1612135124-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (829504), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ïîýòîìó L(C + ) íå ïóñòî è L(C + ) ⊆ K .×òîáû äîêàçàòü, ÷òî L(C + ) çàìêíóòî, îáîçíà÷èì ÷åðåç Qïðåäåëüíóþ òî÷êó L(C + ).Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÒîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê Qn ∈ L(C + ),n = 1, 2, ... òàêàÿ, ÷òîd(Qn , Q) → 0 ïðè n → ∞ (d - ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè).Äëÿ ëþáîãî Qn ñóùåñòâóåòtn > n òàêîå, ÷òîd (ϕ1 (tn ), ϕ2 (tn ) , Qn ) < n1 . Ïîýòîìó, êàêîâî áû íè áûëî ε > 0,ñóùåñòâóåò öåëîå ÷èñëî Nε òàêîå, ÷òîd (ϕ1 (tn ), ϕ2 (tn ) , Qn ) < 2ε äëÿ n > Nε.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî d (ϕ1 (tn ), ϕ2 (tn ) , Q < ε ïðè n > Nε èëè÷òî Q ∈ L(C + ), òàê êàêtn → ∞ ïðè n → ∞.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî L(C + ) íåñâÿçíî.Òîãäà ñóùåñòâóþè äâà íåïóñòûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâàM, N òàêèõ, ÷òî[L(C + ) = MN.Òàê êàê M è N îãðàíè÷åíû, òî îíè äîëæíû íàõîäèòñÿ íàïîëîæèòåëüíîì ðàññòîÿíèè δ äðóã îò äðóãà. ñèëó òîãî, ÷òî òî÷êè ìíîæåñòâà M è N - ïðåäåëüíûå äëÿ C + ,ñóùåñòâóþò ñêîëü óãîäíî áîëüøèå t òàêèå, ÷òî d(P(t), M) < 2δÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàè ñêîëü óãîäíî áîëüøèå t òàêèå, ÷òîd(P(t), M) > 2δ .Òàê êàê d(P, M) äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè P - íåïðåðûâíàÿôóíêöèÿ îò P , òî äîëæíà ñóùåñòâîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{tn }, tn → ∞ (n → ∞) òàêàÿ, ÷òî d(P(tn ), M) = 2δ .Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {P(tn )} ñîäåðæèò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü,ïðè÷åì{P(tnk )} → Q ∈ L(C + ) ïðè nk → ∞.Ñëåäîâàòåëüíî, d(Q, M) = 2δ .
Íîδd(Q, N) ≥ d(N, M) − d(Q, M) = .2SÏðîòèâîðå÷èå, òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ L(C + ) = M N .Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 2.Ïóñòü C + - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âçàìêíóòîì ïîäìíîæåñòâå K ìíîæåñòâà D , è ïðåäïîëîæèì, ÷òîìíîæåñòâî L(C + ) ñîäåðæèò ðåãóëÿðíóþ òî÷êó Q .Òîãäà òðàåêòîðèÿ CQ , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Q , ñóùåñòâóåòÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàêàê ïîëíàÿ òðàåêòîðèÿ è CQ ⊆ L(C + ).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîëåçíî îáðàòèòüñÿ ê Ðèñ. 1.Q: j(0,x,h)Q: j(0,x,h)CQPnj(t,xn,hn)j(tn,x,h) = j(0,xn,hn)+CÐèñ. 1Ïóñòü òî÷êà Q èìååò êîîðäèíàòû (ξ, η) è ïóñòü òðàåêòîðèÿ C +ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ϕ(ϕ1 , ϕ2 ) äëÿ t ≥ t0 . Èç îïðåäåëåíèÿòî÷êè Q ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {tn },tn → ∞ ïðè n → ∞ òàêàÿ, ÷òî òî÷êè Pn : ϕ(tn , ξ, η) îáëàäàþòòåì ñâîéñòâîì, ÷òî Pn → Q ïðè n → ∞.Äëÿ êðèâîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Pn , ìîæíî çàíîâîÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàâûáðàòü ïàðàìåòð òàê, ÷òî Pn áóäåò çàäàâàòüñÿ êîìïîíåíòàìèâåêòîðà ϕ(0, ξn , ηn ), ãäå Pn : (ξn , ηn ).Òàêèì îáðàçîì, ϕ(t, ξn , ηn ) = ϕ(t + tn , ξ, η).ˆ η̂), ïðè÷åì òî÷êà QÒðàåêòîðèÿ CQ çàäàåòñÿ âåêòîðîì ϕ(0, ξ,îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîìˆ η̂).
