà÷àëà îòíîñèòåëüíî âåêòîðàfëåãêîâû÷èñëÿåòñÿ è çàâèñèò òîëüêî îò ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ â ñèñòåìå(1). Ýòîò ôàêò âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ëåììû.Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åêËåììà 1.Åñëèν, ν̃- ïðîèçâîëüíûå íåïðåðûâíûå âåêòîð - ôóíêöèè,îïðåäåëåííûå íà êðèâîé ÆîðäàíàJ,êîòîðûå íèãäå íå èìåþòïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèé è íå îáðàùàþòñÿ â íóëü, òîIν (J) = Iν̃ (J).Äîêàçàòåëüñòâî.≤ s ≤ 1 îïðåäåëèì âåêòîð νs íà J ïðè ïîìîùè ðàâåíñòâàνs = (1 − s)ν + s ν̃ .
Òîãäà νs 6= 0 ïðè 0 ≤ s ≤ 1, èáî ν0 = ν ,sν1 = ν̃ , è åñëè νs = 0 äëÿ s 6= 0, 1, òî ν = − 1−sν̃ äëÿ òàêîãî s ,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð ν èìååò íàïðàâëåíèå,ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèþ âåêòîðà ν̃ . Ïîýòîìó èíäåêñIνs (J) ñóùåñòâóåò è, î÷åâèäíî, íåïðåðûâåí ïî s . Íî ýòîò èíäåêñÄëÿ 0ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì è, òàêèì îáðàçîì, ïîñòîÿíåí.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Iν0 (J)Òåîðåìà 5.= Iν1 (J),èëè Iν (J)= Iν̃ (J).Åñëèv - âåêòîð ôóíêöèÿ ñ êîìïîíåíòàìè (ay1 + by2 , cy1 + dy2 ) èf = (f1 , f2 ) - âåêòîð, îïðåäåëåííûé â (1), òî If (0) = Iv (0), ãäå 0 íà÷àëî (0, 0).Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åêÄîêàçàòåëüñòâî.Ïîêàæåì, ÷òî íà äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì âíà÷àëå êîîðäèíàò âåêòîðûfèvíèêîãäà íå èìåþòïðîòèâîïîëîæåííûõ íàïðàâëåíèé.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîé òî÷êå(y1 , y2 )ñïðàâåäëèâîïðîòèâîïîëîæíîå óòâåðæäåíèå.
Òîãäà â ýòîé òî÷êåäëÿ íåêîòîðîãîs ≥ 0.ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîéf + sv = 0f = v + g , ãäå g = (g1 , g2 ), è,òî÷êå (1 + s)v = −g èëèÍî(1 + s)2 kv k2 = kg k2 .Äàëåå, kv k2 = (ay1 + by2 )2 + (cy1 + dy2 )2 , è åñëè y1 = r cos θ ,y2 = r sin θ, òî kv k2 = r 2 [(a cos θ + b sin θ)2 + (c cos θ + d sin θ)2 ].Òàê êàê ad − bc 6= 0, òî v = 0 òîëüêî â òî÷êå (0, 0). Òàêèìîáðàçîì, âåêòîð v - íåïðåðûâåí è íå ðàâåí íóëþ ïðè r = 1.Ïîýòîìóm=kv k > 0,kv k ≥ mräëÿ âñåõ r > 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî m (1 + s) r ≤ kg k2 âêàæäîé òî÷êå (y1 , y2 ), â êîòîðîé f è v èìåþòà òàê êàê íîðìàkv kinfr =1îòíîñèòåëüíîrîäíîðîäíà, òî22 2Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åêïðîòèâîïîëîæåííûå íàïðàâëåíèÿ.Çíà÷èò, ýòè òî÷êè íå ìîãóò áûòü ñêîëü óãîäíî áëèçêèìè êòî÷êå (0, 0), èáî èç òàêîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ñëåäîâàëî áû, ÷òî0< m2 ≤ m2 (1 + s)2 ≤kg k2, à òàê êàêr2kg k = o(r )ïðèr → 0,òîýòî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîòèâîðå÷èå.Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåêîòîðîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãîα>0âåêòîðûf è v íå èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèé â êðóãå< r < α.
Ïîëàãàÿ â ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèÿõ s = 0, âèäèì,÷òî f íå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü â êðóãå 0 < r < α. Òàêèìîáðàçîì, ïî ïðåäûäóùåé ëåììå, If (J) = Iv (J) äëÿ êàæäîéêðèâîé Æîðäàíà J â êðóãå 0 < r < α, îêðóæàþùåì òî÷êó(0, 0), è ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî If (0) = Iv (0).0Òåîðåìà 6.Åñëèf = (f1 , f2 ) - âåêòîð, îïðåäåëåííûé ñèñòåìîé (1), òîIf (0) = −1 èëè +1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè íà÷àëîñåäëîì äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû0y1 = ay1 + by2 ,0y2 = cy1 + dy2Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åêèëè íåò.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïî òåîðåìå 5 äîñòàòî÷íî ïîäñ÷èòàòü èíäåêñ Iv (0). Äëÿïîäñ÷åòà Iv (0) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí åäåíè÷íûé êðóã≤ θ ≤ 2π .
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëíîåèçìåíåíèå óãëà, êîòîðûé âåêòîð v îáðàçóåò ñ ïîëîæèòåëüíîé y1- ïîëóîñüþ, êîãäà êðèâàÿ J îáõîäèòñÿ îäèí ðàç âJ : y1 = cos θ, y2 = sin θ,0ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, ðàâíîZ2πIv (J)d arctg=Jcy1 + dy2ay1 + by2,èëèIv (f ) =ad − bc×2πZ 2π×0(a cos θ + bsin θ)2dθ.+ (c cos θ + d sin θ)2Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (2) íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíîñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõad − bc > 0,(a, b, c, d),ad − bc 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