Òàêèì îáðàçîì, åñëè Q̃ - òî÷êà CQ , òî åå êîîðäèíàòûϕ(0, ξ,ˆ η̂) äëÿ íåêîòîðîãî t̃ .ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè âåêòîðà ϕ(t̃, ξ,Èç íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ ñëåäóåò,ˆ η̂) ïðè n → ∞, òàê êàê Pn → Q . Íî÷òî ϕ(t̃, ξn , ηn ) → ϕ(t̃, ξ,ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è ñîîòíîøåíèåˆ η̂)ϕ(t̃ + tn , ξ, η) → ϕ(t̃, ξ,è îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Q̃ ∈ L(C + ), èáî t̃ + tn → ∞ ïðè n → ∞.Òàêèì îáðàçîì, CQ ⊆ L(C + ) ⊆ K è â ñèëó èçâåñòíûõñîîáðàæåíèé î ïðîäîëæåíèè (ñì. 11) îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî CQ- ïîëíàÿ òðàåêòîðèÿ.Åñëè Q - ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà L(C + ), ãäåC + - ëþáàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿìÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàòåîðåìû 2, òî òðàåêòîðèÿ CQ , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Q , íàçûâàåòñÿïðåäåëüíîé òðàåêòîðèåé äëÿ C + .Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 2 óòâåðæäàåò, ÷òî ìíîæåñòâî L(C + )ñîñòîèò èç îñîáûõ òî÷åê è ïðåäåëüíûõ òðàåêòîðèé.Ïåðåéäåì ê îïèñàíèþ ìíîæåñòâà L(C + ), ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòîìíîæåñòâî ñîäåðæèò òîëüêî ðåãóëÿðíûå òî÷êè.
Ïðè ýòîìïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èñõîäíàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ C + ñîäåðæèòñÿ âçàìêíóòîì ïîäìíîæåñòâå K ⊂ D .Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 3 (Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíà).Ïóñòü C + - ïîëîæèòåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âçàìêíóòîì ïîäìíîæåñòâå K ìíîæåñòâà D . Åñëè ìíîæåñòâîL(C + ) ñîñòîèò òîëüêî èç ðåãóëÿðíûõ òî÷åê, òî ëèáî1) ïîëóòðàåêòîðèÿ C + (= L(C + )) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîéòðàåêòîðèåé, ëèáî2) ìíîæåñòâî L(C + ) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèåé.Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÅñëè èìååò ìåñòî ñëó÷àé 2), òî ïðåäåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ L(C + )íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíûì öèêëîì.  ýòîì ñëó÷àåïîëóòðàåêòîðèÿ C + äåéñòâèòåëüíî "çàêðó÷èâàåòñÿ" îêîëîìíîæåñòâà L(C + ) â íåêîòîðîì ñìûñëå. Ýòî áóäåò äîêàçàíî âñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ââåäåì âñïîìîãàòåëüíîå ïîíÿòèå.Îïðåäåëåíèå.Êîíå÷íûé çàìêíóòûé ñåãìåíò ïðÿìîé ëèíèè íà (y1 , y2 ) ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ òðàíñâåðñàëüþ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè f ,åñëè êàæäàÿ òî÷êà l ðåãóëÿðíà è åñëè íàïðàâëåíèå,îïðåäåëÿåìîå ôóíêöèåé f â êàæäîé òî÷êå l , îòëè÷íî îòíàïðàâëåíèÿ l .Ñâîéñòâà òðàíñâåðñàëè, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ ïðèäîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3, ñôîðìóëèðîâàíû â ëåììàõ 1 è 2.Ëåììà 1.1.
Êàæäàÿ ðåãóëÿðíàÿ òî÷êà (y1 , y2 ) ìíîæåñòâà D ÿâëÿåòñÿâíóòðåííåé òî÷êîé òðàíñâåðñàëè, êîòîðàÿ ìîæåò èìåòü ëþáîåÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàíàïðàâëåíèå, èñêëþ÷àÿ íàïRðàâëåíèå âåêòîðà f (y1 , y2 ).2. Êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ, êîòîðàÿ âñòðå÷àåò òðàíñâåðñàëü,äîëæíà ïåðåñåêàòü åå, è âñå òàêèå òðàåêòîðèè ïåðåñåêàþò åå âîäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè.3. Ïóñòü P0 ∈ D - âíóòðåííÿÿ òî÷êà òðàíñâåðñàëè l . Äëÿëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò êðóã Cε ñ öåíòðîì â P0 òàêîé, ÷òîêàæäàÿ òðàåêòîðèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âíóòðåííþþ òî÷êó Cεïðè t = 0, ïåðåñåêàåò l ïðè íåêîòîðîì t , |t| < ε.Äîêàçàòåëüñòâî.Óòâåðæäåíèÿ 1, 2 ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ òðàíñâåðñàëè è òîãîôàêòà, ÷òî f íåïðåðûâíà â òî÷êå (y1 , y2 ).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 3 ïîëîæèì, ÷òî òî÷êà P0èìååò êîîðäèíàòû (ξ0 , η0 ) è ÷òî òî÷êè òðàíñâåðñàëè lóäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ax1 + bx2 + c = 0.
Ñóùåñòâóåò êðóã ñöåíòðîì â P0 , êîòîðûé ñîäåðæèò òîëüêî åãóëÿðíûå òî÷êèôóíêöèè f .Ðåøåíèå ϕ, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç ïðîèâîëüíóþ ðåãóëÿðíóþ òî÷êó(ξ, η), ëåæàùóþ âáëèçè P0 ïðè t = 0, íåïðåðûâíî îòíîñèòåëüíîÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ (t, ξ, η) íà íåêîòîðîì îòêðûòîììíîæåñòâå, îêðóæàþùåì òî÷êó( 0 , ξ0 , η 0 ) .Ïóñòü L(t, ξ, η) = aϕ1 (t, ξ, η) + bϕ2 (t, ξ, η) + c , ãäå ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ).Òîãäà L(0, ξ0 , η0 ) = 0 è∂L∂t (0, ξ0 , η0 ) 6= 0.Ïîýòîìó, ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè, ñóùåñòâóåòíåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ t = t(ξ, η), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîìêðóãå C ñ öåíòðîì â òî÷êå (ξ0 , η0 ) è óäîâëåòâîðÿþùàÿñîîòíîøåíèÿì t(ξ0 , η0 ) = 0 è L(t(ξ, η), ξ, η) = 0.Êðîìå òîãî, òàê êàê ôóíêöèÿ t = t(ξ, η) íåïðåðûâíà â òî÷êå(ξ0 , η0 ), òî äëÿ êàæäîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò êðóã C ñ öåíòðîì âòî÷êå (ξ0 , η0 ) òàêîé, ÷òî |t(, ξ, η)| < ε âíóòðè C .Ïîýòîìó òðàåêòîðèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó (ξ, η),ëåæàùóþ âíóòðè Cε ïðè t = 0, áóäåò ïåðåñåêàòü l ïðèt = t(ξ, η) è |t(ξ, η)| < ε.Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàËåììà 2.Åñëè êîíå÷íàÿ çàìêíóòàÿ äóãà A òðàåêòîðèè C âñòðå÷àåòòðàíñâåðñàëü l , òî îíà åå âñòðå÷àåò â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê,ïîðÿäîê êîòîðûõ íà äóãå A ñîâïàäàåò ñ èõ ïîðÿäêîì íà l .
ÅñëèC - ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ, òî îíà âñòðå÷àåò l òîëüêî âîäíîé òî÷êå.Äîêàçàòåëüñòâî.Åñëè ϕ - ðåøåíèå, ïðåäñòàâëÿþùååC , òî òî÷êè äóãè A èìåþòâèä P(t) : ϕ1 (t), ϕ2 (t) , t̃ ≤ t ≤ ˜t̃ äëÿ íåêîòîðûõ êîíå÷íûõ t̃ è˜t̃ .Åñëè äóãà A âñòðå÷àåò l â áåñêîíå÷íîì ÷èñëå ðàçëè÷íûõ òî÷åêPn = P(tn ), òî ðàçëè÷íûå tn áóäóò èìåòü ïðåäåëáíóþ òî÷êótildet íà èíòåðâàëå t̃ ≤ t ≤ ˜t̃ .Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòè {tn }, òàêàÿ, ÷òî tn → t̂ , t → ∞. Òîãäàt̂)Pn → Q = P(t̂), n → ∞.
Íî ϕ(tnt )−ϕ(→fϕ(t̂),ϕ(t̂)ïðè12−t̂nn → ∞, è òàê êàê îòíîøåíèåϕ2 (tn )−ϕ2 (t̂)ϕ1 (tn −ϕ1 (t̂)ðàâíî ïîñòîÿííîìóÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàíàêëîíó òðàíñâåðñàëè l , òî f èìååò òî æå íàïðàâëåíèå, êàê è l ,â òî÷êå Q , ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì.Èòàê, äóãà A äîëæíà âñòðå÷àòü l â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê.Ïóñòü òåïåðü P1 = P(t) è P2 = P(t2 ) - äâó ïîñëåäîâàòåëüíûåòî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ A ñ l , ãäå t1 < t2 , ñì.
ðèñ. 2 è 3.y2P1y2P1QP2P3P2RP3Q0Ðèñ. 2y10Ðèñ. 3Òåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíày1Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P1 îòëè÷íî îò P2 . Òîãäà êðèâàÿ J ,ñîñòîÿùàÿ èç îòêðûòîé äóãè J , èäóùåé îò P1 äî P2 è l , èäóùåé_îò P1 äî P2 è îáîçíà÷àåìîé ÷åðåç P1 P2 , è çàìêíóòîãîïðÿìîëèíåéíîãî èíòåðâàëà l , èäóùåãî îò P2 äî P1 ,îáîçíà÷àåìîãî P2 P1 - êðèâàÿ Æîðäàíà.Îíà, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçäåëÿåò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè.Ïîýòîìó òî÷êè Q ∈ C äëÿ äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê t1 çíà÷åíèét < t1 è òî÷êè R ∈ C (t > t2 ) ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò J(ñì.
ðèñ. 2 è 3).Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ëåæàò ëè òî÷êèR âíóòðè J èëè âíå J .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååò ìåñòî ïåðâûé ñëó÷àé (ðèñ. 2); âòîðîéðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû òðàåêòîðèÿ C áëûà âíå J ïðè t > t2 Cäîëæíà ïåðåñåêàòü J ._Íî îíà íå ìîæåò ïåðåñåêàòü äóãó P1 P2 â ñèëó åäèíñòâåííîñòè èíå ìîæåò ïåðåñå÷ü èíòåðâàë P2 P1 â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè.Ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèÿ C îñòàåòñÿ âíóòðè J äëÿ t > t2 .Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÒàêèì îáðàçîì, áëèæàéøåå ïåðåñå÷åíèå P3 (ïîñëå P2 )òðàåêòîðèè C ñ òðàíñâåðñàëüþ l íàõîäèòñÿ âíóòðè J è îòëè÷íîîò P2 .Èòàê, òî÷êà P2 ëåæèò ìåæäó P1 è P3 íà òðàíñâåðñàëè l . ÅñëèP1 ñîâïàäàåò ñ P2 , òî òðàåêòîðèÿ C , î÷åâèäíî, ïåðèîäè÷åñêàÿ.Åñëè P1 îòëè÷àåòñÿ îò P2 , òî òðàåêòîðèÿ íåïåðèîäè÷åñêàÿ.Òîãäà äóãà òðàåêòîðèè C , èäóùàÿ îò R , äîëæíà âåðíóòüñÿ ê Q ,à çíà÷èò, ïåðåñå÷ü J .Íî, êàê è ïðåæäå, ýòîãî ïðîèçîéòè íå ìîæåò.
Èòàê, P1 è P2ñîâïàäàþò è C - ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ.Ëåììà 2 äîêàçàíà.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíà òåïåðüïîëó÷àåòñÿ ïðè ïîìîùè ñëåäóþùèõ äâóõ äîïîëíèòåëüíûõëåìì.Ëåììà 3.Åñëè ïîëóòðàåêòîðèÿ C + è ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî L(C + )èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî C + - ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ.Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÄîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü P1 = P(t1 ) - òî÷êà C + , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå òî÷êîéL(C + ). Ýòà òî÷êà ðåãëóðíàÿ è, ñëåäîâàòåëíî, ìîæåò áûòü âçÿòàêàê âíóòðåííÿÿ òî÷êà íåêîòîðîé òðàíñâåðñàëè l .
Òàê êàêP1 ∈ L(C + ), òî êàæäûé êðóã Γ ñ öåíòðîì â òî÷êå P1 äîëæåíñîäåðæàòü âíóòðè ñåáÿ òî÷êó Q = P(t̂), t̂ > t1 + 2.Åñëè Γ - êðóã äëÿ ε = 1 â óòâåðæäåíèè 3) ëåììû 1, òîñóùåñòâóåò òî÷êà P̃ = P(t̃) íà C + , ãäå |t̃ − t| < 1 òàêàÿ, ÷òîP̃ ∈ l .Ïóñòü P̃ îòëè÷àåòñÿ îò P1 .Òîãäà, ïî ëåììå 2, äóãà P1 P̃ ïîëóòðàåêòîðèè C + ïåðåñåêàåò l âêîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê.Äàëåå, ïîñëåäîâàòåëüíûå ïåðåñå÷åíèÿ C + ñ l îáðàçóþòìîíîòîííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ óäàëÿåòñÿ îò òî÷êèP1 .
Òàêèì îáðàçîì, P1 íå ìîæåò áûòü ïðåäåëüíîé òî÷êîé äëÿïîëóòðàåêòîðèè C + , à çíà÷èò, P1 ∈/ L(C + ).+Èòàê, C âñòðå÷àåò l òîëüêî â P1 , à ñëåäîâàòåëüíî C + ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ.Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÇàìå÷àíèå 1.Ýòè æå ñîîáðàæåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî òðàíñâåðñàëü íå ìîæåòâñòðå÷àòü ìíîæåñòâî L(C + ) áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå.Ëåììà 4.Åñëè ìíîæåñòâî L(C + ) ñîäåðæèò ïåðèîäè÷ñåêóþ òðàåêòîðèþ,òîîíî ñîâïàäàåò ñ íåé.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü C0 - ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âîìíîæåñòâå L(C + ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
